Стабильная карта - Stable map

В математика особенно в симплектическая топология и алгебраическая геометрия, можно построить пространство модулей из стабильные карты, удовлетворяющие заданным условиям, от Римановы поверхности в данный симплектическое многообразие. Это пространство модулей является сущностью Инварианты Громова – Виттена., которые находят применение в перечислительная геометрия и теория струн типа IIA. Идея стабильной карты была предложена Максим Концевич около 1992 г. и опубликовано в Концевич (1995).

Поскольку построение длинное и сложное, оно проводится здесь, а не в самой статье об инвариантах Громова – Виттена.

Пространство модулей гладких псевдоголоморфных кривых

Исправить закрыто симплектическое многообразие ${\displaystyle X}$ с симплектическая форма ${\displaystyle \omega }$. Позволять ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle n}$ быть натуральные числа (включая ноль) и ${\displaystyle A}$ двумерный гомология класс в ${\displaystyle X}$. Тогда можно рассмотреть множество псевдоголоморфные кривые

${\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,}$

куда ${\displaystyle (C,j)}$ гладкая, замкнутая Риманова поверхность рода ${\displaystyle g}$ с ${\displaystyle n}$ отмеченные точки ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, и

${\displaystyle f:C\to X\,}$

- функция, удовлетворяющая при некотором выборе ${\displaystyle \omega }$-приручить почти сложная структура ${\displaystyle J}$ и неоднородный член ${\displaystyle \nu }$возмущенные Уравнение Коши – Римана

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .}$

Обычно допускаются только те ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle n}$ которые делают прокол Эйлерова характеристика ${\displaystyle 2-2g-n}$ из ${\displaystyle C}$ отрицательный; тогда домен стабильный, означающее, что существует только конечное число голоморфных автоморфизмов ${\displaystyle C}$ которые сохраняют отмеченные точки.

Оператор ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$ является эллиптический и поэтому Фредхольм. После значительных аналитических аргументов (составление подходящего Соболева норма, применяя теорема о неявной функции и Теорема Сарда за Банаховы многообразия, и используя эллиптическая регулярность для восстановления гладкости) можно показать, что для общего выбора ${\displaystyle \omega }$-приручить ${\displaystyle J}$ и возмущение ${\displaystyle \nu }$, набор ${\displaystyle (j,J,\nu )}$-голоморфные кривые рода ${\displaystyle g}$ с ${\displaystyle n}$ отмеченные точки, которые представляют класс ${\displaystyle A}$ образует гладкую, ориентированную орбифолд

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)}$

размерности, заданной Теорема Атьи-Зингера об индексе,

${\displaystyle d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.}$

Стабильная компактификация карты

Этот пространство модулей карт нет компактный, потому что последовательность кривых может выродиться в особую кривую, которая не находится в пространстве модулей, как мы его определили. Это происходит, например, когда энергия из ${\displaystyle f}$ (имеется в виду L²-норма производной) концентрируется в некоторой точке области. Можно уловить энергию, изменив масштаб карты вокруг точки концентрации. Эффект состоит в том, чтобы прикрепить сферу, называемую пузырь, в исходную область в точке концентрации и растянуть карту по сфере. Измененная карта может по-прежнему иметь энергию, концентрирующуюся в одной или нескольких точках, поэтому необходимо повторно масштабировать итеративно, в конечном итоге присоединяя весь пузырьковое дерево на исходный домен, с правильным поведением карты на каждом гладком компоненте нового домена.

Чтобы уточнить это, определите стабильная карта быть псевдоголоморфным отображением с римановой поверхности с, в худшем случае, узловыми особенностями, такое, что существует только конечное число автоморфизмов отображения. Конкретно это означает следующее. Гладкая компонента нодальной римановой поверхности называется стабильный если существует не более конечного числа автоморфизмов, сохраняющих свои отмеченные и узловые точки. Тогда стабильное отображение - это псевдоголоморфное отображение, по крайней мере, с одним стабильным компонентом области, таким, что для каждой из других компонент области

• карта не является постоянной на этом компоненте, или
• этот компонент стабилен.

Важно отметить, что область стабильной карты не обязательно должна быть стабильной кривой. Однако можно сжать его нестабильные компоненты (итеративно), чтобы получить стабильную кривую, называемую стабилизация ${\displaystyle \mathrm {st} (C)}$ домена ${\displaystyle C}$.

Множество всех стабильных отображений римановых поверхностей рода ${\displaystyle g}$ с ${\displaystyle n}$ отмеченные точки образуют пространство модулей

${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).}$

Топология определяется тем, что последовательность стабильных отображений сходится тогда и только тогда, когда

• их (стабилизированные) области сходятся в Пространство модулей Делиня – Мамфорда кривых ${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}}$,
• они сходятся равномерно по всем производным на компактных подмножествах вдали от узлов, и
• энергия, концентрирующаяся в любой точке, равна энергии пузырькового дерева, прикрепленного в этой точке на карте пределов.

Пространство модулей стабильных отображений компактно; то есть любая последовательность стабильных отображений сходится к стабильному отображению. Чтобы показать это, последовательно масштабируют последовательность карт. На каждой итерации появляется новая предельная область, возможно, особая, с меньшей концентрацией энергии, чем на предыдущей итерации. На этом шаге симплектическая форма ${\displaystyle \omega }$ входит решающим образом. Энергия любого гладкого отображения, представляющего класс гомологии ${\displaystyle B}$ ограничена снизу симплектическая область ${\displaystyle \omega (B)}$,

${\displaystyle \omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},}$

с равенством тогда и только тогда, когда отображение псевдоголоморфно. Это ограничивает энергию, захваченную на каждой итерации изменения масштаба, и, таким образом, подразумевает, что для захвата всей энергии требуется только конечное число изменений масштаба. В конце концов, карта пределов в новой области пределов стабильна.

Компактифицированное пространство снова представляет собой гладкое ориентированное орбифолд. Карты с нетривиальными автоморфизмами соответствуют точкам с изотропией на орбифолде.

Псевдоцикл Громова – Виттена.

Чтобы построить инварианты Громова – Виттена, нужно продвинуть пространство модулей стабильных отображений вперед под оценочная карта

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\to {\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},}$

${\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\mapsto (\mathrm {st} (C,j),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))}$

для получения при подходящих условиях рациональный класс гомологии

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\overline {M}}_{g,n}\times X^{n},\mathbb {Q} ).}$

Рациональные коэффициенты необходимы, потому что пространство модулей является орбифолдом. Класс гомологии, определяемый оценочной картой, не зависит от выбора общего ${\displaystyle \omega }$-приручить ${\displaystyle J}$ и возмущение ${\displaystyle \nu }$. Это называется Инвариант Громова – Виттена (ГВ) из ${\displaystyle X}$ по приведенным данным ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle n}$, и ${\displaystyle A}$. Аргумент кобордизма может быть использован, чтобы показать, что этот класс гомологии не зависит от выбора ${\displaystyle \omega }$, с точностью до изотопии. Таким образом, инварианты Громова – Виттена являются инвариантами симплектических изотопических классов симплектических многообразий.

«Подходящие условия» довольно тонкие, в первую очередь потому, что многократно покрытые карты (карты, которые учитывают разветвленное покрытие области) могут образовывать пространства модулей большей размерности, чем ожидалось.

Самый простой способ справиться с этим - предположить, что целевой коллектор ${\displaystyle X}$ является полуположительный или же Фано в определенном смысле. Это предположение выбрано именно так, чтобы пространство модулей многократно покрытых отображений имело коразмерность не менее двух в пространстве непокрытых отображений. Тогда изображение оценочной карты образует псевдоцикл, который индуцирует хорошо определенный класс гомологий ожидаемой размерности.

Определение инвариантов Громова – Виттена без предположения о какой-либо полуположительности требует сложной технической конструкции, известной как цикл виртуальных модулей.

Рекомендации

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, J-голоморфные кривые и симплектическая топология, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004 г. ISBN  0-8218-3485-1.
• Концевич, Максим (1995). «Перечисление рациональных кривых через действия тора». Прогр. Математика. 129: 335–368. МИСТЕР  1363062.