Псевдодифференциальный оператор - Pseudo-differential operator

В математический анализ а псевдодифференциальный оператор является расширением концепции дифференциальный оператор. Псевдодифференциальные операторы широко используются в теории уравнения в частных производных и квантовая теория поля.

История

Изучение псевдодифференциальных операторов началось в середине 1960-х годов с работ Кон, Ниренберг, Хёрмандер, Унтербергер и Бокобза.^[1]

Они сыграли важную роль во втором доказательстве Теорема Атьи – Зингера об индексе через K-теорию. Атья и Сингер поблагодарили Хёрмандер за помощь в понимании теории псевдодифференциальных операторов.^[2]

Мотивация

Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

действующий на гладкие функции ${\displaystyle u}$ с компактной опорой в р^пЭтот оператор можно записать как композицию преобразование Фурье, простой умножение полиномиальной функцией (называемой символ)

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}$

и обратное преобразование Фурье в виде:

${\displaystyle \quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi }$

(1)

Здесь, ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ это мультииндекс, ${\displaystyle a_{\alpha }}$ комплексные числа, и

${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$

- повторная частная производная, где ∂_j означает дифференцирование по j-я переменная. Введем константы ${\displaystyle -i}$ для облегчения вычисления преобразований Фурье.

Вывод формулы (1)

Преобразование Фурье гладкой функции ты, компактно поддерживается в р^п, является

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy}$

и Формула обращения Фурье дает

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi }$

Применяя п(D) к этому представлению ты и используя

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

получается формула (1).

Представление решений уравнений в частных производных

Чтобы решить уравнение в частных производных

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

мы (формально) применяем преобразование Фурье с обеих сторон и получаем алгебраический уравнение

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}$

Если символ п(ξ) никогда не обращается в нуль, если ξ ∈р^п, то можно разделить на п(ξ):

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

По формуле обращения Фурье решение есть

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Здесь предполагается, что:

1. п(D) - линейный дифференциальный оператор с постоянный коэффициенты,
2. его символ п(ξ) никогда не равно нулю,
3. обе ты и ƒ имеют корректно определенное преобразование Фурье.

Последнее предположение можно ослабить, используя теорию распределения.Первые два предположения можно ослабить следующим образом.

В последней формуле запишите преобразование Фурье, чтобы получить

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .}$

Это похоже на формулу (1), за исключением того, что 1 /п(ξ) - не полиномиальная функция, а функция более общего вида.

Определение псевдодифференциальных операторов

Здесь мы рассматриваем псевдодифференциальные операторы как обобщение дифференциальных операторов. Мы расширяем формулу (1) следующим образом. А псевдодифференциальный оператор п(Икс,D) на р^п - оператор, значение которого в функции и (х) это функция Икс:

${\displaystyle \quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi }$

(2)

куда ${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$ это преобразование Фурье из ты и символ п(Икс, ξ) в подынтегральном выражении принадлежит некоторому класс символа.Например, если п(Икс, ξ) - бесконечно дифференцируемая функция на р^п × р^п с собственностью

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

для всех Икс, ξ ∈р^п, все мультииндексы α, β, некоторые константы C_{α, β} и какое-то реальное число м, тогда п принадлежит к классу символов ${\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}$ из Хёрмандер. Соответствующий оператор п(Икс,D) называется псевдодифференциальный оператор порядка m и принадлежит к классу${\displaystyle \scriptstyle {\Psi _{1,0}^{m}}.}$

Характеристики

Линейные дифференциальные операторы порядка m с гладкими ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными операторами порядка м.Сочинение PQ двух псевдодифференциальных операторов п, Q снова псевдодифференциальный оператор и символ PQ можно рассчитать, используя символы п и Q. Сопряженный и транспонированный псевдодифференциальный оператор является псевдодифференциальным оператором.

Если дифференциальный оператор порядка м является (равномерно) эллиптический (порядка м) и обратимым, то его обратным является псевдодифференциальный оператор порядка -м, и его символ можно вычислить. Это означает, что можно более или менее явно решать линейные эллиптические дифференциальные уравнения, используя теорию псевдодифференциальных операторов.

Дифференциальные операторы местный в том смысле, что нужно только значение функции в окрестности точки, чтобы определить эффект оператора. Псевдодифференциальные операторы псевдокальный, что неформально означает, что применительно к распределение они не создают сингулярности в точках, где распределение уже было гладким.

Так же, как дифференциальный оператор может быть выражен через D = −id / dИкс в виде

${\displaystyle p(x,D)\,}$

для многочлен п в D (который называется символ) псевдодифференциальный оператор имеет символ в более общем классе функций. Часто задачу анализа псевдодифференциальных операторов можно свести к последовательности алгебраических задач, связанных с их символами, и в этом суть микролокальный анализ.

Ядро псевдодифференциального оператора

Псевдодифференциальные операторы можно представить в виде ядра. Особенность ядра на диагонали зависит от степени соответствующего оператора. Фактически, если символ удовлетворяет указанным выше дифференциальным неравенствам с m ≤ 0, можно показать, что ядро ​​является сингулярное интегральное ядро.

Смотрите также

• Дифференциальная алгебра для определения псевдодифференциальных операторов в контексте дифференциальных алгебр и дифференциальных колец.
• преобразование Фурье
• Интегральный оператор Фурье
• Осциллирующий интегральный оператор
• Основная теорема Сато

Сноски

1. Штейн 1993, Глава 6
2. Атья и певица 1968, п. 486

Рекомендации

• Штейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы, Princeton University Press.
• Атья, Майкл Ф.; Певец, Исадор М. (1968), "Индекс эллиптических операторов I", Анналы математики, 87 (3): 484–530, Дои:10.2307/1970715, JSTOR  1970715

дальнейшее чтение

• Майкл Э. Тейлор, Псевдодифференциальные операторы, Princeton Univ. Пресс 1981. ISBN  0-691-08282-0
• М.А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, Springer-Verlag 2001. ISBN  3-540-41195-Х
• Франсуа Тревес, Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Co., 1981. ISBN  0-306-40404-4
• Ф. Г. Фридлендер и М. Джоши, Введение в теорию распределений, Cambridge University Press, 1999. ISBN  0-521-64971-4
• Хёрмандер, Ларс (1987). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными III: псевдодифференциальные операторы. Springer. ISBN  3-540-49937-7.

внешняя ссылка

• Лекции по псевдодифференциальным операторам к Марк С. Джоши на arxiv.org.
• «Псевдодифференциальный оператор», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]