Инвариант Громова – Виттена. - Gromov–Witten invariant

В математика особенно в симплектическая топология и алгебраическая геометрия, Громов – Виттен (ГВт) инварианты находятся рациональное число что в определенных ситуациях считается псевдоголоморфные кривые соблюдение установленных условий в данном симплектическое многообразие. Инварианты GW могут быть упакованы как гомология или же когомология класс в подходящем пространстве, или как деформированный чашка продукта из квантовые когомологии. Эти инварианты использовались для различения симплектических многообразий, которые ранее были неразличимы. Они также играют решающую роль в закрытых теория струн типа IIA. Они названы в честь Михаил Громов и Эдвард Виттен.

Строгое математическое определение инвариантов Громова – Виттена длинно и сложно, поэтому оно рассматривается отдельно в стабильная карта статья. В этой статье делается попытка более интуитивного объяснения того, что означают инварианты, как они вычисляются и почему они важны.

Определение

Обратите внимание на следующее:

Икс: а закрыто симплектическое многообразие размерности 2k,
А: двумерный класс гомологии в Икс,
грамм: неотрицательное целое число,
п: неотрицательное целое число.

Теперь определим инварианты Громова – Виттена, ассоциированные с набором из 4: (Икс, А, грамм, п). Позволять ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$ быть Пространство модулей Делиня – Мамфорда кривых рода грамм с п отмеченные точки и ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ обозначим пространство модулей стабильные карты в Икс класса А, для некоторых избранных почти сложная структура J на Икс совместим с его симплектической формой. Элементы ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ имеют вид:

{ displaystyle (C, x_ {1}, ldots, x_ {n}, f)}

,

куда C является (не обязательно стабильной) кривой с п отмеченные точки Икс₁, ..., Икс_п и ж : C → Икс псевдоголоморфен. Пространство модулей имеет реальную размерность

{ displaystyle d: = 2c_ {1} ^ {X} (A) + (2k-6) (1-g) + 2n.}

Позволять

{ displaystyle mathrm {st} (C, x_ {1}, ldots, x_ {n}) in { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}

обозначить стабилизация кривой. Позволять

{ displaystyle Y: = { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} times X ^ {n},}

который имеет реальное измерение ${ Displaystyle 6g-6 + 2 (к + 1) п}$ . Есть оценочная карта

{ displaystyle { begin {cases} mathrm {ev}: { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A) to Y mathrm {ev} (C, x_ {1}, ldots, x_ {n}, f) = left ( operatorname {st} (C, x_ {1}, ldots, x_ {n}), f (x_ {1}), ldots, f (x_ {n}) right). end {case}}}

Карта оценки отправляет фундаментальный класс из ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ к d-мерный класс рациональных гомологий в Y, обозначенный

{ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} in H_ {d} (Y, mathbb {Q}).}

В некотором смысле этот класс гомологии является Инвариант Громова – Виттена. из Икс для данных грамм, п, и А. Это инвариантный симплектического изотопического класса симплектического многообразия Икс.

Для геометрической интерпретации инварианта Громова – Виттена пусть β - класс гомологий в ${ displaystyle { overline { mathcal {M}}} _ {g, n}}$ и ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}}$ классы гомологии в Икс, такая, что сумма коразмерностей ${ Displaystyle бета, альфа _ {1}, ldots, альфа _ {п}}$ равно d. Они индуцируют классы гомологии в Y посредством Формула Кюннета. Позволять

{ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} ( beta, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}): = GW_ {g, n} ^ {X, A} cdot beta cdot alpha _ {1} cdots alpha _ {n} in H_ {0} (Y, mathbb {Q}),}

куда ${ displaystyle cdot}$ обозначает продукт пересечения в рациональных гомологиях Y. Это рациональное число, Инвариант Громова – Виттена. для данных классов. Это число дает "виртуальный" подсчет числа псевдоголоморфных кривых (в классе А, рода грамм, с областью в β-части пространства Делиня – Мамфорда), п отмеченные точки отображаются в циклы, представляющие ${ displaystyle alpha _ {я}}$ .

Проще говоря, инвариант GW считает, сколько существует кривых, пересекающих п выбранные подмногообразия Икс. Однако из-за «виртуального» характера подсчета оно не обязательно должно быть натуральным числом, как можно было бы ожидать от подсчета. Поскольку пространство стабильных отображений - это орбифолд, точки изотропии которого могут давать инвариант нецелочисленные значения.

Существует множество вариантов этой конструкции, в которых когомологии используются вместо гомологий, интегрирование заменяет пересечение, Классы Черна извлечены из пространства Делиня-Мамфорда, также интегрированы и т. д.

Вычислительные методы

Инварианты Громова – Виттена, как правило, трудно вычислить. Хотя они определены для любых общих почти сложная структура J, для чего линеаризация D из ${ displaystyle { bar { partial}} _ {j, J}}$ оператор сюръективный, они фактически должны быть вычислены относительно конкретного, выбранного J. Удобнее всего выбирать J со специальными свойствами, такими как неуниверсальные симметрии или интегрируемость. Действительно, расчеты часто проводятся на Кэлеровы многообразия используя приемы алгебраической геометрии.

Однако особый J может вызвать несюръективный D и, таким образом, пространство модулей псевдоголоморфных кривых больше, чем ожидалось. Грубо говоря, этот эффект корректируется путем формирования из коядро из D а векторный набор, называется связка препятствий, а затем реализуя инвариант ГВ как интеграл от Класс Эйлера пучка обструкции. Чтобы сделать эту идею точной, требуются серьезные технические аргументы, используя Структуры Кураниши.

Основная вычислительная техника: локализация. Это применимо, когда Икс является торический, что означает, что на него действует комплексный тор или, по крайней мере, локально торический. Тогда можно использовать Теорема Атьи – Ботта о неподвижной точке, из Майкл Атья и Рауль Ботт, чтобы сократить или локализовать вычисление инварианта GW для интегрирования по локусу неподвижной точки действия.

Другой подход - использовать симплектические операции, чтобы связать Икс в одно или несколько других пространств, чьи инварианты GW вычислить легче. Конечно, сначала нужно понять, как инварианты ведут себя при операциях. Для таких приложений часто используется более сложный относительные инварианты GW, которые считают кривые с заданными условиями касания вдоль симплектического подмногообразия Икс реальной коразмерности два.

Связанные инварианты и другие конструкции

Инварианты GW тесно связаны с рядом других геометрических понятий, включая Инварианты Дональдсона и Инварианты Зайберга – Виттена. в симплектической категории и Теория Дональдсона – Томаса в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырехмерных многообразий Клиффорд Таубс показал, что вариант инвариантов GW (см. Инвариант Громова Таубса ) эквивалентны инвариантам Зайберга – Виттена. Предполагается, что для трехмерных алгебраических многообразий они содержат ту же информацию, что и целочисленные. Инварианты Дональдсона – Томаса. Физические соображения также вызывают Инварианты Гопакумара – Вафа, которые предназначены для подсчета целых чисел типично рациональной теории Громова-Виттена. Инварианты Гопакумара-Вафа в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из основных проблем в данной области.

Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть полностью определены в рамках алгебраической геометрии. И классическая перечислительная геометрия плоских кривых, и рациональных кривых в однородных пространствах захватывается инвариантами GW. Однако главное преимущество инвариантов GW перед классическими счетными счетами состоит в том, что они инвариантны относительно деформаций сложной структуры цели. Инварианты GW также дают деформации структуры произведения в кольце когомологий симплектического или проективного многообразия; их можно организовать для построения квантовые когомологии кольцо многообразия Икс, что является деформацией обычных когомологий. Ассоциативность деформированного продукта по существу является следствием самоподобной природы пространства модулей стабильных отображений, которые используются для определения инвариантов.

Кольцо квантовых когомологий, как известно, изоморфно симплектическому Гомология Флоера с его продуктом пары брюк.

Применение в физике

Инварианты GW представляют интерес для теории струн - раздела физики, который пытается объединить общая теория относительности и квантовая механика. В этой теории все во Вселенной, начиная с элементарные частицы, сделан из крошечных струны. Когда струна движется в пространстве-времени, она очерчивает поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере, априори, является бесконечномерным; нет подходящего мера на этом пространстве известно, и поэтому интегралы по путям теории не имеют строгого определения.

Ситуация улучшается в варианте, известном как закрытая А-модель. Здесь есть шесть пространственно-временных измерений, которые составляют симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризуются псевдоголоморфными кривыми, пространства модулей которых только конечномерны. Инварианты GW, как интегралы по этим пространствам модулей, в этом случае являются интегралами по путям теории. В частности, свободная энергия А-модели на род грамм это производящая функция рода грамм Инварианты GW.

Смотрите также

Котангенс комплекс - по теории деформации
Исчисление Шуберта

дальнейшее чтение

Пространства модулей стабильных отображений рода один, виртуальные классы и упражнение по теории пересечений - Андреа Тирелли
Коцк, Иоахим; Вайнсенчер, Израиль (2007). Приглашение к квантовым когомологиям: формула Концевича для рациональных плоских кривых. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-8176-4456-7. Хорошее введение с историей и упражнениями к формальному понятию пространство модулей, подробно рассматривает случай проективных пространств, используя основы языка схемы.
Вакил, Рави (2006). "Пространство модулей кривых и теория Громова – Виттена". arXiv:математика / 0602347. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)