Объем н-шара - Volume of an n-ball

Графики тома  (V) и площади поверхности  (S) из п-мячи радиуса 1. В файл SVG, наведите указатель мыши на точку, чтобы выделить ее и ее значение.

В геометрия, а мяч - область в пространстве, включающая все точки на фиксированном расстоянии от данной точки; то есть это область, ограниченная сфера или же гиперсфера. An п-бол - это мяч в п-размерный Евклидово пространство. В объем единицы п-мяч это важное выражение, которое встречается в формулах математики; он обобщает понятие объема, заключенного в сфере в трехмерном пространстве.

Формулы

Громкость

В п-мерный объем евклидова шара радиуса р в п-мерное евклидово пространство:^[1]

${displaystyle V_{n}(R)={frac {pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)}}R^{n},}$

куда Γ является Леонард Эйлер с гамма-функция. Гамма-функция расширяет факториал функция для нецелочисленных аргументов. Это удовлетворяет Γ (п) = (п − 1)! если п положительное целое число и Γ (п + 1/2) = (п − 1/2) · (п − 3/2) · … · 1/2 · Π^1/2 если п - целое неотрицательное число.

Альтернативные формы

Используя явные формулы для частные значения гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют оценки гамма-функции. Вместо этого их можно выразить через двойной факториал, который определяется как 0!! := 1 и для п > 0,

${displaystyle n!!:=prod _{k=0}^{leftlceil {frac {n}{2}}ightceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)cdots (2-(noperatorname {mod} 2))}$

где последний фактор, ${displaystyle 2-(noperatorname {mod} 2)}$, является 2 если п даже и 1 если п странно. Итак, для нечетного целого числа 2k + 1, это становится

(2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ·  ⋅⋅⋅  · (2k − 1) · (2k + 1).

Формула объема может быть выражена как:

${displaystyle {egin{aligned}V_{2k}(R)&={frac {pi ^{k}}{k!}}R^{2k},V_{2k+1}(R)&={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={frac {2(k!)(4pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}end{aligned}}}$

которые можно объединить в единую формулу:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {(2pi )^{leftlfloor {frac {n}{2}}ightfloor }R^{n}}{n!!}}cdot (1+(noperatorname {mod} 2))={frac {(pi /2)^{leftlfloor {frac {n}{2}}ightfloor }}{n!!}}(2R)^{n}}$

Вместо выражения объема V шара по радиусу р, формула может быть перевернутый чтобы выразить радиус как функцию объема:

${displaystyle R_{n}(V)={frac {Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)^{frac {1}{n}}}{sqrt {pi }}}V^{frac {1}{n}}.}$

Эту формулу также можно разделить на четные и нечетные случаи, используя факториалы и двойные факториалы вместо гамма-функции:

${displaystyle {egin{aligned}R_{2k}(V)&={frac {(k!V)^{frac {1}{2k}}}{sqrt {pi }}},R_{2k+1}(V)&=left({frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}pi ^{k}}}ight)^{frac {1}{2k+1}}.end{aligned}}}$

Рекурсии

Объем удовлетворяет нескольким рекурсивным формулам. Эти формулы могут быть доказаны напрямую или как следствия общей формулы объема, приведенной выше. Проще всего сформулировать формулу для объема п-шар по объему (п − 2)-шар такого же радиуса:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R).}$

Также существует формула для объема п-шар по объему (п − 1)-шар такого же радиуса:

${displaystyle V_{n}(R)=R{sqrt {pi }}{frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}ight)}{Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)}}V_{n-1}(R).}$

Использование явных формул для гамма-функции снова показывает, что формула одномерной рекурсии также может быть записана как:

${displaystyle {egin{aligned}V_{2k}(R)&=Rpi {frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=Rpi {frac {(2k-1)(2k-3)cdots 5cdot 3cdot 1}{(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2}}V_{2k-1}(R),[10px]V_{2k+1}(R)&=2R{frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{frac {(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2}{(2k+1)(2k-1)cdots 5cdot 3cdot 1}}V_{2k}(R).end{aligned}}}$

Радиус п-шар объема V можно рекурсивно выразить через радиус (п − 1)-бол или (п − 2)-мяч. Эти формулы могут быть получены из явной формулы для р_п(V) над.

${displaystyle {egin{aligned}R_{n}(V)&={frac {Gamma ({frac {n}{2}}+1)^{1/n}}{Gamma ({frac {n-1}{2}}+1)^{1/(n-1)}}}V^{-1/(n(n-1))}R_{n-1}(V),R_{n}(V)&=left({frac {n}{2}}ight)^{1/n}left(Vcdot Gamma left({frac {n}{2}}ight)ight)^{-2/(n(n-2))}R_{n-2}(V).end{aligned}}}$

Использование явных формул для гамма-функции показывает, что формула одномерной рекурсии эквивалентна

${displaystyle {egin{aligned}R_{2k}(V)&={frac {(2^{k}k!)^{1/(2k)}}{(2k-1)!!^{1/(2k-1)}}}left({frac {2}{pi }}ight)^{1/(4k-2)}V^{-1/(2k(2k-1))}R_{2k-1}(V)&={frac {{ig (}(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2{ig )}^{1/(2k)}}{{ig (}(2k-1)(2k-3)cdots 5cdot 3cdot 1{ig )}^{1/(2k-1)}}}left({frac {2}{pi }}ight)^{1/(4k-2)}V^{-1/(2k(2k-1))}R_{2k-1}(V),R_{2k+1}(V)&={frac {(2k+1)!!^{1/(2k+1)}}{(2^{k}k!)^{1/(2k)}}}left({frac {pi }{2}}ight)^{1/(4k+2)}V^{-1/((2k+1)2k)}R_{2k}(V)&={frac {{ig (}(2k+1)(2k-1)cdots 5cdot 3cdot 1{ig )}^{1/(2k+1)}}{{ig (}(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2{ig )}^{1/(2k)}}}left({frac {pi }{2}}ight)^{1/(4k+2)}V^{-1/((2k+1)2k)}R_{2k}(V),end{aligned}}}$

и что формула двумерной рекурсии эквивалентна

${displaystyle {egin{aligned}R_{2k}(V)&=k^{1/(2k)}(Vcdot (k-1)!)^{-1/(2(k-1)k)}R_{2k-2}(V)&=k^{1/(2k)}(Vcdot (k-1)cdot (k-2)cdots 3cdot 2cdot 1)^{-1/(2(k-1)k)}R_{2k-2}(V),R_{2k+1}(V)&=(2k+1)^{1/(2k+1)}left(Vcdot (2k-1)!!{sqrt {frac {pi }{2}}}ight)^{-2/(4k^{2}-1)}R_{2k-1}(V)&=(2k+1)^{1/(2k+1)}left(Vcdot (2k-1)(2k-3)cdots 5cdot 3cdot 1{sqrt {frac {pi }{2}}}ight)^{-2/(4k^{2}-1)}R_{2k-1}(V).end{aligned}}}$

Определение рекуррентного отношения

${displaystyle f_{n}doteq 2f_{n-2}/n}$

куда ${displaystyle f_{0}doteq 1}$ и ${displaystyle f_{1}doteq 2}$ можно выразить объемы и поверхности ${displaystyle n}$-шары как

${displaystyle V_{n}(R)=pi ^{lfloor n/2floor }f_{n}R^{n}}$

${displaystyle S_{n}(R)=npi ^{lfloor n/2floor }f_{n}R^{n-1}}$

${displaystyle n=5}$ последний нечетный ${displaystyle n}$ куда ${displaystyle f_{n}>f_{n-1}}$.

Низкие габариты

Для малых размеров эти формулы объема и радиуса упрощаются до следующего.

Измерение	Объем шара радиуса р	Радиус шарика объема V
0	${displaystyle 1}$	(все 0-шары имеют объем 1)
1	${displaystyle 2R}$	${displaystyle {frac {V}{2}}=0.5 imes V}$
2	${displaystyle pi R^{2}approx 3.142 imes R^{2}}$	${displaystyle {frac {V^{frac {1}{2}}}{sqrt {pi }}}approx 0.564 imes V^{frac {1}{2}}}$
3	${displaystyle {frac {4pi }{3}}R^{3}approx 4.189 imes R^{3}}$	${displaystyle left({frac {3V}{4pi }}ight)^{frac {1}{3}}approx 0.620 imes V^{frac {1}{3}}}$
4	${displaystyle {frac {pi ^{2}}{2}}R^{4}approx 4.935 imes R^{4}}$	${displaystyle {frac {(2V)^{frac {1}{4}}}{sqrt {pi }}}approx 0.671 imes V^{frac {1}{4}}}$
5	${displaystyle {frac {8pi ^{2}}{15}}R^{5}approx 5.264 imes R^{5}}$	${displaystyle left({frac {15V}{8pi ^{2}}}ight)^{frac {1}{5}}approx 0.717 imes V^{frac {1}{5}}}$
6	${displaystyle {frac {pi ^{3}}{6}}R^{6}approx 5.168 imes R^{6}}$	${displaystyle {frac {(6V)^{frac {1}{6}}}{sqrt {pi }}}approx 0.761 imes V^{frac {1}{6}}}$
7	${displaystyle {frac {16pi ^{3}}{105}}R^{7}approx 4.725 imes R^{7}}$	${displaystyle left({frac {105V}{16pi ^{3}}}ight)^{frac {1}{7}}approx 0.801 imes V^{frac {1}{7}}}$
8	${displaystyle {frac {pi ^{4}}{24}}R^{8}approx 4.059 imes R^{8}}$	${displaystyle {frac {(24V)^{frac {1}{8}}}{sqrt {pi }}}approx 0.839 imes V^{frac {1}{8}}}$
9	${displaystyle {frac {32pi ^{4}}{945}}R^{9}approx 3.299 imes R^{9}}$	${displaystyle left({frac {945V}{32pi ^{4}}}ight)^{frac {1}{9}}approx 0.876 imes V^{frac {1}{9}}}$
10	${displaystyle {frac {pi ^{5}}{120}}R^{10}approx 2.550 imes R^{10}}$	${displaystyle {frac {(120V)^{frac {1}{10}}}{sqrt {pi }}}approx 0.911 imes V^{frac {1}{10}}}$
11	${displaystyle {frac {64pi ^{5}}{10395}}R^{11}approx 1.884 imes R^{11}}$	${displaystyle left({frac {10395V}{64pi ^{5}}}ight)^{frac {1}{11}}approx 0.944 imes V^{frac {1}{11}}}$
12	${displaystyle {frac {pi ^{6}}{720}}R^{12}approx 1.335 imes R^{12}}$	${displaystyle {frac {(720V)^{frac {1}{12}}}{sqrt {pi }}}approx 0.976 imes V^{frac {1}{12}}}$

Высокие габариты

Предположим, что р фиксированный. Тогда объем п-шар радиуса р приближается к нулю, когда п стремится к бесконечности. Это можно показать с помощью формулы двумерной рекурсии. На каждом шаге новый множитель, умножаемый на объем, пропорционален 1 / п, где коэффициент пропорциональности 2πр² не зависит от п. В итоге, п настолько велик, что новый коэффициент меньше 1. С этого момента объем п-шар должен уменьшаться хотя бы геометрически, а потому стремится к нулю. Вариант этого доказательства использует формулу одномерной рекурсии. Здесь новый коэффициент пропорционален отношению гамма-функций. Неравенство Гаучи ограничивает это частное выше п^−1/2. Аргумент, как и прежде, завершается показом, что объемы уменьшаются, по крайней мере, геометрически.

Более точное описание поведения объема при больших размерах можно получить, используя Приближение Стирлинга. Это подразумевает асимптотическая формула:

${displaystyle V_{n}(R)sim {frac {1}{sqrt {npi }}}left({frac {2pi e}{n}}ight)^{frac {n}{2}}R^{n}.}$

Погрешность этого приближения составляет фактор 1 + O (п⁻¹). На самом деле приближение Стирлинга является заниженной оценкой гамма-функции, поэтому приведенная выше формула является верхней границей. Это еще одно доказательство того, что объем шара уменьшается экспоненциально: когда п достаточно велик, множитель р√2πе/п меньше единицы, и тогда применяется тот же аргумент, что и раньше.

Если вместо этого V фиксируется пока п велико, то снова в приближении Стирлинга радиус п-шар объема V примерно

${displaystyle R_{n}(V)sim (pi n)^{frac {1}{2n}}{sqrt {frac {n}{2pi e}}}V^{frac {1}{n}}.}$

Это выражение является нижней границей для р_п(V), и ошибка снова является фактором 1 + O (п⁻¹). В качестве п увеличивается, р_п(V) растет как ${displaystyle Theta ({sqrt {n}}).}$

Связь с площадью поверхности

Позволять А_п(р) обозначают площадь поверхности п-сфера радиуса р в (п+1)-мерное евклидово пространство. В п-сфера - это граница (п + 1)-шар радиуса р. В (п + 1)-шар представляет собой объединение концентрических сфер, и, следовательно, площадь поверхности и объем связаны между собой:

${displaystyle A_{n}(R)={frac {d}{dR}}V_{n+1}(R).}$

В сочетании с явной формулой для объема (п + 1)-бол дает

${displaystyle A_{n}(R)={frac {2pi ^{frac {n+1}{2}}}{Gamma {ig (}{frac {n+1}{2}}{ig )}}}R^{n}.}$

Площадь поверхности ${displaystyle A_{n}(R)}$ также может быть выражено как:

${displaystyle A_{n}(R)={frac {(2pi )^{leftlfloor {frac {n+1}{2}}ightfloor }R^{n}}{(n-1)!!}}cdot (2-(noperatorname {mod} 2))=2{frac {(pi /2)^{leftlfloor {frac {n+1}{2}}ightfloor }}{(n-1)!!}}(2R)^{n}}$

Поскольку объем пропорционален степени радиуса, указанное выше соотношение приводит к простому уравнению, связывающему площадь поверхности п-бол и объем (п + 1)-мяч. Применяя формулу двумерной рекурсии, она также дает уравнение, связывающее площадь поверхности п-шар и объем (п − 1)-мяч. Эти формулы вместе с объемом и площадью поверхности нульмерных шаров могут использоваться как система рекуррентных соотношений для объемов и площадей поверхности шаров:

${displaystyle {egin{aligned}V_{0}(R)&=1,A_{0}(R)&=2,V_{n+1}(R)&={frac {R}{n+1}}A_{n}(R),A_{n+1}(R)&=(2pi R)V_{n}(R).end{aligned}}}$

Размер, увеличивающий объем шара фиксированного радиуса

Предположим, что р - фиксированное положительное действительное число, и рассмотрим объем V_п(р) как функция положительного целого числа измерение п. Поскольку объем шара с фиксированным положительным радиусом стремится к нулю при п → ∞, максимальная громкость достигается при некотором значении п. Размер, в котором это происходит, зависит от радиуса р.

Чтобы найти п для которого происходит максимум, интерполируем функцию ${displaystyle nmapsto V_{n}(R)}$ ко всему настоящему Икс > 0 определяя

${displaystyle V(x,R)={frac {pi ^{frac {x}{2}}}{Gamma left({frac {x}{2}}+1ight)}}R^{x}.}$

Когда Икс не является положительным целым числом, эта функция не имеет очевидной геометрической интерпретации. Однако он гладкий, поэтому для нахождения максимумов можно использовать методы исчисления.

Экстремумы V(Икс, р) для фиксированного р может возникнуть только в критических точках или на границах Икс → 0⁺ и Икс → ∞. Поскольку логарифм монотонно возрастает, критические точки ${displaystyle V(x,R)}$ такие же, как и его логарифм. Производная от ${displaystyle log V(x,R)}$ относительно Икс является

${displaystyle {frac {partial }{partial x}}{ig (}log V(x,R){ig )}={frac {log pi }{2}}+log R-{frac {1}{2}}psi left({frac {x}{2}}+1ight),}$

куда ψ это функция дигаммы, то логарифмическая производная из гамма-функция. Критические точки V(Икс, р) поэтому возникают на решениях

${displaystyle psi left({frac {x}{2}}+1ight)=log pi +2log R.}$

Поскольку гамма-функция логарифмически выпуклый на положительной действительной оси дигамма-функция там монотонно возрастает, так что приведенное выше уравнение имеет не более одного решения. Потому что ${displaystyle extstyle lim _{x o 0^{+}}psi (x)=-infty }$ и ${displaystyle extstyle lim _{x o infty }psi (x)=+infty }$, существует хотя бы одно положительное действительное решение. Следовательно, вышеуказанное уравнение имеет единственное решение. Обозначая решение Икс₀, у нас есть

${displaystyle x_{0}=2psi ^{-1}(log pi +2log R)-2.}$

Из монотонности дигамма-функции вдоль положительной действительной оси далее следует, что V(Икс, р) увеличивается для всех Икс < Икс₀ и уменьшается для всех Икс > Икс₀. Следует, что Икс₀ является единственным максимизатором V(Икс, р) и что максимизатор п ↦ V_п(р) содержатся в наборе ${displaystyle {lfloor x_{0}floor ,lceil x_{0}ceil }}$. Если Икс₀ является целым числом, тогда этот набор имеет только один элемент, и этот элемент является уникальным максимизатором обоих V(Икс, р) и V_п(р). В противном случае набор состоит из двух элементов, либо V_п(р) принимает свой уникальный максимум на одном из двух элементов в наборе, или V_п(р) максимизируется на обоих этих элементах.

Более явные, хотя и менее точные оценки могут быть получены путем ограничения дигамма-функции. За у > 1, дигамма-функция удовлетворяет:^[2]

${displaystyle log left(y-{ frac {1}{2}}ight)<psi (y)<log(y+e^{-gamma }-1),}$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони. Применяя эти границы с у = Икс₀/2 + 1 дает

${displaystyle log left({ frac {x_{0}}{2}}+{ frac {1}{2}}ight)<psi left({ frac {x_{0}}{2}}+1ight)=log pi +2log R<log left({ frac {x_{0}}{2}}+e^{-gamma }ight),}$

откуда

${displaystyle 2pi R^{2}-2e^{-gamma }<x_{0}<2pi R^{2}-1.}$

Поэтому максимум V_п(р) достигается для некоторого целого числа п такой, что

${displaystyle lfloor 2pi R^{2}-2e^{-gamma }floor leq nleq lceil 2pi R^{2}-1ceil .}$

Чтобы найти максимум V_п(р), достаточно максимизировать его по всем п в этом интервале. Потому что ${displaystyle |2e^{-gamma }-1|<0.2}$, этот интервал содержит не более трех целых чисел, а часто и только двух.

Например, когда р = 1, из этих оценок следует, что максимальный объем достигается при некоторых п для которого ⌊5.08⌋ ≤ п ≤ ⌈5.28⌉, то есть для п = 5 или же п = 6. Изучение приведенной выше таблицы показывает, что это достигается на нижней границе в размерности п = 5. Когда р = 1.1, границы ⌊6.48⌋ ≤ п ≤ ⌈6.60⌉, а максимум достигается на верхней границе, т. е. когда п = 7. Наконец, если ${displaystyle R=exp(11/12-gamma /2)/{sqrt {pi }}approx 1.057}$, то оценки равны ⌊5.90⌋ ≤ п ≤ ⌈6.02⌉, поэтому интервал возможных п содержит три целых числа, и максимум обоих V_п(р) и V(Икс, р) достигается при целом числе Икс₀ = 6.

Доказательства

Есть много доказательств приведенных выше формул.

Объем пропорционален пя степень радиуса

Важный шаг в нескольких доказательствах об объемах п-шаров, и вообще полезный факт, что объем п-шар радиуса р пропорционально р^п:

${displaystyle V_{n}(R)propto R^{n}.}$

Константа пропорциональности - это объем единичного шара.

Это частный случай общего факта об объемах в п-мерное пространство: Если Kесть тело (измеримое множество) в этом пространстве и РК тело получается растяжением во всех направлениях на коэффициент р затем объем РК равно р^п раз объем K. Это прямое следствие формулы замены переменных:

${displaystyle V(RK)=int _{RK}dx=int _{K}R^{n},dy=R^{n}V(K)}$

куда dx = dx₁…dx_п и замена Икс = Ry сделан.

Другое доказательство вышеуказанного соотношения, которое позволяет избежать многомерного интегрирования, использует индукцию: базовый случай п = 0, где пропорциональность очевидна. Для индуктивного случая предположим, что пропорциональность верна в размерности п − 1. Обратите внимание, что пересечение п-бол с гиперплоскостью - это (п − 1)-мяч. Когда объем п-бол записывается как интеграл объемов (п − 1)-мячи:

${displaystyle V_{n}(R)=int _{-R}^{R}V_{n-1}left({sqrt {R^{2}-x^{2}}}ight),dx,}$

индуктивным предположением можно удалить множитель р из радиуса (п − 1)-бол, чтобы получить:

${displaystyle V_{n}(R)=R^{n-1}int _{-R}^{R}V_{n-1}left({sqrt {1-left({frac {x}{R}}ight)^{2}}}ight),dx.}$

Выполнение замены переменных т = Икс/р приводит к:

${displaystyle V_{n}(R)=R^{n}int _{-1}^{1}V_{n-1}left({sqrt {1-t^{2}}}ight),dt=R^{n}V_{n}(1),}$

который демонстрирует соотношение пропорциональности в размерности п. По индукции соотношение пропорциональности верно во всех измерениях.

Формула двумерной рекурсии

Доказательство формулы рекурсии, связывающей объем п-бол и (п − 2)-болл может быть получен с использованием формулы пропорциональности, приведенной выше, и интегрирования в цилиндрические координаты. Зафиксируйте плоскость через центр мяча. Позволять р обозначим расстояние между точкой на плоскости и центром сферы, и пусть θ обозначают азимут. Пересечение п-бол с (п − 2)-размерная плоскость, определяемая путем фиксации радиуса и азимута, дает (п − 2)-шар радиуса √р² − р². Следовательно, объем шара можно записать как повторный интеграл от объемов шара. (п − 2)-шары по возможным радиусам и азимутам:

${displaystyle V_{n}(R)=int _{0}^{2pi }int _{0}^{R}V_{n-2}left({sqrt {R^{2}-r^{2}}}ight),r,dr,d heta ,}$

Азимутальную координату можно сразу же интегрировать. Применение соотношения пропорциональности показывает, что объем равен:

${displaystyle V_{n}(R)=2pi V_{n-2}(R)int _{0}^{R}left(1-left({frac {r}{R}}ight)^{2}ight)^{frac {n-2}{2}},r,dr.}$

Интеграл можно вычислить, сделав замену ты = 1 − (р/р)²
получить:

${displaystyle {egin{aligned}V_{n}(R)&=2pi V_{n-2}(R)cdot left[-{frac {R^{2}}{n}}left(1-left({frac {r}{R}}ight)^{2}ight)^{frac {n}{2}}ight]_{r=0}^{r=R}&={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R),end{aligned}}}$

которая является формулой двумерной рекурсии.

Тот же метод можно использовать для индуктивного доказательства формулы объема. Базовыми случаями индукции являются 0-шар и 1-шар, которые можно проверить напрямую, используя факты Γ (1) = 1 и Γ (3/2) = 1/2 · Γ (1/2) = √π/2. Индуктивный шаг аналогичен приведенному выше, но вместо применения пропорциональности к объемам (п − 2)-шаров вместо них применяется индуктивное предположение.

Формула одномерной рекурсии

Отношение пропорциональности также можно использовать для доказательства формулы рекурсии, связывающей объемы п-бол и (п − 1)-мяч. Как и в доказательстве формулы пропорциональности, объем п-шар можно записать в виде интеграла по объемам (п − 1)-мячи. Однако вместо замены можно применить соотношение пропорциональности к объемам (п − 1)-шарики в подынтегральном выражении:

${displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)int _{-R}^{R}left(1-left({frac {x}{R}}ight)^{2}ight)^{frac {n-1}{2}},dx.}$

Подынтегральное выражение - это даже функция, поэтому по симметрии интервал интегрирования можно ограничить до [0, р]. На интервале [0, р], можно применить замену ты = (Икс/р)²
. Это преобразует выражение в:

${displaystyle V_{n-1}(R)cdot Rcdot int _{0}^{1}(1-u)^{frac {n-1}{2}}u^{-{frac {1}{2}}},du}$

Интеграл - это величина хорошо известного специальная функция называется бета-функция Β (х, у), а объем с точки зрения бета-функции равен:

${displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)cdot Rcdot mathrm {B} left({ frac {n+1}{2}},{ frac {1}{2}}ight).}$

Бета-функция может быть выражена через гамма-функцию во многом так же, как факториалы связаны с биномиальные коэффициенты. Применение этого отношения дает:

${displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)cdot Rcdot {frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}ight)Gamma left({frac {1}{2}}ight)}{Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)}}.}$

Используя значение Γ (1/2) = √π дает формулу одномерной рекурсии:

${displaystyle V_{n}(R)=R{sqrt {pi }}{frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}ight)}{Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)}}V_{n-1}(R).}$

Как и в случае с двумерной рекурсивной формулой, тот же метод можно использовать для индуктивного доказательства формулы объема.

Прямое интегрирование в сферических координатах

Объем н-шара ${displaystyle V_{n}(R)}$ можно вычислить, интегрировав элемент объема в сферические координаты. Сферическая система координат имеет радиальную координату р и угловые координаты φ₁, …, φ_{п − 1}, где домен каждого φ Кроме φ_{п − 1} является [0, π), а область φ_{п − 1} является [0, 2π). Сферический объемный элемент:

${displaystyle dV=r^{n-1}sin ^{n-2}(varphi _{1})sin ^{n-3}(varphi _{2})cdots sin(varphi _{n-2}),dr,dvarphi _{1},dvarphi _{2}cdots dvarphi _{n-1},}$

а объем - это интеграл этой величины по р от 0 до р и все возможные углы:

${displaystyle V_{n}(R)=int _{0}^{R}int _{0}^{pi }cdots int _{0}^{2pi }r^{n-1}sin ^{n-2}(varphi _{1})cdots sin(varphi _{n-2}),dvarphi _{n-1}cdots dvarphi _{1},dr.}$

Каждый из множителей подынтегрального выражения зависит только от одной переменной, и поэтому повторный интеграл можно записать как произведение интегралов:

${displaystyle V_{n}(R)=left(int _{0}^{R}r^{n-1},dright)left(int _{0}^{pi }sin ^{n-2}(varphi _{1}),dvarphi _{1}ight)cdots left(int _{0}^{2pi }dvarphi _{n-1}ight).}$

Интеграл по радиусу равен р^п/п. Интервалы интегрирования по угловым координатам можно симметрично изменить на [0, π/2]:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {R^{n}}{n}}left(2int _{0}^{frac {pi }{2}}sin ^{n-2}(varphi _{1}),dvarphi _{1}ight)cdots left(4int _{0}^{frac {pi }{2}}dvarphi _{n-1}ight).}$

Каждый из оставшихся интегралов теперь представляет собой конкретное значение бета-функции:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {R^{n}}{n}}mathrm {B} left({frac {n-1}{2}},{frac {1}{2}}ight)mathrm {B} left({frac {n-2}{2}},{frac {1}{2}}ight)cdots mathrm {B} left(1,{frac {1}{2}}ight)cdot 2mathrm {B} left({frac {1}{2}},{frac {1}{2}}ight).}$

Бета-функции можно переписать в терминах гамма-функций:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {R^{n}}{n}}{frac {Gamma left({frac {n-1}{2}}ight)Gamma left({frac {1}{2}}ight)}{Gamma left({frac {n}{2}}ight)}}{frac {Gamma left({frac {n-2}{2}}ight)Gamma left({frac {1}{2}}ight)}{Gamma left({frac {n-1}{2}}ight)}}cdots {frac {Gamma left(1ight)Gamma left({frac {1}{2}}ight)}{Gamma left({frac {3}{2}}ight)}}cdot 2{frac {Gamma left({frac {1}{2}}ight)Gamma left({frac {1}{2}}ight)}{Gamma left(1ight)}}.}$

Этот продукт телескопы. В сочетании со значениями Γ (1/2) = √π и Γ (1) = 1 и функциональное уравнение zΓ (z) = Γ (z + 1) приводит к:

${displaystyle V_{n}(R)={frac {2pi ^{frac {n}{2}}R^{n}}{nGamma left({frac {n}{2}}ight)}}={frac {pi ^{frac {n}{2}}R^{n}}{Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)}}.}$

Гауссовские интегралы

Формулу объема можно проверить напрямую, используя Гауссовские интегралы. Рассмотрим функцию:

${displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})=exp left(-{ frac {1}{2}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}ight).}$

Эта функция инвариантна относительно вращения и является произведением функций одной переменной каждая. Используя тот факт, что это произведение, и формула для интеграла Гаусса дает:

${displaystyle int _{mathbf {R} ^{n}}f,dV=prod _{i=1}^{n}left(int _{-infty }^{infty }exp left(-{ frac {1}{2}}x_{i}^{2}ight),dx_{i}ight)=(2pi )^{frac {n}{2}},}$

куда dV это п-мерный объемный элемент. Используя инвариантность вращения, тот же самый интеграл можно вычислить в сферических координатах:

${displaystyle int _{mathbf {R} ^{n}}f,dV=int _{0}^{infty }int _{S^{n-1}(r)}exp left(-{ frac {1}{2}}r^{2}ight),dA,dr,}$

куда S^{п − 1}(р) является (п − 1)-сфера радиуса р и dA - элемент площади (эквивалентно (п − 1)-мерный объемный элемент). Площадь поверхности сферы удовлетворяет уравнению пропорциональности, аналогичному уравнению для объема шара: если А_{п − 1}(р) это площадь поверхности (п − 1)-сфера радиуса р, тогда:

${displaystyle A_{n-1}(r)=r^{n-1}A_{n-1}(1).}$

Применение этого к вышеприведенному интегралу дает выражение:

${displaystyle A_{n-1}(1)=int _{0}^{infty }exp left(-{ frac {1}{2}}r^{2}ight),r^{n-1},dr.}$

Подставив т = р²/2, выражение преобразуется в:

${displaystyle A_{n-1}(1)=2^{frac {n-2}{2}}int _{0}^{infty }e^{-t}t^{frac {n-2}{2}},dt.}$

Это гамма-функция, оцениваемая при п/2.

Объединение двух интеграций показывает, что:

${displaystyle A_{n-1}(1)={frac {2pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac {n}{2}}ight)}}.}$

Чтобы получить объем п-шар радиуса р по этой формуле проинтегрируем площадь поверхности сферы радиуса р за 0 ≤ р ≤ р и применим функциональное уравнение zΓ (z) = Γ (z + 1):

${displaystyle V_{n}(R)=int _{0}^{R}{frac {2pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac {n}{2}}ight)}},r^{n-1},dr={frac {2pi ^{frac {n}{2}}}{nGamma left({frac {n}{2}}ight)}}R^{n}={frac {pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac {n}{2}}+1ight)}}R^{n}.}$

Геометрическое доказательство

Отношения ${ extstyle V_{n+1}(R)={frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}$ и ${displaystyle A_{n+1}(R)=(2pi R)V_{n}(R)}$ и таким образом объемы п-шары и области п-сферы также могут быть получены геометрически. Как отмечалось выше, поскольку шар радиуса ${displaystyle R}$ получается из единичного шара ${displaystyle B_{n}}$ путем изменения масштаба всех направлений в ${displaystyle R}$ раз, ${displaystyle V_{n}(R)}$ пропорционально ${displaystyle R^{n}}$, что означает ${ extstyle {frac {dV_{n}(R)}{dR}}={frac {n}{R}}V_{n}(R)}$. Также, ${ extstyle A_{n-1}(R)={frac {dV_{n}(R)}{dR}}}$ потому что шар представляет собой объединение концентрических сфер и увеличивает радиус на ε соответствует оболочке толщиной ε. Таким образом, ${ extstyle V_{n}(R)={frac {R}{n}}A_{n-1}(R)}$; эквивалентно, ${ extstyle V_{n+1}(R)={frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}$.

${displaystyle A_{n+1}(R)=(2pi R)V_{n}(R)}$ следует из существования сохраняющей объем биекции между единичной сферой ${displaystyle S_{n+1}}$ и ${displaystyle S_{1} imes B_{n}}$:

${displaystyle (x,y,{vec {z}})ightarrow left({frac {x}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{frac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{vec {z}}ight)}$

(${displaystyle {vec {z}}}$ является п-пара; ${displaystyle |(x,y,{vec {z}})|=1}$; мы игнорируем множества меры 0). Объем сохраняется, потому что в каждой точке разница с изометрия это растяжка в ху самолет (в ${ extstyle 1/{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ раз в сторону постоянного ${displaystyle x^{2}+y^{2}}$), что точно соответствует сжатию в направлении градиент из ${displaystyle |{vec {z}}|}$ на ${displaystyle S_{n}}$ (соответствующие углы равны). За ${displaystyle S_{2}}$, аналогичный аргумент был первоначально выдвинут Архимед в На сфере и цилиндре.

Шары в L^п нормы

Есть также явные выражения для объемов шаров в L^п нормы. В L^п норма вектора Икс = (Икс₁, …, Икс_п) в р^п является:

${displaystyle left(sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}ight)^{frac {1}{p}},}$

и L^п мяч - это множество всех векторов, L^п norm меньше или равен фиксированному числу, называемому радиусом шара. Дело п = 2 стандартная функция евклидова расстояния, но другие значения п происходят в разных контекстах, таких как теория информации, теория кодирования, и размерная регуляризация.

Объем L^п шар радиуса р является:

${displaystyle V_{n}^{p}(R)={frac {left(2Gamma left({frac {1}{p}}+1ight)Right)^{n}}{Gamma left({frac {n}{p}}+1ight)}}.}$

Эти объемы удовлетворяют рекуррентному соотношению, аналогичному одномерному рекуррентному соотношению для п = 2:

${displaystyle V_{n}^{p}(R)=left(2Gamma left({ frac {1}{p}}+1ight)Right){frac {Gamma left({frac {n-1}{p}}+1ight)}{Gamma left({frac {n}{p}}+1ight)}}V_{n-1}^{p}(R).}$

За п = 2, восстанавливается повторяемость объема евклидова шара, поскольку 2Г (3/2) = √π.

Например, в случаях п = 1 (норма такси ) и п = ∞ (максимальная норма ) объемы следующие:

${displaystyle {egin{aligned}V_{n}^{1}(R)&={frac {2^{n}}{n!}}R^{n},V_{n}^{infty }(R)&=(2R)^{n}.end{aligned}}}$

Это согласуется с элементарными расчетами объемов кросс-многогранники и гиперкубы.

Связь с площадью поверхности

Для большинства значений п, площадь поверхности, ${displaystyle A_{n}^{p}(R)}$, из L^п сфера радиуса р (граница L^п шар радиуса р) нельзя рассчитать, дифференцируя объем L^п мяч относительно его радиуса. В то время как объем можно выразить как интеграл по площадям поверхности, используя формула coarea, формула Coarea содержит поправочный коэффициент, который учитывает, как п-norm меняется от точки к точке. За п = 2 и п = ∞, этот коэффициент равен единице. Однако если п = 1 то поправочный коэффициент равен √п: площадь поверхности L¹ сфера радиуса р в р^п является √п умножить на производную объема L¹ мяч. Наиболее просто это можно увидеть, применив теорема расходимости в векторное поле F(х) = х получить

${displaystyle nV_{n}^{1}(R)=}$${displaystyle iiint _{V}left(mathbf {abla } cdot mathbf {F} ight),dV=}$ ${displaystyle scriptstyle S}$ ${displaystyle (mathbf {F} cdot mathbf {n} ),dS}$ ${displaystyle =}$ ${displaystyle scriptstyle S}$ ${displaystyle {frac {1}{sqrt {n}}}(|x_{1}|+cdots +|x_{n}|),dS}$ ${displaystyle ={frac {R}{sqrt {n}}}}$ ${displaystyle scriptstyle S}$ ${displaystyle ,dS}$ ${displaystyle ={frac {R}{sqrt {n}}}A_{n}^{1}(R)}$.

Для других значений п, постоянная представляет собой сложный интеграл.

Обобщения

Формулу объема можно обобщить еще больше. Для положительных вещественных чисел п₁, …, п_п, определите единицу (п₁, …, п_п) мяч быть:

${displaystyle B_{p_{1},ldots ,p_{n}}=left{x=(x_{1},ldots ,x_{n})in mathbf {R} ^{n}:vert x_{1}vert ^{p_{1}}+cdots +vert x_{n}vert ^{p_{n}}leq 1ight}.}$

Объем этого шара известен со времен Дирихле:^[3]

${displaystyle V(B_{p_{1},ldots ,p_{n}})=2^{n}{frac {Gamma left(1+{frac {1}{p_{1}}}ight)cdots Gamma left(1+{frac {1}{p_{n}}}ight)}{Gamma left(1+{frac {1}{p_{1}}}+cdots +{frac {1}{p_{n}}}ight)}}.}$

Смотрите также

• п-сфера
• Упаковка сфер
• Граница Хэмминга

Рекомендации

1. Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST. http://dlmf.nist.gov/5.19#E4, Выпуск 1.0.6 от 06.05.2013.
2. Н. Елезович, К. Джордано и Х. Пекарич, Лучшие границы неравенства Гаучи, Математика. Неравно. Appl. 3 (2000), 239–252.
3. Дирихле, П. Г. Лежен (1839). "Sur une nouvelle méthode pour la determination des intégrales multiples" [О новом методе определения кратных интегралов]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 4: 164–168.

внешняя ссылка

• Вывод в гиперсферических координатах (На французском)
• Гиперсфера на Wolfram MathWorld
• Объем гиперсферы в справочнике по математике