Связь Гаусса – Манина - Gauss–Manin connection

В математика, то Связь Гаусса – Манина это связь на определенном векторный набор над базовым пространством S семьи алгебраические многообразия ${displaystyle V_ {s}}$ . Слоями векторного расслоения являются когомологии де Рама группы ${displaystyle H_ {DR} ^ {k} (V_ {s})}$ волокон ${displaystyle V_ {s}}$ семьи. Он был представлен Юрий Манин (1958 ) для кривых S и по Александр Гротендик (1966 ) в более высоких измерениях.

Плоские участки пучка описываются дифференциальные уравнения; самым известным из них является Уравнение Пикара – Фукса, который возникает, когда семейство разновидностей рассматривается как семейство эллиптические кривые. В интуитивно понятных терминах, когда семейство локально тривиально, классы когомологий могут быть перемещены из одного слоя в семействе на соседние слои, обеспечивая концепцию «плоского сечения» в чисто топологических терминах. О наличии соединения следует судить по плоским участкам.

Интуиция

Рассмотрим гладкий морфизм схем ${displaystyle X o B}$ над характеристикой 0. Если рассматривать эти пространства как комплексные аналитические пространства, то Теорема Эресмана о расслоении говорит нам, что каждое волокно ${displaystyle X_ {b} = f ^ {- 1} (b)}$ является гладким многообразием, и каждый слой диффеоморфен. Это говорит нам о том, что группы когомологий де-Рама ${displaystyle H ^ {k} (X_ {b})}$ все изоморфны. Мы можем использовать это наблюдение, чтобы спросить, что происходит, когда мы пытаемся дифференцировать классы когомологий, используя векторные поля из базового пространства ${displaystyle B}$ .

Рассмотрим класс когомологий ${displaystyle alpha in H ^ {k} (X)}$ такой, что ${displaystyle i_ {b} ^ {*} (альфа) в H ^ {k} (X_ {b})}$ где ${displaystyle i_ {b} двоеточие X_ {b} o X}$ - карта включения. Тогда, если рассматривать классы

{displaystyle left [i_ {b} ^ {ast} left ({frac {partial ^ {i_ {1} + cdots + i_ {n}} alpha} {partial b_ {1} ^ {i_ {1}} cdots partial b_) {n} ^ {i_ {n}}}} ight) ight] в H ^ {k} (X_ {b})}

в конечном итоге между ними возникнет связь, называемая Уравнение Пикара-Фукса. Связность Гаусса – Манина - это инструмент, который кодирует эту информацию в связку на плоском векторном расслоении на ${displaystyle B}$ построенный из ${displaystyle H ^ {k} (X_ {b})}$ .^[1]

пример

Часто цитируемым примером является Дворк строительство из Уравнение Пикара – Фукса. Позволять

{displaystyle V_ {lambda} (x, y, z)}

быть эллиптической кривой

{displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -lambda xyz = 0;}

.

Вот, ${displaystyle lambda}$ - свободный параметр, описывающий кривую; это элемент сложная проективная линия (семейство гиперповерхностей в ${displaystyle n-1}$ размеры степени п, определяемый аналогично, интенсивно изучается в последние годы в связи с теорема модульности и его расширения).^[2] Таким образом, за базовое пространство расслоения берется проективная прямая. Для фиксированного ${displaystyle lambda}$ в базовом пространстве рассмотрим элемент ${displaystyle omega _ {lambda}}$ ассоциированной группы когомологий де Рама

{displaystyle omega _ {lambda} in H_ {dR} ^ {1} (V_ {lambda}).}

Каждому такому элементу соответствует период эллиптической кривой. Когомологии двумерны. Связность Гаусса – Манина соответствует дифференциальному уравнению второго порядка

{displaystyle (lambda ^ {3} -27) {frac {partial ^ {2} omega _ {lambda}} {partial lambda ^ {2}}} + 3lambda ^ {2} {frac {partial omega _ {lambda}} {partial lambda}} + lambda omega _ {lambda} = 0.}

Объяснение D-модуля

В более абстрактной обстановке D-модуль теории существование таких уравнений входит в общее обсуждение прямое изображение.

Уравнения «возникающие из геометрии»

Целый класс связностей Гаусса – Манина был использован для попытки сформулировать концепцию дифференциальных уравнений, которые «возникают из геометрии». В связи с Гротендик п-гипотеза кривизны, Николас Кац доказал, что класс связностей Гаусса – Манина с алгебраическими числовыми коэффициентами удовлетворяет гипотезе. Этот результат напрямую связан с Сигель г-функция идея трансцендентная теория чисел, для решений мероморфных функций. В Гипотеза Бомбьери – Дворка, также относящийся к Ив Андре, который приводится более чем в одной версии, постулирует обратное направление: решения как г-функции, или п-искривление нильпотентный мод п почти для всех простых чисел п, означает, что уравнение «возникает из геометрии».^[3]^[4]

Смотрите также

Рекомендации

^ «Справочник по связи Гаусса – Манина». math.stackexchange.com.
^ Кац, Николас М. (2009). «Еще один взгляд на семью Дворков». Алгебра, арифметика и геометрия (PDF). Бостон: Биркхойзер. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_4. ISBN 978-0-8176-4746-9. Г-Н 2641188.
^ Рейтер, Стефан (2002). «О приложениях функтора средней свертки Каца (Деформация дифференциальных уравнений и асимптотический анализ)» (PDF). Хранилище исследовательской информации Киотского университета.
^ Тотаро, Берт (2007). «Эйлер и алгебраическая геометрия» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. раздел 1.4. 44 (4): 541–559. Дои:10.1090 / S0273-0979-07-01178-0. Г-Н 2338364.CS1 maint: location (ссылка на сайт)

Куликов, Валентин (1998), Смешанные структуры Ходжа и особенности, Кембриджский трактат по математике, стр. 1–59. (Дает отличное введение в связи Гаусса-Манина)
Димка, Александру, Пучки в топологии, стр. 55–57, 206–207 (Приводится пример связностей Гаусса – Манина и их связи с теорией D-модулей и соответствием Риммана-Гильберта)
Гриффитс, Филипп, Периоды интегралов на алгебраических многообразиях: сводка основных результатов и обсуждение открытых проблем (Дает краткий набросок основной структурной теоремы Гаусса – Манина)
Барриентос, Иван, Связность Гаусса-Манина и регулярные особые точки. (PDF)
Гротендик, Александр (1966), "О когомологиях де Рама алгебраических многообразий", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, письмо Атии, 14 октября 1963 г., 29 (29): 95–103, Дои:10.1007 / BF02684807, ISSN 0073-8301, Г-Н 0199194
"Связь Гаусса-Манина", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Манин, Ю. Я. (1958), «Алгебраические кривые над полями с дифференцированием», Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая (по-русски), 22: 737–756, Г-Н 0103889 Английский перевод в Манин, Ю. I. (1964) [1958], "Алгебраические кривые над полями с дифференцированием", Переводы Американского математического общества: 22 статьи по алгебре, теории чисел и дифференциальной геометрии, 37, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 59–78, ISBN 978-0-8218-1737-7, Г-Н 0103889

[1] «Справочник по связи Гаусса – Манина». math.stackexchange.com.

[2] Кац, Николас М. (2009). «Еще один взгляд на семью Дворков». Алгебра, арифметика и геометрия (PDF). Бостон: Биркхойзер. Дои:10.1007/978-0-8176-4747-6_4. ISBN 978-0-8176-4746-9. Г-Н 2641188.

[3] Рейтер, Стефан (2002). «О приложениях функтора средней свертки Каца (Деформация дифференциальных уравнений и асимптотический анализ)» (PDF). Хранилище исследовательской информации Киотского университета.

[4] Тотаро, Берт (2007). «Эйлер и алгебраическая геометрия» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. раздел 1.4. 44 (4): 541–559. Дои:10.1090 / S0273-0979-07-01178-0. Г-Н 2338364.CS1 maint: location (ссылка на сайт)

[1]

[2]

[3]

[4]