Перечислительная геометрия - Enumerative geometry

В математика, перечислительная геометрия это филиал алгебраическая геометрия занимается подсчетом числа решений геометрических вопросов, в основном с помощью теория пересечений.

История

В проблема Аполлония является одним из самых ранних примеров перечислительной геометрии. Эта задача требует количества и построения окружностей, которые касаются трех заданных окружностей, точек или прямых. В общем, задача для трех заданных кругов имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 23, каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако для особого расположения данных кругов количество решений также может быть любым целым числом от 0 (без решений) до шести; нет договоренности, для которой существует семь решений проблемы Аполлония.

Ключевые инструменты

Ряд инструментов, от простых до более сложных, включают:

Перечислительная геометрия очень тесно связана с теория пересечений.

Исчисление Шуберта

Перечислительная геометрия получила впечатляющее развитие к концу девятнадцатого века благодаря Герман Шуберт.[1] Он ввел с этой целью Исчисление Шуберта, что доказало фундаментальные геометрические и топологический ценность в более широких областях. Конкретные потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока в 1960-х и 1970-х годах им не было уделено дополнительное внимание (как, например, указывалось на Стивен Клейман ). Номера перекрестков был строго определен ( Андре Вайль как часть его основополагающей программы на 1942-1946 гг. и впоследствии), но это не исчерпало собственно области перечислительных вопросов.

Факторы Фаджа и пятнадцатая проблема Гильберта

Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу дает неверные результаты, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели расплывчатые «ложные факторы», которые были строго оправданы лишь десятилетия спустя.

Например, посчитайте конические секции по касательной к пяти заданным прямым в проективная плоскость.[2] Коники составляют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов как однородные координаты, и пять точек определяют конус, если точки в общее линейное положение, поскольку прохождение через заданную точку накладывает линейное условие. Аналогично касание к заданной прямой L (касание - это пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, поэтому определяется квадрика в п5. Тем не менее линейная система делителей состоящая из всех таких квадрик, не лишена базовый локус. Фактически каждая такая квадрика содержит Веронезе поверхность, который параметризует коники

(aX + к + cZ)2 = 0

называется «двойными линиями». Это связано с тем, что двойная прямая пересекает каждую прямую на плоскости, поскольку прямые в проективной плоскости пересекаются с кратностью два, потому что она удваивается, и, таким образом, удовлетворяет тому же условию пересечения (пересечение кратности два), что и невырожденная коника, которая является касательная к строке.

Генерал Теорема Безу говорит, что 5 общих квадрик в 5-пространстве будут пересекаться в 32 = 25 точки. Но соответствующих квадрик здесь нет. общая позиция. Из 32 необходимо вычесть 31 и приписать ему веронезе, чтобы получить правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс отнесения пересечений к «вырожденным» случаям является типичным геометрическим введением «фактор выдумки '.

Пятнадцатая проблема Гильберта должно было преодолеть явно произвольный характер этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки фундаментального вопроса самого исчисления Шуберта.

Гипотеза Клеменса

В 1984 г. Х. Клеменс изучал подсчет количества рациональные кривые на квинтик тройной и пришел к следующей гипотезе.

Позволять - общая квинтика тройного многообразия, положительное целое число, то существует только конечное число рациональных кривых со степенью на .

Эта гипотеза разрешена в случае , но все еще открыт для более высоких .

В 1991 г.[3] о зеркальной симметрии на пятой степени в с точки зрения теории струн дает количество рациональных кривых степени d на для всех . До этого алгебраические геометры могли вычислять эти числа только для .

Примеры

Некоторые из исторически важных примеров перечислений в алгебраической геометрии включают:

  • 2 Количество линий, пересекающих 4 общие линии в пространстве
  • 8 Количество окружностей, касающихся 3-х общих окружностей ( проблема Аполлония ).
  • 27 Количество линий на гладкой кубическая поверхность (Лосось и Кэли )
  • 2875 Количество строк на генерале квинтик тройной
  • 3264 Количество коники, касательные к 5 плоским коникам в общем положении (Chasles )
  • 609250 Количество конусов на генерале квинтик тройной
  • 4407296 Число коник, касательных к 8 общим квадратичным поверхностям Фултон (1984, п. 193)
  • 666841088 Количество квадратичных поверхностей, касательных к 9 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-мерном пространстве (Шуберт 1879, стр.106) (Фултон 1984, п. 193)
  • 5819539783680 Число скрученных кубических кривых, касательных к 12 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-пространстве (Шуберт 1879, стр.184) (С. Клейман, С. А. Стрёмме и С. Шамбо1987 )

Рекомендации

  1. ^ Шуберт, Х. (1979) [1879]. Kalkül der abzählenden Geometrie.
  2. ^ Фултон, Уильям (1984). "10.4". Теория пересечения. ISBN  0-387-12176-5.
  3. ^ * Канделас, Филипп; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Парки, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Ядерная физика B. 359 (1): 21–74. Дои:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
  • Kleiman, S .; Strømme, S.A .; Xambó, S. (1987), "Набросок проверки числа Шуберта 5819539783680 скрученных кубиков", Космические кривые (Рокка ди Папа, 1985), Конспект лекций по математике, 1266, Берлин: Springer, стр. 156–180, Дои:10.1007 / BFb0078183, ISBN  978-3-540-18020-3, МИСТЕР  0908713
  • Шуберт, Герман (1979) [1879], Клейман, Стивен Л. (ред.), Kalkül der abzählenden Geometrie, Перепечатка оригинала 1879 года (на немецком языке), Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-09233-1, МИСТЕР  0555576

внешняя ссылка