Кросс-многогранник - Cross-polytope

Кросс-многогранники размерности от 2 до 5

2 измерения квадрат	3 измерения октаэдр
4 измерения 16 ячеек	5 измерений 5-ортоплекс

В геометрия, а кросс-многогранник,^[1] гипероктаэдр, ортоплекс,^[2] или же кокуб это обычный, выпуклый многогранник что существует в п-размеры. Двумерный кросс-многогранник - это квадрат, трехмерный кросс-многогранник - это правильный октаэдр, а 4-мерный кросс-многогранник - это 16 ячеек. Его грани симплексы предыдущего измерения, а кросс-многогранник вершина фигуры это еще один кросс-многогранник из предыдущего измерения.

Вершины кросс-многогранника могут быть выбраны как единичные векторы, указывающие вдоль каждой координатной оси, то есть все перестановки (±1, 0, 0, …, 0). Кросс-многогранник - это выпуклый корпус его вершин. В п-мерный кросс-многогранник также можно определить как замкнутый единичный мяч (или, по мнению некоторых авторов, его граница) в ℓ₁-норма на р^п:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

В одномерном измерении кросс-политоп - это просто отрезок [−1, +1], в двух измерениях это квадрат (или ромб) с вершинами {(± 1, 0), (0, ± 1)}. В трех измерениях это октаэдр - один из пяти выпуклых регулярных многогранники известный как Платоновы тела. Это может быть обобщено на более высокие измерения с n-ортоплексом, построенным как бипирамида с (n-1) -ортоплексным основанием.

Кросс-многогранник - это двойственный многогранник из гиперкуб. 1-скелет из п-мерный кросс-многогранник является График Турана Т(2п,п).

4 измерения

Четырехмерный кросс-многогранник также известен под названием гексадекахорон или же 16 ячеек. Это один из шести выпуклые правильные 4-многогранники. Эти 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвиг Шлефли в середине 19 века.

Высшие измерения

В кросс-многогранник семья одна из трех правильный многогранник семьи, помеченные Coxeter в качестве β_п, два других - гиперкуб семья, помеченная как γ_п, а симплексы, помеченный как α_п. Четвертая семья, бесконечные мозаики гиперкубов, он обозначил как δ_п.^[3]

В п-мерный кросс-многогранник имеет 2п вершины и 2^п грани (п−1 размерных компонент), все из которых п−1 симплексы. В фигуры вершин все п - 1 кросс-многогранник. В Символ Шлефли кросс-многогранника {3,3, ..., 3,4}.

В двугранный угол из п-мерный кросс-многогранник ${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$. Это дает: δ₂ = arccos (0/2) = 90 °, δ₃ = arccos (-1/3) = 109,47 °, δ₄ = arccos (-2/4) = 120 °, δ₅ = arccos (-3/5) = 126,87 °, ... δ_∞ = arccos (-1) = 180 °.

Гиперобъем п-мерный кросс-многогранник

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

Для каждой пары не противоположных вершин есть ребро, соединяющее их. В более общем плане каждый набор к + 1 ортогональные вершины соответствуют различным k-мерный компонент, который их содержит. Количество k-мерные компоненты (вершины, ребра, грани, ..., фасеты) в п-мерный кросс-многогранник, таким образом, имеет вид (см. биномиальный коэффициент ):

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$^[4]

Есть много возможных орфографические проекции который может отображать кросс-многогранники в виде двумерных графиков. Многоугольник Петри проекции отображают точки в регулярную 2n-угольник или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция занимает 2 (п-1)-угольник многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида, спроецированный вниз по оси, с двумя вершинами, отображенными в центре.

Элементы кросс-многогранника

п	βп k11	Имя (а) График	График 2n-угольник	Schläfli	Кокстер-Дынкин диаграммы	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-лицы	5-лицы	6-лицы	7-лицы	8-лицы	9-лицы	10-лицы
0	β0	Точка 0-ортоплекс	.	( )		1
1	β1	Отрезок 1-ортоплекс		{ }		2	1
2	β2 −111	квадрат 2-ортоплекс Бикросс		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β3 011	октаэдр 3-ортоплекс Трикросс		{3,4} {3^1,1} 3{ }		6	12	8	1
4	β4 111	16 ячеек 4-ортоплекс Тетракросс		{3,3,4} {3,3^1,1} 4{ }		8	24	32	16	1
5	β5 211	5-ортоплекс Пентакросс		{3^3,4} {3,3,3^1,1} 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β6 311	6-ортоплекс Гексакросс		{3^4,4} {3^3,3^1,1} 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
7	β7 411	7-ортоплекс Гептакросс		{3^5,4} {3^4,3^1,1} 7{ }		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β8 511	8-ортоплекс Октакросс		{3^6,4} {3^5,3^1,1} 8{ }		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β9 611	9-ортоплекс Enneacross		{3^7,4} {3^6,3^1,1} 9{ }		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β10 711	10-ортоплекс Декакросс		{3^8,4} {3^7,3^1,1} 10{ }		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
п	βп k11	п-ортоплекс п-Пересекать		{3п − 2,4} {3п − 3,3^1,1} п {}	... ... ...	2п 0-лица, ... ${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}$ k-лицы ..., 2п (n-1) -лицы

Все вершины поперечного многогранника, выровненного по осям, находятся на равном расстоянии друг от друга в Манхэттенское расстояние (L¹ норма ). Гипотеза Куснера заявляет, что этот набор из 2d очков - это максимально возможное эквидистантный набор на это расстояние.^[5]

Обобщенный ортоплекс

Обычный сложные многогранники можно определить в сложный Гильбертово пространство называется обобщенные ортоплексы (или кросс-многогранники), β^п
_п = ₂{3}₂{3}...₂{4}_п, или же ... Реальные решения существуют с п= 2, т.е. β²
_п = β_п = ₂{3}₂{3}...₂{4}₂ = {3,3, .., 4}. За п> 2, они существуют в ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$. А п-обобщенный п-ортоплекс имеет пн вершины. Обобщенные ортоплексы регулярно симплексы (реальный) как грани.^[6] Обобщенные ортоплексы составляют полные многодольные графы, β^п
₂ сделать K_п,п за полный двудольный граф, β^п
₃ сделать K_п,п,п для полных трехсторонних графов. β^п
_п создает K_п^п. An ортогональная проекция может быть определено, что отображает все вершины, равномерно расположенные на окружности, со всеми парами вершин, связанными, кроме кратных п. В правильный многоугольник периметр в этих ортогональных проекциях называется многоугольник петри.

Обобщенные ортоплексы

	п=2		п=3	п=4	п=5	п=6	п=7	п=8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	2{4}2 = {4} = K2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}$	2{4}3 = K3,3	2{4}4 = K4,4	2{4}5 = K5,5	2{4}6 = K6,6	2{4}7 = K7,7	2{4}8 = K8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	2{3}2{4}2 = {3,4} = K2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}$	2{3}2{4}3 = K3,3,3	2{3}2{4}4 = K4,4,4	2{3}2{4}5 = K5,5,5	2{3}2{4}6 = K6,6,6	2{3}2{4}7 = K7,7,7	2{3}2{4}8 = K8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2{3}2{3}2 {3,3,4} = K2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}$	2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3	2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4	2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5	2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6	2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7	2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,4} = K2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}$	2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,3,4} = K2,2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8,8

Родственные семейства многогранников

Кросс-многогранники можно комбинировать со своими двойными кубами для образования составных многогранников:

• В двух измерениях мы получаем октаграмматический звездная фигура {⁸⁄₂},
• В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра,
• В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек.

Смотрите также

• Список правильных многогранников
• Гипероктаэдрическая группа, группа симметрии кросс-многогранника

Цитаты

1. Кокстер 1973, pp. 121-122, §7.21. Иллюстрация Рис. 7-2B.
2. Конвей называет это н-ортоплекс за ортодоксальный сложный.
3. Кокстер 1973, pp. 120–124, §7.2.
4. Кокстер 1973, п. 121, §7.2.2 ..
5. Гай, Ричард К. (1983), «олла-подрида открытых проблем, часто странно поставленных», Американский математический ежемесячный журнал, 90 (3): 196–200, Дои:10.2307/2975549, JSTOR  2975549.
6. Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 108

Рекомендации

• Кокстер, H.S.M. (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • С. 121-122, §7.21. см. иллюстрацию Рис. 7.2B
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Кросс-многогранник". MathWorld.

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные многогранники в размерах 2–10
Семья	Ап	Bп	я2(п) / Dп	E6 / E7 / E8 / F4 / грамм2	ЧАСп
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукруглый
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	132 • 231 • 321
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	142 • 241 • 421
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Униформа п-многогранник	п-симплекс	п-ортоплекс • п-куб	п-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	п-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений