Структура Кураниши - Kuranishi structure

В математике, особенно в топология, а Структура Кураниши является гладким аналогом схема структура. Если топологическое пространство наделено структурой Кураниши, то локально его можно отождествить с нулевым множеством гладкого отображения ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{k})\colon \mathbb {R} ^{n+k}\to \mathbb {R} ^{k}}$, или фактор такого нулевого множества по конечной группе. Структуры Кураниши были введены японскими математиками. Кенджи Фукая и Каору Оно в изучении Инварианты Громова – Виттена. и Гомология Флора в симплектической геометрии и были названы в честь Масатаке Кураниши.^[1]

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть компактный метризуемый топологическое пространство. Позволять ${\displaystyle p\in X}$ быть точкой. А Район Кураниши из ${\displaystyle p}$ (размерности ${\displaystyle k}$) является 5-кратным

${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$

куда

• ${\displaystyle U_{p}}$ гладкий орбифолд;
• ${\displaystyle E_{p}\to U_{p}}$ - гладкое векторное расслоение орбифолдов;
• ${\displaystyle S_{p}\colon U_{p}\to E_{p}}$ гладкое сечение;
• ${\displaystyle F_{p}}$ открытый район ${\displaystyle p}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}}$ это гомеоморфизм.

Они должны удовлетворить это ${\displaystyle \dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k}$.

Если ${\displaystyle p,q\in X}$ и ${\displaystyle K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})}$, ${\displaystyle K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})}$ являются их окрестностями Кураниши соответственно, то a изменение координат из ${\displaystyle K_{q}}$ к ${\displaystyle K_{p}}$ это тройка

${\displaystyle T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq}),}$

куда

• ${\displaystyle U_{pq}\subset U_{q}}$ - открытое подобъорбифолд;
• ${\displaystyle \phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}}$ орбифолдное вложение;
• ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}}$ орбифолдное вложение векторных расслоений, покрывающее ${\displaystyle \phi _{pq}}$.

Кроме того, эти данные должны удовлетворять следующим условиям совместимости:

• ${\displaystyle S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}}$;
• ${\displaystyle \psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}}$.

А Структура Кураниши на ${\displaystyle X}$ измерения ${\displaystyle k}$ это коллекция

${\displaystyle {\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},}$

куда

• ${\displaystyle K_{p}}$ это район Кураниши в ${\displaystyle p}$ измерения ${\displaystyle k}$;
• ${\displaystyle T_{pq}}$ изменение координаты от ${\displaystyle K_{q}}$ к ${\displaystyle K_{p}}$.

Кроме того, изменения координат должны удовлетворять состояние коцикла, а именно, когда ${\displaystyle q\in F_{p},\ r\in F_{q}}$, мы требуем, чтобы

${\displaystyle \phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}}$

по регионам, где определены обе стороны.

История

В Теория Громова – Виттена., необходимо определить интегрирование по пространству модулей псевдоголоморфных кривых ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$.^[2] Это пространство модулей примерно представляет собой набор отображений ${\displaystyle u}$ из узлового Риманова поверхность с родом ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle n}$ отмеченные точки в симплектическое многообразие ${\displaystyle X}$, такая, что каждый компонент удовлетворяет Уравнение Коши – Римана

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{J}u=0}$.

Если пространство модулей - гладкое компактное ориентированное многообразие или орбифолд, то интегрирование (или фундаментальный класс ) можно определить. Когда симплектическое многообразие ${\displaystyle X}$ является полуположительный, это действительно так (за исключением границ коразмерности 2 пространства модулей), если почти сложная структура ${\displaystyle J}$ возмущается в общем случае. Однако когда ${\displaystyle X}$ не является полуположительным (например, гладкое проективное многообразие с отрицательным первым классом Черна), пространство модулей может содержать конфигурации, для которых одна компонента является кратным покрытием голоморфной сферы ${\displaystyle u\colon S^{2}\to X}$ чье пересечение с первым Черн класс из ${\displaystyle X}$ отрицательный. Такие конфигурации делают пространство модулей очень сингулярным, поэтому фундаментальный класс не может быть определен обычным способом.

Представление о структуре Кураниши было способом определения виртуальный фундаментальный цикл, который играет ту же роль, что и фундаментальный цикл при поперечном вырезании пространства модулей. Впервые он был использован Фукая и Оно при определении инвариантов Громова – Виттена и гомологии Флоера и получил дальнейшее развитие, когда Фукая, Ён-Гын О, Хироши Охта и Оно изучали Лагранжевы пересечения теория Флора.^[3]

Рекомендации

1. Фукая, Кендзи; Оно, Каору (1999). "Гипотеза Арнольда и инвариант Громова – Виттена". Топология. 38 (5): 933–1048. Дои:10.1016 / S0040-9383 (98) 00042-1. МИСТЕР  1688434.
2. Макдафф, Дуса; Саламон, Дитмар (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология. Публикации коллоквиума Американского математического общества. 52. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / coll / 052. ISBN  0-8218-3485-1. МИСТЕР  2045629.
3. Фукая, Кендзи; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009). Лагранжева теория пересечения плавников: аномалия и препятствие, часть I и часть II. Исследования AMS / IP по высшей математике. 46. Провиденс, Род-Айленд и Сомервилл, Массачусетс: Американское математическое общество и международная пресса. ISBN  978-0-8218-4836-4. МИСТЕР  2553465. OCLC  426147150. МИСТЕР2548482

• Фукая, Кендзи; Тегерани, Мохаммад Ф. (2019). «Теория Громова-Виттена через структуры Кураниши». В Морган, Джон В. (ред.). Виртуальные фундаментальные циклы в симплектической топологии. Математические обзоры и монографии. 237. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 111–252. arXiv:1701.07821. ISBN  978-1-4704-5014-4. МИСТЕР  2045629.