Якобианский идеал - Jacobian ideal

В математика в Якобианский идеал или же идеальный градиент это идеальный генерируется Якобиан функции или функция росток.Позволять ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ обозначить звенеть из гладкие функции в ${\displaystyle n}$ переменные и ${\displaystyle f}$ функция в кольце. Якобианский идеал ${\displaystyle f}$ является

${\displaystyle J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .}$

Отношение к теории деформации

В теории деформаций деформации гиперповерхности, заданные полиномом ${\displaystyle f}$ классифицируется по кольцу

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f)+J_{f}}}}$

Это показано с помощью Карта Кодаира – Спенсер.

Отношение к теории Ходжа

В теории Ходжа есть объекты, называемые реальными Структуры Ходжа которые являются данными реального векторного пространства ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ и усиление фильтрации ${\displaystyle F^{\bullet }}$ из ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ удовлетворяющий списку структур совместимости. Для гладкого проективного многообразия ${\displaystyle X}$ существует каноническая структура Ходжа.

Утверждение для гиперповерхностей степени d

В частном случае ${\displaystyle X}$ определяется однородной степенью ${\displaystyle d}$ многочлен ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))}$ эту структуру Ходжа можно полностью понять из якобиева идеала. Для его оцененных частей это показано на карте^[1]

${\displaystyle \mathbb {C} [Z_{0},\ldots ,Z_{n}]^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}}$

который сюръективен на примитивных когомологиях, обозначаемый ${\displaystyle {\text{Prim}}^{p,n-p}(X)}$ и имеет ядро ${\displaystyle J_{f}}$. Обратите внимание, что примитивные классы когомологий - это классы ${\displaystyle X}$ которые не происходят из ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$, который является просто классом Лефшеца ${\displaystyle [L]^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}}$.

Эскиз доказательства

Приведение к карте остатков

За ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$ есть связанная короткая точная последовательность комплексов

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }[-1]\to 0}$

где средний комплекс - это комплекс связок логарифмических форм а правая карта - это Карта остатков. С этим связана длинная точная последовательность в когомологиях. От Теорема Лефшеца о гиперплоскости есть только одна интересная группа когомологий ${\displaystyle X}$, который ${\displaystyle H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}$. Из длинной точной последовательности этой короткой точной последовательности получается индуцированная карта остатков

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet })\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])}$

где правая часть равна ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })}$, который изоморфен ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })}$. Также существует изоморфизм

${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet })}$

Через эти изоморфизмы возникает индуцированное отображение вычетов

${\displaystyle res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )}$

которое инъективно и сюръективно на примитивных когомологиях. Также существует разложение Ходжа

${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))}$

и ${\displaystyle H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)}$.

Вычисление группы когомологий де Рама

Оказывается, группа когомологий ${\displaystyle H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}$ гораздо более податливый и имеет явное описание в терминах многочленов. В ${\displaystyle F^{p}}$ часть натянута на мероморфные формы, имеющие полюса порядка ${\displaystyle \leq n-p+1}$ который срывается на ${\displaystyle F^{p}}$ часть ${\displaystyle {\text{Prim}}^{n}(X)}$. Это происходит из-за изоморфизма редукции

${\displaystyle F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}}$

Используя канонический ${\displaystyle (n+1)}$-форма

${\displaystyle \Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}}$

на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ где ${\displaystyle {\hat {dZ_{j}}}}$ обозначает удаление из индекса, эти мероморфные дифференциальные формы выглядят как

${\displaystyle {\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega }$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}}$

Наконец, оказывается, что ядро^{[1] Лемма 8.11.} имеет все полиномы вида ${\displaystyle A'+fB}$ куда ${\displaystyle A'\in J_{f}}$. Обратите внимание на тождество Эйлера

${\displaystyle f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}}$

показывает ${\displaystyle f\in J_{f}}$.

Рекомендации

1. Введение в теорию Ходжа. Бертин, Хосе. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. 2002. С. 199–205. ISBN  0-8218-2040-0. OCLC  48892689.

Смотрите также

• Число Милнора
• Структура Ходжа
• Карта Кодаира – Спенсер
• Связь Гаусса – Манина
• Разворачивается