Смешанная структура Ходжа - Mixed Hodge structure

В алгебраическая геометрия, а смешанная структура Ходжа представляет собой алгебраическую структуру, содержащую информацию о когомология общего алгебраические многообразия. Это обобщение Структура Ходжа, который используется для изучения гладкий проективные многообразия.

В смешанной теории Ходжа, где разложение группы когомологий ${\displaystyle H^{k}(X)}$ могут иметь подпространства разного веса, т.е. как прямая сумма структур Ходжа

${\displaystyle H^{k}(X)=\bigoplus _{i}(H_{i},F_{i}^{\bullet })}$

где каждая из структур Ходжа имеет вес ${\displaystyle k_{i}}$. Один из первых намеков на то, что такие структуры должны существовать, исходит от длинная точная последовательность пары гладких проективных многообразий ${\displaystyle Y\subset X}$. Группы когомологий ${\displaystyle H_{c}^{i}(U)}$ (за ${\displaystyle U=X-Y}$) должны иметь разные веса, исходящие от обоих ${\displaystyle H^{i}(X)}$ и ${\displaystyle H^{i+1}(Y)}$.

Мотивация

Первоначально Структуры Ходжа были введены как инструмент для отслеживания абстрактных разложений Ходжа на группах когомологий гладкий проективный алгебраические многообразия. Эти структуры дали геометрам новые инструменты для изучения. алгебраические кривые, такой как Теорема Торелли, Абелевы разновидности, и когомологии гладких проективных многообразий. Одним из основных результатов для вычисления структур Ходжа является явное разложение групп когомологий гладких гиперповерхностей с использованием связи между Якобианский идеал и разложение Ходжа гладкой проективной гиперповерхность через Теорема Гриффитса о вычетах. Перенос этого языка на гладкие непроективные многообразия и особые многообразия требует концепции смешанных структур Ходжа.

Определение

А смешанная структура Ходжа^[1] (MHS) - тройка ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })}$ такой, что

1. ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ это ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль конечного типа
2. ${\displaystyle W_{\bullet }}$ растет ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-фильтрация на ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \cdots \subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \cdots }$
3. ${\displaystyle F^{\bullet }}$ убывает ${\displaystyle \mathbb {N} }$-фильтрация на ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=F^{0}\supset F^{1}\supset F^{2}\supset \cdots }$

где индуцированная фильтрация ${\displaystyle F^{\bullet }}$ на оцененный шт

${\displaystyle {\text{Gr}}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {Q} }={\frac {W_{k}H_{\mathbb {Q} }}{W_{k-1}H_{\mathbb {Q} }}}}$

являются чистыми структурами Ходжа веса ${\displaystyle k}$.

Замечание о фильтрации

Заметим, что, подобно структурам Ходжа, смешанные структуры Ходжа используют фильтрацию вместо разложения в прямую сумму, поскольку группы когомологий с антиголоморфными членами ${\displaystyle H^{p,q}}$ куда ${\displaystyle q>0}$, не меняются голоморфно. Но фильтрации могут изменяться голоморфно, давая более определенную структуру.

Морфизмы смешанных структур Ходжа

Морфизмы смешанных структур Ходжа определяются отображениями абелевых групп

${\displaystyle f:(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })\to (H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

такой, что

${\displaystyle f(W_{l})\subset W'_{l}}$

и индуцированное отображение ${\displaystyle \mathbb {C} }$-векторные пространства имеют свойство

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(F^{p})\subset F'^{p}}$

Дополнительные определения и свойства

Числа Ходжа

Числа Ходжа MHS определяются как размеры

${\displaystyle h^{p,q}(H_{\mathbb {Z} })=\dim _{\mathbb {C} }{\text{Gr}}_{F^{\bullet }}^{p}{\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$

поскольку ${\displaystyle {\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$ это вес ${\displaystyle (p+q)}$ Структура Ходжа и

${\displaystyle {\text{Gr}}_{p}^{F^{\bullet }}={\frac {F^{p}}{F^{p+1}}}}$

это ${\displaystyle (p,q)}$-компонент веса ${\displaystyle (p+q)}$ Структура Ходжа.

Гомологические свойства

Существует Абелева категория^[2] смешанных структур Ходжа, имеющего исчезающую ${\displaystyle {\text{Ext}}}$-группы всякий раз, когда когомологическая степень больше, чем ${\displaystyle 1}$: то есть, учитывая смешанные структуры hodge ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$ группы

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MHS}^{p}((H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet }))=0}$

за ${\displaystyle p\geq 2}$^{[2]стр. 83}.

Смешанные структуры Ходжа на би-фильтрованных комплексах

Многие смешанные структуры Ходжа могут быть построены из бифильтрованного комплекса. Сюда входят дополнения гладких многообразий, определяемых дополнением к нормальному кроссинговому многообразию, лог-когомологии. Учитывая комплекс пучки абелевых групп ${\displaystyle A^{\bullet }}$ и фильтрации ${\displaystyle W_{\bullet },F^{\bullet }}$^[1] комплекса, смысл

${\displaystyle {\begin{aligned}d(W_{i}A^{\bullet })&\subset W_{i}A^{\bullet }\\d(F^{i}A^{\bullet })&\subset F^{i}A^{\bullet }\end{aligned}}}$

На поверхности имеется индуцированная смешанная структура Ходжа. гипергомология группы

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,A^{\bullet }),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

из двухфильтрованного комплекса ${\displaystyle (A^{\bullet },W_{\bullet },F^{\bullet })}$. Такой двухфильтрованный комплекс называется смешанный комплекс Ходжа^[1]:23

Логарифмический комплекс

Учитывая гладкое разнообразие ${\displaystyle U\subset X}$ куда ${\displaystyle D=X-U}$ является нормальным делителем пересечения (что означает, что все пересечения компонентов полные пересечения ) существуют фильтрации на лог-когомологии сложный ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$ данный

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{m}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}i\leq m\\\Omega _{X}^{i-m}\wedge \Omega _{X}^{m}(\log D)&{\text{ if }}0\leq m\leq i\\0&{\text{ if }}m<0\end{cases}}\\[6pt]F^{p}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}p\leq i\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Оказывается, эти фильтрации определяют естественную смешанную структуру Ходжа на группе когомологий ${\displaystyle H^{n}(U,\mathbb {C} )}$ из смешанного комплекса Ходжа, определенного на логарифмическом комплексе ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$.

Плавные компактификации

Приведенная выше конструкция логарифмического комплекса распространяется на все гладкие многообразия; и смешанная структура Ходжа изоморфна при любом таком компактификате. Обратите внимание на гладкая компактификация гладкой разновидности ${\displaystyle U}$ определяется как гладкое многообразие ${\displaystyle X}$ и вложение ${\displaystyle U\hookrightarrow X}$ такой, что ${\displaystyle D=X-U}$ - нормальный перекрестный делитель. То есть с учетом компактификаций ${\displaystyle U\subset X,X'}$ с граничными делителями ${\displaystyle D=X-U,{\text{ }}D'=X'-U}$существует изоморфизм смешанной структуры Ходжа

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)),W_{\bullet },F^{\bullet })}$${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X',\Omega _{X'}^{\bullet }(\log D')),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

показывающий, что смешанная структура Ходжа инвариантна относительно гладкой компактификации.^[2]

Пример

Например, по роду ${\displaystyle 0}$ плоская кривая ${\displaystyle C}$ логарифмические когомологии ${\displaystyle C}$ с нормальным делителем пересечения ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ с ${\displaystyle k\geq 1}$ можно легко вычислить^[3] так как условия комплекса ${\displaystyle \Omega _{C}^{\bullet }(\log D)}$ равно

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C}\xrightarrow {d} \Omega _{C}^{1}(\log D)}$

оба ациклические. Тогда Гиперкогомология просто

${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})\xrightarrow {d} \Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}(\log D))}$

первое векторное пространство - это просто постоянные секции, следовательно, дифференциал - это нулевая карта. Во-вторых, векторное пространство изоморфно векторному пространству, натянутому на

${\displaystyle \mathbb {C} \cdot {\frac {dx}{x-p_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} {\frac {dx}{x-p_{k-1}}}}$

потом ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$ имеет вес ${\displaystyle 2}$ смешанная структура Ходжа и ${\displaystyle \mathbb {H} ^{0}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$ имеет вес ${\displaystyle 0}$ смешанная структура Ходжа.

Примеры

Дополнение гладкого проективного многообразия замкнутым подмногообразием

Для гладкого проективного многообразия ${\displaystyle X}$ измерения ${\displaystyle n}$ и замкнутое подмногообразие ${\displaystyle Y\subset X}$ в когомологиях есть длинная точная последовательность^{[4]стр.7-8}

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{c}^{m+1}(U;\mathbb {Z} )\to \cdots }$

исходящий из выдающийся треугольник

${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}\mathbb {Z} _{U}\to \mathbb {Z} _{X}\to i_{*}\mathbb {Z} _{Y}\xrightarrow {[+1]} }$

из конструктивные связки. Есть еще одна длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H_{2n-m}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H_{2n-m-1}^{BM}(U;\mathbb {Z} )(-n)\to \cdots }$

из выделенного треугольника

${\displaystyle i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to \mathbf {R} j_{*}\mathbb {Z} _{U}\xrightarrow {[+1]} }$

в любое время ${\displaystyle X}$ гладко. Обратите внимание на группы гомологий ${\displaystyle H_{k}^{BM}(X)}$ называются Гомологии Бореля – Мура, двойственные когомологиям общих пространств и ${\displaystyle (n)}$ означает тензор со структурой Тейта ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)^{\otimes n}}$ добавить вес ${\displaystyle -2n}$ к весовой фильтрации. Гипотеза гладкости требуется, потому что Двойственность Вердье подразумевает ${\displaystyle i^{!}D_{X}=D_{Y}}$, и ${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n]}$ в любое время ${\displaystyle X}$ гладко. Также дуализирующий комплекс для ${\displaystyle X}$ имеет вес ${\displaystyle n}$, следовательно ${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n](n)}$. Кроме того, отображения из гомологий Бореля-Мура должны быть скручены до веса ${\displaystyle (n)}$ приказ, чтобы у него была карта ${\displaystyle H^{m}(X)}$. Кроме того, существует идеальная двойная связь.

${\displaystyle H_{2n-m}^{BM}(Y)\times H^{m}(Y)\to \mathbb {Z} }$

давая изомофизм двух групп.

Алгебраический тор

Одномерный алгебраический тор ${\displaystyle \mathbb {T} }$ изоморфно многообразию ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}-\{0,\infty \}}$, следовательно, его группы когомологий изоморфны

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(\mathbb {T} )\oplus H^{1}(\mathbb {T} )&\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Затем длинная точная последовательность читается как

${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{0}^{BM}(Y)(1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{2}(\mathbb {G} _{m})\to 0\\&H_{1}^{BM}(Y)(1)\to H^{1}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{2}^{BM}(Y)(1)\to H^{0}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\\end{matrix}}}$

С ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1})=0}$ и ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {G} _{m})=0}$ это дает точную последовательность

${\displaystyle 0\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H_{0}^{BM}(Y)(1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to 0}$

поскольку существует скручивание весов для корректно определенных отображений смешанных структур Ходжа, существует изоморфизм

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} (-1)}$

Поверхность Quartic K3 минус кривая рода 3

Учитывая поверхность четвертой степени K3 ${\displaystyle X}$, и кривая рода 3 ${\displaystyle i:C\hookrightarrow X}$ определенное исчезающим множеством общего сечения ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$, следовательно, он изоморфен до степени ${\displaystyle 4}$ плоская кривая, имеющая род 3. Тогда Последовательность гизина дает длинную точную последовательность

${\displaystyle \to H^{k-2}(C)\xrightarrow {\gamma _{k}} H^{k}(X)\xrightarrow {i^{*}} H^{k}(U)\xrightarrow {R} H^{k-1}(C)\to }$

Но это результат того, что карты ${\displaystyle \gamma _{k}}$ возьмите класс Ходжа типа ${\displaystyle (p,q)}$ классу Ходжа типа ${\displaystyle (p+1,q+1)}$.^[5] Структуры Ходжа как для поверхности K3, так и для кривой хорошо известны и могут быть вычислены с использованием Якобианский идеал. В случае кривой есть два нулевых отображения

${\displaystyle \gamma _{3}:H^{1,0}(C)\to H^{2,1}(X)=0}$ ${\displaystyle \gamma _{3}:H^{0,1}(C)\to H^{1,2}(X)=0}$

следовательно ${\displaystyle H^{2}(U)}$ содержит вес одной штуки ${\displaystyle H^{1,0}(C)\oplus H^{0,1}(C)}$. Потому что ${\displaystyle H^{2}(X)=H_{\text{prim}}^{2}(X)\oplus \mathbb {C} \cdot \mathbb {L} }$ имеет размер ${\displaystyle 22}$, но класс Левшеца ${\displaystyle \mathbb {L} }$ убит картой

${\displaystyle \gamma _{2}:H^{0}(C)\to H^{2}(X)}$

отправка ${\displaystyle (0,0)}$ класс в ${\displaystyle H^{0}(C)}$ к ${\displaystyle (1,1)}$ класс в ${\displaystyle H^{2}(X)}$. Тогда примитивная группа когомологий ${\displaystyle H_{\text{prim}}^{2}(X)}$ вес 2 штуки ${\displaystyle H^{2}(U)}$. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Gr}}_{2}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H_{\text{prim}}^{2}(X)\\{\text{Gr}}_{1}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H^{1}(C)\\{\text{Gr}}_{k}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=0&k\neq 1,2\end{aligned}}}$

Индуцированные фильтрации на этих градуированных частях - это фильтрации Ходжа, исходящие от каждой группы когомологий.

Смотрите также

• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Якобианский идеал
• Волокно Милнора
• Смешанный модуль Ходжа

Рекомендации

1. Филиппини, Сара Анджела; Руддат, Хельге; Томпсон, Алан (2015). «Введение в структуры Ходжа». Разновидности Калаби-Яу: арифметика, геометрия и физика. Монографии Института Филдса. 34. С. 83–130. arXiv:1412.8499. Дои:10.1007/978-1-4939-2830-9_4. ISBN  978-1-4939-2829-3. S2CID  119696589.
2. Питерс, К. (Крис) (2008). Смешанные составы ходжа. Стинбринк, Дж. Х. М. Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-77017-6. OCLC  233973725.
3. Обратите внимание, что мы используем Теорема Безу так как это может быть дано как дополнение пересечения с гиперплоскостью.
4. Корти, Алессандро. «Введение в смешанную теорию Ходжа: лекция в LSGNT» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 12.08.2020.
5. Гриффитс; Шмид (1975). Последние разработки в теории Ходжа: обсуждение методов и результатов. Издательство Оксфордского университета. С. 31–127.

• Филиппини, Сара Анджела; Руддат, Хельге; Томпсон, Алан (2015). «Введение в структуры Ходжа». Разновидности Калаби-Яу: арифметика, геометрия и физика. Монографии Института Филдса. 34. С. 83–130. arXiv:1412.8499. Дои:10.1007/978-1-4939-2830-9_4. ISBN  978-1-4939-2829-3. S2CID  119696589.

Примеры

• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Введение в предельные смешанные структуры Ходжа
• Смешанная структура Ходжа Делиня для проективных многообразий только с нормальными пересекающимися особенностями

В зеркальной симметрии

• Локальная B-модель и смешанная структура Ходжа