Гипотеза зеркальной симметрии - Mirror symmetry conjecture

Для использования в других целях см. Зеркальная симметрия (значения).

В математике зеркальная симметрия предположительная связь между определенными Многообразия Калаби – Яу. и сконструированный «зеркальный коллектор». Гипотеза позволяет связать количество рациональные кривые на многообразии Калаби-Яу (кодируется как Инварианты Громова – Виттена. ) в интегралы из семейства разновидностей (кодируемых как интегралы по периодам на вариация структур Ходжа ). Короче говоря, это означает, что существует связь между количеством родов ${\displaystyle g}$ алгебраические кривые степени ${\displaystyle d}$ на разновидности Калаби-Яу ${\displaystyle X}$ и интегралы на двойственном многообразии ${\displaystyle {\check {X}}}$. Эти отношения были впервые открыты Канделасом, Де ла Осса, Грином и Парксом.^[1] в статье, посвященной общему пятикратный тройной в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ как разновидность ${\displaystyle X}$ и конструкция^[2] из квинтики Семья Дворк ${\displaystyle X_{\psi }}$ давая ${\displaystyle {\check {X}}={\tilde {X}}_{\psi }}$. Вскоре после, Шелдон Кац написал итоговую статью^[3] описывая часть их конструкции и предполагая, какой могла бы быть строгая математическая интерпретация.

Построение пятого тройного зеркала

Первоначально конструкция зеркальных многообразий была открыта с помощью специальной процедуры. По сути, к универсальному пятикратный тройной ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{4}}$ должно быть связано однопараметрическое семейство Калаби-Яу коллекторы ${\displaystyle X_{\psi }}$ который имеет несколько особенностей. После взрыв эти особенности, они разрешены и новое многообразие Калаби-Яу ${\displaystyle X^{\vee }}$ был построен. на котором был перевернутый алмаз Ходжа. В частности, есть изоморфизмы

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p})}$

но самое главное есть изоморфизм

${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})\cong H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$

где теория струн ( Модель из ${\displaystyle X}$) для государств в ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ заменяется теорией струн ( B-модель из ${\displaystyle X^{\vee }}$) с состояниями в ${\displaystyle H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})}$. Теория струн в A-модели зависела только от кэлеровой или симплектической конструкции на ${\displaystyle X}$ в то время как B-модель зависит только от сложной структуры на ${\displaystyle X^{\vee }}$. Здесь мы обрисовываем исходную конструкцию зеркальных многообразий и рассматриваем теоретические основы теории струн и гипотезу о зеркальных многообразиях в следующем разделе этой статьи.

Комплексные модули

Напомним, что общий пятикратный тройной^[2][4] ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ определяется однородный многочлен степени ${\displaystyle 5}$. Этот многочлен эквивалентно описывается как глобальная секция линейный пакет ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}$.^[1][5] Обратите внимание, что векторное пространство глобальных секций имеет размерность

${\displaystyle \dim {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126}$

но есть две эквивалентности этих многочленов. Во-первых, полиномы при масштабировании алгебраический тор ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$^[6] (ненулевые скейлеры базового поля) с учетом эквивалентных пространств. Во-вторых, проективная эквивалентность задается автоморфизм группа ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$, ${\displaystyle {\text{PGL}}(5)}$ который ${\displaystyle 24}$ размерный. Это дает ${\displaystyle 101}$ пространство размерных параметров

${\displaystyle U_{smooth}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)}$

поскольку ${\displaystyle 126-24-1=101}$, который можно построить с помощью Геометрическая теория инвариантов. Набор ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$ соответствует классам эквивалентности многочленов, которые определяют гладкие квинтические трехмерные многообразия Калаби-Яу в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$, давая пространство модулей квинтики Калаби-Яу.^[7] Теперь, используя Двойственность Серра и тот факт, что каждое многообразие Калаби-Яу имеет тривиальные канонический пакет ${\displaystyle \omega _{X}}$, пространство деформации имеет изоморфизм

${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$

с ${\displaystyle (2,1)}$ часть Структура Ходжа на ${\displaystyle H^{3}(X)}$. С использованием Теорема Лефшеца о гиперплоскости единственная нетривиальная группа когомологий - это ${\displaystyle H^{3}(X)}$ так как остальные изоморфны ${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{4})}$. С использованием Эйлерова характеристика и Класс Эйлера, какой высший класс Черна, размерность этой группы ${\displaystyle 204}$. Это потому что

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}}$

С использованием Структура Ходжа мы можем найти размеры каждого из компонентов. Во-первых, потому что ${\displaystyle X}$ Калаби-Яу, ${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ так

${\displaystyle H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

давая числа Ходжа ${\displaystyle h^{0,3}=h^{3,0}=1}$, следовательно

${\displaystyle \dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101}$

задающий размерность пространства модулей многообразий Калаби-Яу. Из-за Теорема Богомолева-Тиан-Тодорова, все такие деформации беспрепятственны, поэтому гладкое пространство ${\displaystyle U_{smooth}}$ на самом деле пространство модулей пятерых трехмерных многообразий. Весь смысл этой конструкции состоит в том, чтобы показать, как комплексные параметры в этом пространстве модулей преобразуются в Kähler параметры зеркального коллектора.

Зеркальный коллектор

Существует выделенное семейство многообразий Калаби-Яу ${\displaystyle X_{\psi }}$ называется Семья Дворк. Это проективная семья

${\displaystyle X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)}$

над комплексной плоскостью ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])}$. Теперь обратите внимание, что существует только одно измерение сложных деформаций этого семейства, происходящее от ${\displaystyle \psi }$ имеющие разные значения. Это важно, потому что алмаз Ходжа зеркального коллектора ${\displaystyle {\check {X}}}$ имеет

${\displaystyle \dim H^{2,1}({\check {X}})=1}$.

Во всяком случае, семья ${\displaystyle X_{\psi }}$ имеет группу симметрии

${\displaystyle G=\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\}}$

действуя

${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]}$

Обратите внимание на проективность ${\displaystyle X_{\psi }}$ это причина состояния

${\displaystyle \sum a_{i}=0}$

Ассоциированное фактормногообразие ${\displaystyle X_{\psi }/G}$ имеет крепантное разрешение данный^[2][5] взорвав ${\displaystyle 100}$ особенности

${\displaystyle {\check {X}}\to X_{\psi }/G}$

давая новое многообразие Калаби-Яу ${\displaystyle {\check {X}}}$ с ${\displaystyle 101}$ параметры в ${\displaystyle H^{1,1}({\check {X}})}$. Это зеркальный коллектор, ${\displaystyle H^{3}({\check {X}})=4}$ где каждое число Ходжа равно ${\displaystyle 1}$.

Идеи из теории струн

Смотрите также: Зеркальная симметрия (теория струн)

В теория струн есть класс моделей под названием нелинейные сигма-модели которые изучают семейства карт ${\displaystyle \phi :\Sigma \to X}$ куда ${\displaystyle \Sigma }$ это род ${\displaystyle g}$ алгебраическая кривая и ${\displaystyle X}$ является Калаби-Яу. Эти кривые ${\displaystyle \Sigma }$ называются мировые листы и представляют рождение и смерть частицы в виде замкнутой струны. Поскольку со временем струна может разделиться на две или более струны, и в конечном итоге эти струны сойдутся вместе и схлопнутся в конце срока службы частицы, алгебраическая кривая математически представляет это время жизни струны. Для простоты первоначально рассматривались кривые только рода 0, и многие результаты, получившие популярность в математике, были сосредоточены только на этом случае.

Кроме того, в терминологии физики эти теории ${\displaystyle (2,2)}$ гетеротические теории струн потому что у них есть ${\displaystyle N=2}$ суперсимметрия что входит в пару, так что на самом деле существует четыре суперсимметрии. Это важно, поскольку подразумевает наличие пары операторов

${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$

действующее в гильбертовом пространстве состояний, но определенное только с точностью до знака. Эта неоднозначность - то, что изначально предполагало физикам, что должна существовать пара многообразий Калаби-Яу, которые имеют теории двойственных струн, которые обменивают эту неоднозначность между собой.

Космос ${\displaystyle X}$ имеет сложную структуру, которая интегрируемый почти сложная структура ${\displaystyle J\in {\text{End}}(TX)}$, и потому что это Кэлерово многообразие в нем обязательно есть симплектическая структура ${\displaystyle \omega }$ называется Кэлерова форма который может быть усложненный к усложненный Кэлерова форма

${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }=B+i\omega }$

который является закрытым ${\displaystyle (1,1)}$-форма, следовательно, его класс когомологий принадлежит

${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$

Основная идея гипотез о зеркальной симметрии состоит в изучении деформации, или же модули, сложной структуры ${\displaystyle J}$ и комплексифицированная симплектическая структура ${\displaystyle \omega ^{\mathbb {C} }}$ таким образом, что эти двое двойной друг другу. В частности, с точки зрения физики^{[8]стр. 1-2}, суперконформная теория поля многообразия Калаби-Яу ${\displaystyle X}$ должно быть эквивалентно дуальной суперконформной теории поля зеркального многообразия ${\displaystyle X^{\vee }}$. Здесь конформные средства конформная эквивалентность который совпадает с классом эквивалентности сложных структур на кривой ${\displaystyle \Sigma }$.

Существует два варианта нелинейных сигма-моделей, называемых Модель и B-модель которые рассматривают пары ${\displaystyle (X,\omega ^{\mathbb {C} })}$ и ${\displaystyle (X,J)}$ и их модули^{[9]ch 38 стр 729}.

Модель

Корреляционные функции из теории струн

Для данного многообразия Калаби-Яу ${\displaystyle X}$ с комплексным классом Калера ${\displaystyle [\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$ нелинейная сигма-модель теории струн должна содержать три поколения частиц, электора, слабый, и сильные ядерные силы^{[10]стр.27}. Чтобы понять, как эти силы взаимодействуют, трехточечная функция, называемая Юкава муфта вводится, который действует как корреляционная функция для государств в ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})}$. Обратите внимание, что это пространство является собственным подпространством оператора ${\displaystyle Q}$ на Гильбертово пространство из состояния для теории струн^{[8]стр. 3-5}. Эта трехточечная функция "вычисляется" как

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\rangle =&\int _{X}\omega _{1}\wedge \omega _{2}\wedge \omega _{3}+\sum _{\beta \neq 0}n_{\beta }\int _{\beta }\omega _{1}\int _{\beta }\omega _{2}\int _{\beta }\omega _{2}{\frac {e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}{1-e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}}\end{aligned}}}$

с помощью Интеграл по путям Фейнмана методы, где ${\displaystyle n_{\beta }}$ - наивное число рациональных кривых с классом гомологии ${\displaystyle \beta \in H_{2}(X;\mathbb {Z} )}$, и ${\displaystyle \omega _{i}\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$. Определение этих числа инстантонов ${\displaystyle n_{\beta }}$ является предметом Теория Громова – Виттена.. Обратите внимание, что в определении этой корреляционной функции она зависит только от класса Калера. Это вдохновило некоторых математиков на изучение гипотетических пространств модулей кэлеровых структур на многообразии.

Математическая интерпретация корреляционных функций А-модели

в Модель соответствующее пространство модулей - это модули псевдоголоморфные кривые^{[11]стр.153}

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )=\{(u:\Sigma \to X,j,z_{1},\ldots ,z_{k}):u_{*}[\Sigma ]=\beta ,{\overline {\partial }}_{J}u=0\}}$

или пространства модулей Концевича^[12]

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )=\{u:\Sigma \to X:u{\text{ is stable and }}u_{*}([\Sigma ])=\beta \}}$

Эти пространства модулей могут быть снабжены виртуальный фундаментальный класс

${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )]^{virt}}$ или же ${\displaystyle [{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )]^{virt}}$

который представлен как исчезающее геометрическое место сечения ${\displaystyle \pi _{Coker}(v)}$ связки, называемой связкой препятствий ${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$ над пространством модулей. Этот раздел основан на дифференциальном уравнении

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}(u)=v}$

что можно рассматривать как возмущение карты ${\displaystyle u}$. Его также можно рассматривать как Пуанкаре двойственный из Класс Эйлера из ${\displaystyle {\underline {\text{Obs}}}}$ если это Векторный набор.

При первоначальной конструкции рассматриваемая A-модель находилась на общей пятой тройной структуре в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$.^[9]

B-модель

Корреляционные функции из теории струн

Для того же многообразия Калаби-Яу ${\displaystyle X}$ в подразделе A-модели есть дуальная суперконформная теория поля, которая имеет состояния в собственном подпространстве ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$ оператора ${\displaystyle {\overline {Q}}}$. Его трехточечная корреляционная функция определяется как

${\displaystyle \langle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\rangle =\int _{X}\Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )}$

куда ${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$ является голоморфной 3-формой на ${\displaystyle X}$ а при бесконечно малой деформации ${\displaystyle \theta }$ (поскольку ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$ - касательное пространство к пространству модулей многообразий Калаби-Яу, содержащее ${\displaystyle X}$, посредством Карта Кодаира – Спенсер и Теорема Богомолева-Тиан-Тодорова ) существует связь Гаусса-Манина ${\displaystyle \nabla _{\theta }}$ принимая ${\displaystyle (p,q)}$ класс в ${\displaystyle (p+1,q-1)}$ класс, следовательно

${\displaystyle \Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )\in H^{3}(X,\Omega _{X}^{3})}$

может быть интегрирован на ${\displaystyle X}$. Обратите внимание, что эта корреляционная функция зависит только от сложной структуры ${\displaystyle X}$.

Другая формулировка связи Гаусса-Манина

Действие классов когомологий ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X,T_{X})}$ на ${\displaystyle \Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})}$ можно также понимать как когомологический вариант интерьерный продукт. Локально класс ${\displaystyle \theta }$ соответствует коциклу Чеха ${\displaystyle [\theta _{i}]_{i\in I}}$ для какой-то достаточно красивой обложки ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ давая раздел ${\displaystyle \theta _{i}\in T_{X}(U_{i})}$. Затем продукт вставки дает элемент

${\displaystyle \iota _{\theta _{i}}(\Omega |_{U_{i}})\in H^{0}(U_{i},\Omega _{X}^{2}|_{U_{i}})}$

который можно приклеить обратно в элемент ${\displaystyle \iota _{\theta }(\Omega )}$ из ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X}^{2})}$. Это потому, что на перекрытиях

${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=U_{ij}}$, ${\displaystyle \theta _{i}|_{ij}=\theta _{j}|_{ij}}$

давая

${\displaystyle {\begin{aligned}(\iota _{\theta _{i}}\Omega |_{U_{i}})|_{U_{ij}}&=\iota _{\theta _{i}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=\iota _{\theta _{j}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=(\iota _{\theta _{j}}\Omega |_{U_{j}})|_{U_{ij}}\end{aligned}}}$

следовательно, он определяет 1-коцикл. Повторение этого процесса дает 3-коцикл

${\displaystyle \iota _{\theta _{1}}\iota _{\theta _{2}}\iota _{\theta _{3}}\Omega \in H^{3}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

что равно ${\displaystyle \nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega }$. Это потому, что локально связь Гаусса-Манина действует как внутренний продукт.

Математическая интерпретация корреляционных функций B-модели

Математически B-модель это вариация строений ходжа который изначально был подарен конструкцией от семьи Дворков.

Зеркальная гипотеза

Связывая эти две модели теории струн, разрешая неоднозначность знака для операторов ${\displaystyle (Q,{\overline {Q}})}$ привело физиков к следующей гипотезе^[8]стр.22: для многообразия Калаби-Яу ${\displaystyle X}$ должно существовать зеркальное многообразие Калаби-Яу ${\displaystyle X^{\vee }}$ такой, что существует зеркальный изоморфизм

${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$

что дает совместимость связанной A-модели и B-модели. Это означает данный ${\displaystyle H\in H^{1}(X,\Omega _{X})}$ и ${\displaystyle \theta \in H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})}$ такой, что ${\displaystyle H\mapsto \theta }$ под зеркальным отображением имеется равенство корреляционных функций

${\displaystyle \langle H,H,H\rangle =\langle \theta ,\theta ,\theta \rangle }$

Это важно, поскольку связано с количеством степеней ${\displaystyle d}$ род ${\displaystyle 0}$ кривые на пятом многообразии ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ (так ${\displaystyle H^{1,1}\cong \mathbb {Z} }$) к интегралам в одной из разновидностей структур Ходжа. Более того, эти интегралы действительно вычислимы!

Смотрите также

• Котангенс комплекс
• Гомотопическая ассоциативная алгебра
• Структура Кураниши
• Зеркальная симметрия (теория струн)
• Модули алгебраических кривых
• Пространство модулей Концевича

внешняя ссылка

• https://ocw.mit.edu/courses/mat Mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

Рекомендации

1. Канделас, Филипп; Де Ла Осса, Ксения С .; Грин, Пол С .; Паркс, Линда (1991-07-29). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно решаемая суперконформная теория». Ядерная физика B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991НуФБ.359 ... 21С. Дои:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN  0550-3213.
2. Ору, Деннис. "Квинтик 3-кратное и его зеркало" (PDF).
3. Кац, Шелдон (1993-12-29). «Рациональные кривые на трехмерных многообразиях Калаби-Яу». arXiv:alg-geom / 9312009.
4. например, как множество, многообразие Калаби-Яу является подмножеством сложное проективное пространство${\displaystyle \{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}}$
5. Моррисон, Дэвид Р. (1993). «Зеркальная симметрия и рациональные кривые на трехмерных многообразиях пятой степени: руководство для математиков». J. Amer. Математика. Soc. 6: 223–247. arXiv:alg-geom / 9202004. Дои:10.1090 / S0894-0347-1993-1179538-2. S2CID  9228037.
6. Который можно рассматривать как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$-действие на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}-\{0\}}$ строительство сложное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$
7. В более общем смысле такие пространства модулей строятся с использованием проективной эквивалентности схем в фиксированном проективном пространстве на фиксированном Схема гильберта
8. Кокс, Дэвид А. Кац, Шелдон. (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2127-5. OCLC  903477225.
9. Зеркальная симметрия. Хори, Кентаро. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 2003 г. ISBN  0-8218-2955-6. OCLC  52374327.
10. Гамильтон, М. Дж. Д. (24 июля 2020 г.). «Бозон Хиггса для математиков. Конспект лекций по калибровочной теории и нарушению симметрии». arXiv:1512.02632 [math.DG ].
11. Макдафф, Дуса, 1945- (2012). J-голоморфные кривые и симплектическая топология. Саламон, Д. (Дитмар) (2-е изд.). Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8746-2. OCLC  794640223.
12. Концевич, М .; Манин, Ю. (1994). «Классы Громова-Виттена, квантовые когомологии и перечислительная геометрия». Коммуникации по математической физике. 164 (3): 525–562. arXiv:hep-th / 9402147. Bibcode:1994CMaPh.164..525K. Дои:10.1007 / BF02101490. ISSN  0010-3616. S2CID  18626455.

Книги / заметки

• Зеркальная симметрия - Институт математики Клэя электронная книга
• Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия - Кокс, Кац
• О работе Гивенталя относительно зеркальной симметрии

Первые доказательства

• Эквивариантные инварианты Громова - Виттена. - Оригинальное доказательство Гивенталя проективных полных пересечений
• Зеркальная формула для квинтических трехмерных многообразий
• Рациональные кривые на гиперповерхностях (по А. Гивенталя) - объяснение доказательства Гивенталя
• Принцип зеркального отражения I - Доказательство Лян, Лю и Яу закрывает пробелы в доказательстве Гивенталя. Его доказательство потребовало неразвитой теории гомологии Флоера.
• Двойственные многогранники и зеркальная симметрия гиперповерхностей Калаби-Яу в торических многообразиях - первая общая конструкция зеркальных многообразий для торических многообразий Калаби-Яу.
• Зеркальная симметрия абелевых многообразий

Исследование

• Зеркальная симметрия: от категорий до подсчета кривых - связь между гомологической зеркальной симметрией и классической зеркальной симметрией
• Собственная зеркальная симметрия и выколотые инварианты Громова-Виттена

Гомологическая зеркальная симметрия

• Категориальная зеркальная симметрия: эллиптическая кривая
• Введение в гомологическую зеркальную симметрию и случай эллиптических кривых
• Гомологическая зеркальная симметрия кривой рода два
• Гомологическая зеркальная симметрия для квинтики 3-кратной
• Гомологическая зеркальная симметрия гиперповерхностей Калаби-Яу в проективном пространстве
• Размышления о гомологической зеркальной симметрии гиперповерхностей в ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$