Преобразование Рисса - Riesz transform

в математический теория гармонический анализ, то Преобразования Рисса являются семейством обобщений Преобразование Гильберта к Евклидовы пространства измерения d > 1. Они являются разновидностью сингулярный интеграл оператор, что означает, что они заданы свертка одной функции с другой функцией, имеющей особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплекснозначной функции на р^d определены

${displaystyle R_{j}f(x)=c_{d}lim _{epsilon o 0}int _{mathbf {R} ^{d}ackslash B_{epsilon }(x)}{frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|x-t|^{d+1}}},dt}$

(1)

за j = 1,2,...,d. Постоянная c_d является размерной нормализацией, задаваемой

${displaystyle c_{d}={frac {1}{pi omega _{d-1}}}={frac {Gamma [(d+1)/2]}{pi ^{(d+1)/2}}}.}$

где ω_d−1 это объем агрегата (d - 1) -бол. Предел записывается по-разному, часто в виде основная стоимость, или как свертка с умеренное распределение

${displaystyle K(x)={frac {1}{pi omega _{d-1}}},p.v.{frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.}$

Преобразование Рисса возникает при исследовании свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теория потенциала и гармонический анализ. В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда (Гилбарг и Трудингер, 1983 г., §9.4).

Свойства множителя

Преобразования Рисса задаются Множитель Фурье. Действительно, преобразование Фурье из р_jƒ дается

${displaystyle {mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{frac {x_{j}}{|x|}}({mathcal {F}}f)(x).}$

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения Преобразование Гильберта. Ядро - это распределение который однородный нулевой степени. Частным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L²(р^d) себе.^[1]

Это свойство однородности можно также выразить более прямо без помощи преобразования Фурье. Если σ_s это расширение на р^d скалярным s, то есть σ_sИкс = sx, то σ_s определяет действие над функциями через откат:

${displaystyle sigma _{s}^{*}f=fcirc sigma _{s}.}$

Преобразования Рисса коммутируют с σ_s:

${displaystyle sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(sigma _{x}^{*}f).}$

Точно так же преобразования Рисса коммутируют с переводами. Пусть τ_а быть переводом на р^d по вектору а; то есть τ_а(Икс) = Икс + а. потом

${displaystyle au _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}( au _{a}^{*}f).}$

В качестве последнего свойства удобно рассматривать преобразования Рисса как единый векторный юридическое лицо рƒ = (р₁ƒ, ...,р_dƒ). Рассмотрим вращение ρ в р^d. Вращение действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через откат. Но он также может воздействовать на пространственный вектор рƒ. Последнее свойство преобразования утверждает, что преобразование Рисса эквивариантный в отношении этих двух действий; то есть,

${displaystyle ho ^{*}R_{j}[(ho ^{-1})^{*}f]=sum _{k=1}^{d}ho _{jk}R_{k}f.}$

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Позволять Т=(Т₁,...,Т_d) быть d-набор линейных ограниченных операторов из L²(р^d) к L²(р^d) такие, что

• Т коммутирует со всеми расширениями и переводами.
• Т эквивариантна относительно поворотов.

Тогда для некоторой постоянной c, Т = cR.

Связь с лапласианом

Несколько неточно преобразование Рисса ${displaystyle f}$ дать первый частные производные решения уравнения

${displaystyle {(-Delta )^{frac {1}{2}}u=f},}$

где Δ - лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса ${displaystyle f}$ можно записать как:

${displaystyle {Rf=abla (-Delta )^{-{frac {1}{2}}}f}}$

В частности, нужно также иметь

${displaystyle R_{i}R_{j}Delta u=-{frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}partial x_{j}}},}$

так что преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем Гессен функции от знания только ее лапласиана.

Теперь это уточнено. Предположим, что ${displaystyle u}$ это Функция Шварца. Тогда действительно, благодаря явному виду множителя Фурье, мы имеем

${displaystyle R_{i}R_{j}(Delta u)=-{frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}partial x_{j}}}.}$

Идентичность обычно неверна в смысле распределения. Например, если ${displaystyle u}$ это умеренное распределение такой, что ${displaystyle Delta uin L^{2}(mathbb {R} ^{d})}$, то можно только заключить, что

${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x_{i}partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}Delta u+P_{ij}(x)}$

для некоторого полинома ${displaystyle P_{ij}}$.

Смотрите также

• Преобразование Гильберта
• Ядро Пуассона
• Потенциал Рисса

Рекомендации

1. Строго говоря, определение (1) может иметь смысл только для Функция Шварца ж. Ограниченность на плотном подпространстве в L² следует, что каждое преобразование Рисса допускает непрерывное линейное продолжение на все L².

• Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка., Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7.
• Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Princeton University Press.
• Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08078-X.
• Аркоцци, Н. (1998), Преобразование Рисса на сферах и компактных группах Ли, Нью-Йорк: Springer, ISSN  0004-2080.