Множитель (анализ Фурье) - Multiplier (Fourier analysis)

В Анализ Фурье, а оператор умножителя это тип линейный оператор, или преобразование функции. Эти операторы действуют на функцию, изменяя ее преобразование Фурье. В частности, они умножают преобразование Фурье функции на заданную функцию, известную как множитель или же символ. Иногда термин оператор множителя сам сокращается до множитель.^[1] Проще говоря, множитель изменяет частоты, участвующие в любой функции. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что трансляционно-инвариантный оператор на группа который подчиняется некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть выражен как оператор умножения, и наоборот.^[2] Многие знакомые операторы, такие как переводы и дифференциация, являются операторами умножения, хотя есть много более сложных примеров, таких как Преобразование Гильберта.

В обработка сигналов, оператор умножения называется "фильтр ", а множитель - это фильтр частотный отклик (или же функция передачи ).

В более широком контексте операторы умножителей представляют собой частные случаи операторов спектральных умножителей, которые возникают из функциональное исчисление оператора (или семейства коммутирующих операторов). Они также являются частными случаями псевдодифференциальные операторы, и в более общем плане Интегральные операторы Фурье. В этой области есть естественные вопросы, которые все еще остаются открытыми, например, определение L^п операторы ограниченных множителей (см. ниже).

Операторы множителя не связаны с Множители Лагранжа, за исключением того, что оба они включают операцию умножения.

Для необходимого фона на преобразование Фурье, смотрите эту страницу. Дополнительный важный фон можно найти на страницах норма оператора и L^п Космос.

Примеры

В обстановке периодические функции определены на единичный круг, преобразование Фурье функции - это просто последовательность ее Коэффициенты Фурье. Чтобы увидеть, что дифференцирование может быть реализовано как множитель, рассмотрим ряд Фурье для производной периодической функции ${\displaystyle f(t).}$ После использования интеграция по частям в определении коэффициента Фурье имеем

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

Таким образом, формально следует, что ряд Фурье для производной - это просто ряд Фурье для ${\displaystyle f}$ умноженный на коэффициент ${\displaystyle in}$. Это то же самое, что сказать, что дифференцирование - это оператор умножения с множителем ${\displaystyle in}$.

Примером оператора множителя, действующего на функции на вещественной прямой, является оператор Преобразование Гильберта. Можно показать, что преобразование Гильберта является оператором множителя, множитель которого задается ${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$, где sgn - сигнум функция.

Наконец, еще один важный пример множителя - это характеристическая функция единичного куба в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ которое возникает при изучении «частичных сумм» для преобразования Фурье (см. Сходимость рядов Фурье. ).

Определение

Операторы множителя могут быть определены для любой группы грамм для которых также определено преобразование Фурье (в частности, на любом локально компактная абелева группа ). Общее определение таково. Если ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ достаточно обычная функция, позволять ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ обозначим его преобразование Фурье (где ${\displaystyle {\hat {G}}}$ это Понтрягин дуальный из грамм). Позволять ${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ обозначим другую функцию, которую мы будем называть множитель. Тогда оператор множителя ${\displaystyle T=T_{m}}$ связанный с этим символом м определяется по формуле

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

Другими словами, преобразование Фурье Tf на частоте ξ задается преобразованием Фурье ж на этой частоте, умноженное на значение множителя на этой частоте. Это объясняет терминологию «множитель».

Обратите внимание, что приведенное выше определение определяет Tf неявно; чтобы восстановить Tf явно нужно обратить преобразование Фурье. Это легко сделать, если оба ж и м достаточно гладкие и интегрируемые. Одна из основных проблем данного предмета - определить для любого указанного множителя м, продолжает ли соответствующий оператор множителя Фурье быть корректным, когда ж имеет очень низкую регулярность, например, если предполагается, что он лежит в L^п Космос. См. Обсуждение «проблемы ограниченности» ниже. Как минимум, обычно требуется множитель м быть ограниченным и измеримый; этого достаточно, чтобы установить ограниченность на ${\displaystyle L^{2}}$ но, как правило, недостаточно сильна, чтобы давать ограниченность в других пространствах.

Можно просмотреть оператор множителя Т как композиция трех операторов, а именно преобразование Фурье, операция поточечного умножения на м, а затем обратное преобразование Фурье. Эквивалентно, Т является сопряжением оператора поточечного умножения преобразованием Фурье. Таким образом, операторы множителей можно рассматривать как операторы, диагонализуемые преобразованием Фурье.

Операторы умножения на общие группы

Теперь мы специализируем приведенное выше общее определение для конкретных групп грамм. Сначала рассмотрим единичный круг ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$ функции на грамм таким образом, можно рассматривать как 2π-периодические функции на вещественной прямой. В этой группе двойственной по Понтрягину является группа целых чисел, ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$ Преобразование Фурье (для достаточно регулярных функций ж) дан кем-то

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

а обратное преобразование Фурье дается формулой

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

Множитель в этой настройке - это просто последовательность ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ номеров, а оператор ${\displaystyle T=T_{m}}$ связанный с этим множителем, тогда дается формулой

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\widehat {f}}(n)e^{int},}$

по крайней мере, для достаточно правильного выбора множителя ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ и функция ж.

Теперь позвольте грамм быть Евклидово пространство ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$. Здесь двойственная группа также евклидова, ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$ а преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье даются формулами

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .}$

Множитель в этой настройке - это функция ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ и связанный оператор множителя ${\displaystyle T=T_{m}}$ определяется

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

снова в предположении достаточно сильной регулярности и ограниченности множителя и функции.

В смысле распределения, нет разницы между операторами множителя и операторы свертки; каждый множитель Т также можно выразить в виде Tf = б * к для некоторого распространения K, известный как ядро свертки из Т. С этой точки зрения перевод на сумму Икс₀ свертка с Дельта-функция Дирака δ (· -Икс₀) дифференцирование - свертка с δ '. Дальнейшие примеры приведены в Таблица ниже.

Диаграммы

Дальнейшие примеры

На единичном круге

В следующей таблице показаны некоторые общие примеры операторов множителя на единичной окружности. ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

Имя	Множитель ${\displaystyle m_{n}}$	Оператор ${\displaystyle Tf(t)}$	Ядро ${\displaystyle K(t)}$
Оператор идентификации	1	ж(т)	Дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta (t)}$
Умножение на константу c	c	ср(т)	${\displaystyle c\delta (t)}$
Перевод сделан s	${\displaystyle e^{ins}}$	ж(т − s)	${\displaystyle \delta (t-s)}$
Дифференциация	в	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle \delta '(t)}$
k-кратная дифференциация	${\displaystyle (in)^{k}}$	${\displaystyle f^{(k)}(t)}$	${\displaystyle \delta ^{(k)}(t)}$
Постоянный коэффициент дифференциальный оператор	${\displaystyle P(in)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)}$
Дробная производная порядка ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle |n|^{\alpha }}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)}$
Среднее значение	${\displaystyle 1_{n=0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	1
Бессмысленный компонент	${\displaystyle 1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	${\displaystyle \delta (t)-1}$
Интеграция (беспредельного компонента)	${\displaystyle {\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds}$	Пилообразная функция ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)}$
Периодический Преобразование Гильберта ЧАС	${\displaystyle 1_{n\geq 0}-1_{n<0}}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$	${\displaystyle p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$
Суммирование Дирихле ${\displaystyle D_{N}}$	${\displaystyle 1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	Ядро Дирихле ${\displaystyle \sin((N+{\tfrac {1}{2}})t)/\sin(t/2)}$
Суммирование Фейера ${\displaystyle F_{N}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)e^{int}}$	Ядро Фейера ${\displaystyle {\frac {1}{N}}(\sin(Nt/2)/\sin(t/2))^{2}}$
Общий множитель	${\displaystyle m_{n}}$	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	${\displaystyle T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}e^{int}}$
Общий свертка оператор	${\displaystyle {\hat {K}}(n)}$	${\displaystyle f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds}$	${\displaystyle K(t)}$

О евклидовом пространстве

В следующей таблице показаны некоторые общие примеры операторов множителей в евклидовом пространстве. ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$.

Имя	Множитель ${\displaystyle m(\xi )}$	Оператор ${\displaystyle Tf(x)}$	Ядро ${\displaystyle K(x)}$
Оператор идентификации	1	ж(Икс)	${\displaystyle \delta (x)}$
Умножение на константу c	c	ср(Икс)	${\displaystyle c\delta (x)}$
Перевод сделан y	${\displaystyle e^{2\pi iy\cdot \xi }}$	${\displaystyle f(x-y)}$	${\displaystyle \delta (x-y)}$
Производная ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ (только одно измерение)	${\displaystyle 2\pi i\xi }$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$	${\displaystyle \delta '(x)}$
Частная производная ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi _{j}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)}$
Лапласиан ${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle -4\pi ^{2}|\xi |^{2}}$	${\displaystyle \Delta f(x)}$	${\displaystyle \Delta \delta (x)}$
Постоянный коэффициент дифференциального оператора ${\displaystyle P(\nabla )}$	${\displaystyle P(i\xi )}$	${\displaystyle P(\nabla )f(x)}$	${\displaystyle P(\nabla )\delta (x)}$
Дробная производная порядка ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)}$
Потенциал Рисса порядка ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{-\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$
Бесселев потенциал порядка ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}}$	${\displaystyle (1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma ({\frac {\alpha }{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi |x|^{2}}{s}}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}}$
Оператор теплового потока ${\displaystyle \exp(t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	Тепловое ядро ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Уравнение Шредингера оператор эволюции ${\displaystyle \exp(it\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	Ядро Шредингера ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Преобразование Гильберта ЧАС (только одно измерение)	${\displaystyle -i\operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {1}{\pi s}}}$
Преобразования Рисса рj	${\displaystyle -i{\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}}$	${\displaystyle R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma ((n+1)/2)}{\pi ^{(n+1)/2}}}}$
Частный интеграл Фурье ${\displaystyle S_{R}^{0}}$ (только одно измерение)	${\displaystyle 1_{-R\leq \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle {\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}}$
Дисковый множитель ${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{|\xi |\leq R}}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle |x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)}$ (J это Функция Бесселя )
Операторы Бохнера – Рисса ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi }$
Общий множитель	${\displaystyle m(\xi )}$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi }$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$
Оператор общей свертки	${\displaystyle {\hat {K}}(\xi )}$	${\displaystyle f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy}$	${\displaystyle K(x)}$

Общие Соображения

Карта ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$ это гомоморфизм из C * -алгебры. Это следует потому, что сумма двух операторов умножения ${\displaystyle T_{m}}$ и ${\displaystyle T_{m'}}$ это операторы множителя с множителем ${\displaystyle m+m'}$, композиция этих двух операторов множителя является оператором множителя с множителем ${\displaystyle mm',}$ и прилегающий оператора множителя ${\displaystyle T_{m}}$ это еще один оператор множителя с множителем ${\displaystyle {\overline {m}}}$.

В частности, мы видим, что любые два оператора умножения ездить друг с другом. Известно, что операторы множителей инвариантны относительно трансляции. Наоборот, можно показать, что любой линейный оператор, инвариантный относительно сдвига, ограниченный на L²(грамм) является оператором умножения.

В L^п проблема ограниченности

В L^п проблема ограниченности (для любого конкретного п) для данной группы грамм проще говоря, чтобы определить множители м такой, что соответствующий оператор множителя ограничен L^п(грамм) к L^п(грамм). Такие множители обычно называют просто "L^п множители ". Обратите внимание, что, поскольку операторы множителей всегда линейны, такие операторы ограничены тогда и только тогда, когда непрерывный. В целом эта проблема считается чрезвычайно сложной, но можно рассматривать многие частные случаи. Проблема во многом зависит от п, хотя есть двойственные отношения: если ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ и 1 ≤ п, q ≤ ∞, то оператор множителя ограничен на L^п тогда и только тогда, когда он ограничен L^q.

В Теорема Рисса-Торина показывает, что если оператор умножения ограничен двумя разными L^п пространств, то он также ограничен на всех промежуточных пространствах. Отсюда получаем, что пространство множителей наименьшее при L¹ и L^∞ и растет по мере приближения L², который имеет наибольшее пространство множителя.

Ограниченность на L²

Это самый простой случай. Теорема Парсеваля позволяет полностью решить эту проблему и получить функцию м является L²(грамм) множитель тогда и только тогда, когда он ограничен и измерим.

Ограниченность на L¹ или же L^∞

Этот случай сложнее, чем Гильбертиан (L²) дело, но полностью решено. Верно следующее:

Теорема: в евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ функция ${\displaystyle m(\xi )}$ является L¹ множитель (эквивалентно L^∞ множитель) тогда и только тогда, когда существует конечный Мера Бореля μ такой, что м - преобразование Фурье функции μ.

(Часть «если» - это простое вычисление. Часть «только если» здесь более сложна.)

Ограниченность на L^п для 1 < п < ∞

В этом общем случае необходимые и достаточные условия ограниченности не установлены даже для евклидова пространства или единичной окружности. Однако известно несколько необходимых условий и несколько достаточных условий. Например, известно, что для того, чтобы оператор умножителя был ограничен даже на одном L^п пространство множитель должен быть ограниченным и измеримым (это следует из характеризации L² множители выше и свойство включения). Однако этого недостаточно, кроме случаев, когда п = 2.

Результаты, дающие достаточные условия ограниченности, известны как теоремы о множителях. Ниже приведены три таких результата.

Теорема Марцинкевича о множителях

Позволять ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ - ограниченная функция, которая непрерывно дифференцируемый на каждом наборе формы ${\displaystyle (-2^{j+1},-2^{j})\cup (2^{j},2^{j+1})}$^{[требуется разъяснение ]} за ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ и имеет производную такую, что

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}|m'(\xi )|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}|m'(\xi )|\,d\xi \right)<\infty .}$

потом м является L^п множитель для всех 1 < п < ∞.

Теорема Михлина о множителях

Позволять м - ограниченная функция на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ который является гладким, за исключением, возможно, начала координат, и такой, что функция ${\displaystyle |x|^{k}|\nabla ^{k}m|}$ ограничен для всех целых чисел ${\displaystyle 0\leq k\leq n/2+1}$: тогда м является L^п множитель для всех 1 < п < ∞.

Это частный случай теоремы Хёрмандера-Михлина о множителях.

Доказательства этих двух теорем довольно сложны и требуют техники из Теория Кальдерона – Зигмунда и Интерполяционная теорема Марцинкевича: оригинальное доказательство см. Михлина (1956) или же Михлин (1965 г. С. 225–240).

Радиальные множители

За радиальный множители, необходимое и достаточное условие для ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ известна ограниченность некоторого частичного диапазона ${\displaystyle p}$. Позволять ${\displaystyle n\geq 4}$ и ${\displaystyle 1<p<2(n-1)/(n+1)}$. Предположим, что ${\displaystyle m}$ представляет собой радиальный множитель, компактно опертый от начала координат. потом ${\displaystyle m}$ является ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ множитель тогда и только тогда, когда преобразование Фурье из ${\displaystyle m}$ принадлежит ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Это теорема Хео, Назаров, и Сигер.^[3] Они также предоставили необходимое и достаточное условие, которое выполняется без предположения о компактной опоре на ${\displaystyle m}$.

Примеры

Трансляции - это ограниченные операторы на любых L^п. Дифференцирование не ограничено ни на одном L^п. В Преобразование Гильберта ограничен только для п строго между 1 и ∞. Тот факт, что он неограничен на L^∞ легко, поскольку хорошо известно, что преобразование Гильберта ступенчатой ​​функции неограничено. Двойственность дает то же самое для п = 1. Однако обе теоремы Марцинкевича и Михлина о множителях показывают, что преобразование Гильберта ограничено в L^п для всех 1 < п < ∞.

Еще один интересный случай с единичным кругом - это когда последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ который предлагается как постоянный множитель для п в каждом из наборов ${\displaystyle \{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\}}$ и ${\displaystyle \{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\}.}$ Из теоремы Марцинкевича о множителях (адаптированной к контексту единичной окружности) мы видим, что любая такая последовательность (также предполагаемая, конечно, ограниченной)^{[требуется разъяснение ]} является множителем для каждого 1 < п < ∞.

В одном измерении оператор дискового умножителя ${\displaystyle S_{R}^{0}}$(см. таблицу выше) ограничен L^п для каждого 1 < п <∞. Однако в 1972 г. Чарльз Фефферман показали удивительный результат: в двух и более измерениях оператор дискового умножителя ${\displaystyle S_{R}^{0}}$ неограничен на L^п для каждого п § 2. Соответствующая задача для множителей Бохнера – Рисса решена лишь частично; смотрите также Гипотеза Бохнера – Рисса.

Смотрите также

• Лемма Кальдерона – Зигмунда.
• Теорема Марцинкевича
• Сингулярные интегралы
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Примечания

1. Duoandikoetxea 2001, Раздел 3.5.
2. Штейн 1970, Глава II.
3. Хео, Ярён; Назаров, Фёдор; Сигер, Андреас. Радиальные множители Фурье большой размерности. Acta Math. 206 (2011), нет. 1, 55-92. DOI: 10.1007 / s11511-011-0059-х. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

Процитированные работы

• Duoandikoetxea, Хавьер (2001), Фурье-анализ, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2172-5
• Штейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и дифференцируемость функций., Princeton University Press

Общие ссылки

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-09431-1
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54359-0
• Хёрмандер, Ларс (1960), "Оценки трансляционно-инвариантных операторов в L^п пробелы ", Acta Mathematica, 104: 93–140, Дои:10.1007 / bf02547187
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных, I. Теория распределений и анализ Фурье. (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-X
• Михлин, Соломон Г. (1956), «О множителях интегралов Фурье», Доклады Академии Наук СССР, 109: 701–703, Zbl  0073.08402 (в русский ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83, Pergamon Press, Zbl  0129.07701. Он содержит исчерпывающий обзор всех результатов, известных на момент публикации, включая краткий обзор истории.
• Рудин, Вальтер (1962), Фурье-анализ на группах, Interscience
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе, Дувр, ISBN  0-486-43508-3