Соболевское пространство - Sobolev space

В математика, а Соболевское пространство это векторное пространство функций, оснащенных норма это комбинация L^п-нормы функции вместе с ее производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабое чувство сделать пространство полный, т.е. Банахово пространство. Интуитивно пространство Соболева - это пространство функций, обладающих достаточным количеством производных для некоторой области применения, например уравнения в частных производных, и снабжен нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Соболевские пространства названы в честь русского математик Сергей Соболев. Их важность исходит из того, что слабые решения некоторых важных дифференциальных уравнений в частных производных существуют в подходящих пространствах Соболева, даже когда нет сильных решений в пространствах непрерывные функции с производные понимается в классическом смысле.

Мотивация

В этом разделе и по всей статье ${\displaystyle \Omega }$ является открытое подмножество из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Есть много критериев плавности математические функции. Самым основным критерием может быть критерий непрерывность. Более сильное понятие гладкости - это понятие дифференцируемость (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), и еще более сильное понятие гладкости состоит в том, что производная также непрерывна (эти функции называются функциями класса ${\displaystyle C^{1}}$ - видеть Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, и в частности для дифференциальные уравнения. Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство ${\displaystyle C^{1}}$ (или же ${\displaystyle C^{2}}$и т. д.) было не совсем подходящим местом для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств, в которых можно искать решения уравнений в частных производных.

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются в терминах интегральных норм, а не единая норма. Типичный пример - измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью ${\displaystyle L^{2}}$-норма. Поэтому важно разработать инструмент для дифференциации Пространство Лебега функции.

В интеграция по частям формула дает, что для каждого ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$, куда ${\displaystyle k}$ это натуральное число, и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактная опора ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,}$

куда ${\displaystyle \alpha }$ это мультииндекс порядка ${\displaystyle |\alpha |=k}$ и мы используем обозначения:

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предположим ${\displaystyle u}$ быть локально интегрируемый. Если существует локально интегрируемая функция ${\displaystyle v}$, так что

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }v\,\varphi \;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

тогда мы звоним ${\displaystyle v}$ то слабый ${\displaystyle \alpha }$-я частная производная из ${\displaystyle u}$. Если существует слабый ${\displaystyle \alpha }$-я частная производная от ${\displaystyle u}$, то однозначно определяется почти всюду, а значит, однозначно определяется как элемент Пространство Лебега. С другой стороны, если ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$, то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если ${\displaystyle v}$ слабый ${\displaystyle \alpha }$-я частная производная от ${\displaystyle u}$, мы можем обозначить его через ${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$.

Например, функция

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

не непрерывна в нуле и не дифференцируема в точках −1, 0 или 1. Однако функция

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

удовлетворяет определению как слабая производная от ${\displaystyle u(x),}$ которое затем квалифицируется как находящееся в пространстве Соболева ${\displaystyle W^{1,p}}$ (для любых разрешенных ${\displaystyle p}$см. определение ниже).

Пространства Соболева ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ объединить понятия слабой дифференцируемости и Нормы Лебега.

Соболевские пространства с целым числом k

Одномерный случай

В одномерном случае пространство Соболева ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$ за ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ определяется как подмножество функций ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ такой, что ${\displaystyle f}$ и это слабые производные до заказа ${\displaystyle k}$ иметь конечный L^п норма. Как упоминалось выше, необходимо проявлять осторожность при определении производных в правильном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что ${\displaystyle (k{-}1)}$-я производная ${\displaystyle f^{(k-1)}}$ дифференцируема почти всюду и почти всюду равна Интеграл Лебега его производной (это исключает нерелевантные примеры, такие как Функция Кантора ).

При таком определении пространства Соболева допускают естественный норма,

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Это можно распространить на случай ${\displaystyle p=\infty }$, с нормой, определяемой с помощью существенный супремум к

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Оборудован по норме ${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$ становится Банахово пространство. Оказывается, достаточно взять только первое и последнее в последовательности, т.е. норму, определяемую

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

эквивалентно указанной выше норме (т. е. индуцированные топологии норм совпадают).

Дело п = 2

Соболевские пространства с п = 2 особенно важны из-за их связи с Ряд Фурье и потому что они образуют Гильбертово пространство. Для этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

Космос ${\displaystyle H^{k}}$ можно естественным образом определить в терминах Ряд Фурье коэффициенты которого убывают достаточно быстро, а именно,

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )=\left\{f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty \right\}}$

куда ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ряд Фурье ${\displaystyle f,}$ и ${\displaystyle \mathbb {T} }$ обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

Оба представления легко следуют из Теорема Парсеваля и тот факт, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на в.

Кроме того, пространство ${\displaystyle H^{k}}$ признает внутренний продукт, как пространство ${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$ Фактически, ${\displaystyle H^{k}}$ внутренний продукт определяется с точки зрения ${\displaystyle L^{2}}$ внутренний продукт:

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

Космос ${\displaystyle H^{k}}$ становится гильбертовым пространством с этим внутренним продуктом.

Другие примеры

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, ${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$ это пространство абсолютно непрерывные функции на (0, 1) (точнее, классы эквивалентности функций, почти всюду равных таковым), а ${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$ это пространство Липшицевы функции на я, для каждого интервала я. Однако эти свойства потеряны или не так просты для функций более чем одной переменной.

Все пространства ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ (нормированы) алгебры, т.е. произведение двух элементов снова является функцией этого пространства Соболева, что не так для ${\displaystyle p<\infty .}$ (Например, функции, ведущие себя как |Икс|^−1/3 в происхождении находятся в ${\displaystyle L^{2},}$ но продукта двух таких функций нет в ${\displaystyle L^{2}}$).

Многомерный случай

Переход к множественным измерениям приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование, чтобы ${\displaystyle f^{(k-1)}}$ быть интегралом ${\displaystyle f^{(k)}}$ не обобщает, и самое простое решение - рассматривать производные в смысле теория распределения.

Теперь следует формальное определение. Позволять ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$ Пространство Соболева ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ определяется как набор всех функций ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$ так что для каждого мультииндекс ${\displaystyle \alpha }$ с ${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$ смешанный частная производная

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

существует в слабый смысл и находится в ${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$ т.е.

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

То есть пространство Соболева ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ определяется как

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

В натуральное число ${\displaystyle k}$ называется порядком пространства Соболева ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Есть несколько вариантов нормы для ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$ Следующие два являются общими и эквивалентны в смысле эквивалентность норм:

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

Что касается любой из этих норм, ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ является банаховым пространством. За ${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$ также отделяемое пространство. Условно обозначать ${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$ к ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ потому что это Гильбертово пространство с нормой ${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$.^[1]

Приближение гладкими функциями

Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерс и Серрин функция ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ можно приблизительно оценить гладкие функции. Этот факт часто позволяет нам переводить свойства гладких функций в функции Соболева. Если ${\displaystyle p}$ конечно и ${\displaystyle \Omega }$ открыто, то существует для любого ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ аппроксимирующая последовательность функций ${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$ такой, что:

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

Если ${\displaystyle \Omega }$ имеет Граница Липшица, можно даже предположить, что ${\displaystyle u_{m}}$ - ограничение гладких функций с компактным носителем на всех ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$^[2]

Примеры

В более высоких измерениях уже неверно, например, что ${\displaystyle W^{1,1}}$ содержит только непрерывные функции. Например, ${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$ куда ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$ это единичный мяч в трех измерениях. За k > п/п космос ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ будет содержать только непрерывные функции, но для которых k это уже правда, зависит как от п и по размерности. Например, как это легко проверить с помощью сферические полярные координаты для функции ${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ определены на п-мерный шар у нас:

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

Интуитивно понятно, что взрыв ж при 0 "меньше считается", когда п большой, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.

Абсолютно непрерывная на линиях (ACL) характеризация соболевских функций

Позволять ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$ Если функция находится в ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$ тогда, возможно, после изменения функции на множестве нулевой меры ограничение на почти каждый линия, параллельная координатным направлениям в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является абсолютно непрерывный; более того, классическая производная по линиям, параллельным координатным направлениям, находится в ${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$ И наоборот, если ограничение ${\displaystyle f}$ почти каждой прямой, параллельной координатным направлениям, абсолютно непрерывен, то поточечный градиент ${\displaystyle \nabla f}$ существуют почти всюду, и ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ при условии ${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$ В частности, в этом случае слабые частные производные от ${\displaystyle f}$ и поточечные частные производные от ${\displaystyle f}$ согласен почти везде. ACL-характеризация пространств Соболева была установлена Отто М. Никодим (1933 ); видеть (Мазья 1985 г., §1.1.3) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFMaz'ya1985 (помощь).

Более сильный результат имеет место, когда ${\displaystyle p>n.}$ Функция в ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ после модификации набора нулевой меры Гёльдер непрерывный экспоненты ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$ к Неравенство Морри. В частности, если ${\displaystyle p=\infty ,}$ тогда функция Липшицева непрерывная.

Функции, исчезающие на границе

Смотрите также: Оператор трассировки

Пространство Соболева ${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$ также обозначается ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$ Это гильбертово пространство с важным подпространством ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ определяется как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$ Определенная выше норма Соболева здесь сводится к

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

Когда ${\displaystyle \Omega }$ имеет регулярную границу, ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ можно описать как пространство функций в ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$ которые исчезают на границе в смысле следов (Смотри ниже ). Когда ${\displaystyle n=1,}$ если ${\displaystyle \Omega =(a,b)}$ - ограниченный интервал, то ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$ состоит из непрерывных функций на ${\displaystyle [a,b]}$ формы

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

где обобщенная производная ${\displaystyle f'}$ в ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ и имеет нулевой интеграл, так что ${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

Когда ${\displaystyle \Omega }$ ограничен, Неравенство Пуанкаре заявляет, что существует постоянная ${\displaystyle C=C(\Omega )}$ такой, что:

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Когда ${\displaystyle \Omega }$ ограничена, инъекция из ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ к ${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$ является компактный. Этот факт играет роль в изучении Задача Дирихле, и в том, что существует ортонормированный базис из ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ состоящий из собственных векторов Оператор Лапласа (с Граничное условие Дирихле ).

Следы

Смотрите также: Оператор трассировки

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Важно учитывать граничные значения соболевских функций. Если ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$, эти граничные значения описываются ограничением ${\displaystyle u|_{\partial \Omega }}$. Однако неясно, как описывать значения на границе для ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$, как п-мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема^[2] решает проблему:

Теорема о следе. Предположим, что Ω ограничено с Граница Липшица. Тогда существует ограниченный линейный оператор ${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$ такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}}$

Вт называется следом ты. Грубо говоря, эта теорема распространяет оператор ограничения на пространство Соболева ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ для хорошего состояния Ω. Обратите внимание, что оператор трассировки Т в общем случае не сюръективно, но для 1 < п <∞ он непрерывно отображается на пространство Соболева-Слободецкого ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

Интуитивно понятно, что стоимость трассировки 1 /п производной. Функции ты в W^{1, стр}(Ω) с нулевым следом, т.е. Вт = 0, можно характеризовать равенством

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

куда

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

Другими словами, для Ω, ограниченной с липшицевой границей, функции с нулевым следом в ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ можно аппроксимировать гладкими функциями с компактным носителем.

Соболевские пространства с нецелыми k

Бесселевские потенциальные пространства

Для натурального числа k и 1 < п < ∞ можно показать (используя Множители Фурье^[3][4]) что пространство ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ эквивалентно можно определить как

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[(1+|\xi |^{2})^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\},}$

с нормой

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}\left[\left(1+|\xi |^{2}\right)^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым реальным числом s. Полученные пространства

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[\left(1+|\xi |^{2}\right)^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

называются бесселевыми потенциальными пространствами^[5] (названный в честь Фридрих Бессель ). Это банаховы пространства в общем и гильбертовы пространства в частном случае. п = 2.

За ${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$ - множество ограничений функций из ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ в Ω с нормой

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}}$.

Опять таки, ЧАС^{s, p}(Ω) - банахово пространство и в случае п = 2 гильбертово пространство.

Используя теоремы о расширении для пространств Соболева, можно показать, что также W^{k, p}(Ω) = ЧАС^{k, p}(Ω) выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω - область с равномерным C^k-граница, k натуральное число и 1

. Посредством вложения

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

потенциальные пространства Бесселя ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$ С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя представляют собой сложные интерполяционные пространства пространств Соболева, т.е. в смысле эквивалентных норм выполняется

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

куда:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Пространства Соболева – Слободецкого

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка основан на идее обобщения Условие Гёльдера к L^п-параметр.^[6] За ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$ и ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$ то Слободецкий полунорм (примерно аналогично полунорме Гёльдера) определяется как

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Позволять s > 0 не быть целым числом и установить ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$. Используя ту же идею, что и для Пространства Гёльдера, то Пространство Соболева – Слободецкого^[7] ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ определяется как

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Это банахово пространство для нормы

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Если ${\displaystyle \Omega }$ является подходящим образом регулярным в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то также пространства Соболева – Слободецкого образуют шкалу банаховых пространств, т.е. имеются непрерывные инъекции или вложения

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Существуют примеры нерегулярных Ω таких, что ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ не является даже векторным подпространством ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ для 0 < s < 1.^{[нужна цитата ]}((См. Пример 9.1 в Путеводителе автостопом.))

С абстрактной точки зрения, пространства ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$ совпадают с реальными интерполяционные пространства пространств Соболева, т.е.в смысле эквивалентных норм имеет место следующее:

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor }$.

Пространства Соболева – Слободецкого играют важную роль в изучении следов соболевских функций. Это частные случаи Пространства Бесова.^[4]

Операторы расширения

Если ${\displaystyle \Omega }$ это домен граница которого ведет себя не слишком плохо (например, если его граница является многообразием или удовлетворяет более разрешительным требованиям "состояние конуса ") то есть оператор А картографические функции ${\displaystyle \Omega }$ функциям ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ такой, что:

1. Au(Икс) = ты(Икс) почти для каждого Икс в ${\displaystyle \Omega }$ и
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ непрерывна для любого 1 ≤ п ≤ ∞ и целое число k.

Мы назовем такого оператора А оператор расширения для ${\displaystyle \Omega .}$

В случае если п = 2

Операторы расширения - наиболее естественный способ определения ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ для нецелого числа s (мы не можем работать напрямую с ${\displaystyle \Omega }$ поскольку преобразование Фурье - глобальная операция). Мы определяем ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ говоря, что ${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$ если и только если ${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$ Эквивалентно сложная интерполяция дает то же ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ пробелы до тех пор, пока ${\displaystyle \Omega }$ имеет оператор расширения. Если ${\displaystyle \Omega }$ не имеет оператора расширения, комплексная интерполяция - единственный способ получить ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ пробелы.

В результате интерполяционное неравенство сохраняется.

Продление на ноль

Нравиться над, мы определяем ${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$ быть закрытием в ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ пространства ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Учитывая определение следа, приведенное выше, мы можем сформулировать следующее

Теорема. Позволять ${\displaystyle \Omega }$ быть единообразно C^м обычный, м ≥ s и разреши п быть отправкой линейной карты ты в ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ к

${\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}$

куда д / дн производная, нормальная к грамм, и k это наибольшее целое число меньше, чем s. потом ${\displaystyle H_{0}^{s}}$ это в точности ядро п.

Если ${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ мы можем определить его продление на ноль ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ естественным путем, а именно

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Теорема. Позволять ${\displaystyle s>{\tfrac {1}{2}}.}$ Карта ${\displaystyle u\mapsto {\tilde {u}}}$ непрерывно в ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ если и только если s не в форме ${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}}}$ за п целое число.

За ж ∈ L^п(Ω) его продолжение нулем,

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

является элементом ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$ Более того,

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

В случае пространства Соболева W^{1, стр}(Ω) для 1 ≤ p ≤ ∞, продолжая функцию ты по нулю не обязательно даст элемент ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$ Но если Ω ограничено липшицевой границей (например, ∂Ω - это C¹), то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т.е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор^[2]

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

так что для каждого ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$ а.е. на Ω, Европа имеет компактный носитель внутри O, и существует постоянная C в зависимости только от п, Ω, O и размерность п, так что

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Мы называем Европа расширение ты к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Соболевские вложения

Основная статья: Неравенство Соболева

Возникает естественный вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточно много слабых производных (т. Е. Больших п) приводят к классической производной. Эта идея обобщена и уточнена в Теорема вложения Соболева.

Написать ${\displaystyle W^{k,p}}$ для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности п. Здесь k может быть любым действительным числом и 1 ≤п ≤ ∞. (За п = ∞ пространство Соболева ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ определяется как Пространство Гёльдера C^{п, α} куда k = п + α и 0 <α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если ${\displaystyle k\geqslant m}$ и ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$ тогда

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

и вложение непрерывно. Более того, если ${\displaystyle k>m}$ и ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$ то вложение полностью непрерывно (иногда это называют Теорема Кондрахова или Теорема Реллиха-Кондрахова). Функции в ${\displaystyle W^{m,\infty }}$ имеют все производные порядка меньше, чем м непрерывны, поэтому, в частности, это дает условия на пространства Соболева для непрерывности различных производных. Неформально эти вложения говорят, что для преобразования L^п оценка к оценке ограниченности затрат 1 /п производные по измерению.

Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, таких как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (Штейн 1970 ). Соболевские вложения на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ некомпактные часто имеют родственное, но более слабое свойство компактность.

Примечания

1. Эванс 1998, Глава 5.2 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEvans1998 (помощь)
2. Адамс 1975 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAdams1975 (помощь)
3. Берг и Лёфстрём 1976
4. Трибель 1995
5. Потенциальные пространства Бесселя с переменной интегрируемостью были независимо введены Алмейдой и Самко (А. Алмейда и С. Самко, "Характеристика Рис и Бесселевские потенциалы по переменной Пространства Лебега ", J. Function Spaces Appl. 4 (2006), № 2, 113–144) и Gurka, Harjulehto & Nekvinda (P. Gurka, P. Harjulehto и A. Nekvinda:" Бесселевские потенциальные пространства с переменным показателем ", Math Неравное приложение 10 (2007), № 3, 661–676).
6. Лунарди 1995
7. В литературе дробные пространства соболевского типа также называют Пространства Ароншайн, Пространства Гальярдо или же Слободецкие пространства, по именам математиков, которые представили их в 1950-х годах: Н. Ароншайн ("Граничные значения функций с конечным Интеграл Дирихле ", Techn. Report of Kansas Univ. Of Kansas 14 (1955), 77–94), Э. Гальярдо (" Право собственности на классификационные функции в самых разных вариантах ", Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137) и Л. Н. Слободецкий («Обобщенные пространства Соболева и их приложения к краевым задачам уравнений в частных производных», Ленинград. Гос. Пед. Inst. Учеп. Зап. 197 (1958), 54–112).

Рекомендации

• Адамс, Роберт А .; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Соболевские пространства. Чистая и прикладная математика. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-044143-3..
• Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ на многообразиях. Уравнения Монжа-Ампера, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 252, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN  978-0-387-90704-8, МИСТЕР  0681859.
• Берг, Йоран; Лёфстрём, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, введение, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223, Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN  978-7-5062-6011-4, МИСТЕР  0482275, Zbl  0344.46071
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения с частными производными. Аспирантура по математике. 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 749. ISBN  978-0-8218-4974-3.
• Леони, Джованни (2009). Первый курс в пространствах Соболева. Аспирантура по математике. 105. Американское математическое общество. С. xvi + 607. ISBN  978-0-8218-4768-8. МИСТЕР  2527916. Zbl  1180.46001.
• Мазья Владимир Г. (1985), Соболевские пространства, Ряды Спрингера по советской математике, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xix + 486, Дои:10.1007/978-3-662-09922-3, ISBN  0-387-13589-8, МИСТЕР  0817985, Zbl  0692.46023
• Мазья Владимир Григорьевич; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах, Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: Всемирный научный, стр. xx + 481, ISBN  981-02-2767-1, МИСТЕР  1643072, Zbl  0918.46033.
• Мазья Владимир Григорьевич (2011) [1985], Соболевские пространства. С приложениями к эллиптическим уравнениям с частными производными, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 342 (2-е исправленное и дополненное изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. xxviii + 866, Дои:10.1007/978-3-642-15564-2, ISBN  978-3-642-15563-5, МИСТЕР  2777530, Zbl  1217.46002.
• Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах, Базель: Birkhäuser Verlag.
• Никодим, Отто (1933), "Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet", Фонд. Математика., 21: 129–150, Дои:10.4064 / FM-21-1-129-150.
• Никольский, С. (2001) [1994], «Теоремы вложения», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Никольский, С. (2001) [1994], "Пространство Соболева", Энциклопедия математики, EMS Press.
• Соболев, С. (1963), «Об одной теореме функционального анализа», Пер. Амер. Математика. Soc., Переводы Американского математического общества: Серия 2, 34 (2): 39–68, Дои:10.1090 / транс2 / 034/02, ISBN  9780821817346; перевод мат. Сб., 4 (1938) с. 471–497.
• Соболев, С. (1963), Некоторые приложения функционального анализа в математической физике, Амер. Математика. Soc..
• Штейн, E (1970), Сингулярные интегралы и дифференцируемость функций., Princeton Univ. Нажмите, ISBN  0-691-08079-8.
• Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт.
• Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции, Тексты для выпускников по математике, 120, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-1015-3, HDL:10338.dmlcz / 143849, ISBN  978-0-387-97017-2, МИСТЕР  1014685.

внешняя ссылка

• Элеонора Ди Незза, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».