Теорема Атьи – Зингера об индексе - Atiyah–Singer index theorem

Теорема Атьи – Зингера об индексе
Поле	Дифференциальная геометрия
Первое доказательство	Майкл Атья и Исадор Сингер
Первое доказательство в	1963
Последствия	Теорема Черна – Гаусса – Бонне.; Теорема Гротендика – Римана – Роха.; Теорема Хирцебруха о сигнатуре; Теорема Рохлина

В дифференциальная геометрия, то Теорема Атьи – Зингера об индексе, доказано Майкл Атья и Исадор Сингер (1963 ), утверждает, что для эллиптический дифференциальный оператор на компактный коллектор, то аналитический индекс (связанная с размерностью пространства решений) равна топологический указатель (определяется на основе некоторых топологических данных). Он включает в себя множество других теорем, таких как Теорема Черна – Гаусса – Бонне. и Теорема Римана – Роха, как особые случаи и имеет приложения к теоретическая физика.

История

Проблема индекса для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена Исраэль Гельфанд (1960 ). Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил формулу для него с помощью топологические инварианты. Некоторые из мотивирующих примеров включали Теорема Римана – Роха и его обобщение Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., а Теорема Хирцебруха о сигнатуре. Фридрих Хирцебрух и Арман Борель доказал целостность Â род спинового многообразия, и Атья предположил, что эту целостность можно было бы объяснить, если бы она была индексом Оператор Дирака (который был заново открыт Атьей и Сингером в 1961 году).

Теорема Атьи – Зингера была анонсирована Атья и певица (1963). Доказательство, приведенное в этом сообщении, никогда ими не публиковалось, хотя оно и есть в книге (Дворец 1965 года ). Это также появляется в "Семинаре Картана-Шварца 1963/64" (Картан-Шварц 1965 ), который проходил в Париже одновременно с семинаром под руководством Ричард Пале в Университет Принстона. Последний доклад в Париже Атьи о многообразиях с краем. Их первое опубликованное доказательство (Атья и певица, 1968a ) заменил кобордизм теория первого доказательства с K-теория, и они использовали это, чтобы дать доказательства различных обобщений в статьях Atiyah и Singer (1968a, 1968b, 1971a, 1971b ).

1965: Новиков Сергей Петрович (Новиков 1965 ) опубликовал свои результаты о топологической инвариантности рационального Понтрягина классы на гладких многообразиях.
Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн результаты (Кирби и Зибенманн 1969 ), в сочетании с Рене Том бумага (Том 1956 ) доказал существование рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Рациональные классы Понтрягина являются существенными составляющими теоремы об индексе гладких и топологических многообразий.
1969: Майкл Ф. Атья (1970 ) определяет абстрактные эллиптические операторы на произвольных метрических пространствах. Абстрактные эллиптические операторы стали главными действующими лицами в теории Каспарова и некоммутативной дифференциальной геометрии Конна.
1971: Исадор М. Сингер (1971 ) предлагает обширную программу будущих расширений теории индекса.
1972: Геннадий Георгиевич Каспаров (1972 ) публикует свою работу о реализации K-гомологий абстрактными эллиптическими операторами.
1973: Атия, Рауль Ботт, и Виджай Патоди (1973 ) дал новое доказательство теоремы об индексе с помощью уравнение теплопроводности, описанный в Мелроуз (1993).
1977: Деннис Салливан (1979 ) устанавливает свою теорему о существовании и единственности липшицевых и квазиконформных структур на топологических многообразиях размерности, отличной от 4.
Эзра Гетцлер (1983 ) мотивированы идеями Эдвард Виттен (1982 ) и Луис Альварес-Гауме, дал краткое доказательство теоремы о локальном индексе для операторов, локально Операторы Дирака; это охватывает многие из полезных случаев.
1983: Николае Телеман (1983 ) доказывает, что аналитические индексы операторов сигнатур со значениями в векторных расслоениях являются топологическими инвариантами.
1984: Телеман (1984) устанавливает теорему об индексе топологических многообразий.
1986: Ален Конн (1986 ) публикует свою фундаментальную работу по некоммутативная геометрия.
1989: Саймон К. Дональдсон и Салливан (1989 ) изучают теорию Янга – Миллса на квазиконформных многообразиях размерности 4. Они вводят сигнатурный оператор S определены на дифференциальных формах степени два.
1990: Конн и Анри Московичи (1990 ) доказать формулу локального индекса в контексте некоммутативной геометрии.
1994: Конн, Салливан и Телеман (1994 ) доказывают теорему об индексе сигнатурных операторов на квазиконформных многообразиях.

Обозначение

Икс это компактный гладкий многообразие (без границы).
E и F гладкие векторные пакеты над Икс.
D является эллиптическим дифференциальным оператором из E к F. Таким образом, в локальных координатах он действует как дифференциальный оператор, беря гладкие участки E сгладить участки F.

Символ дифференциального оператора

Если D - дифференциальный оператор на евклидовом пространстве порядка п в k переменные ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {k}}$ , то его символ является функцией 2k переменные ${ displaystyle x_ {1}, dots, x_ {k}, y_ {1}, dots, y_ {k}}$ , заданный отбрасыванием всех условий порядка менее п и замена ${ Displaystyle partial / partial x_ {i}}$ к ${ displaystyle y_ {i}}$ . Значит, символ однороден по переменным устепени п. Символ четко определен, хотя ${ displaystyle partial / partial x_ {i}}$ не ездит на работу с ${ displaystyle x_ {i}}$ потому что мы сохраняем только члены высшего порядка, а дифференциальные операторы коммутируют «до членов более низкого порядка». Оператор называется эллиптический если символ отличен от нуля, когда хотя бы один у отличен от нуля.

Пример: оператор Лапласа в k переменные имеют символ ${ displaystyle y_ {1} ^ {2} + cdots + y_ {k} ^ {2}}$ , и поэтому является эллиптическим, поскольку он отличен от нуля, когда любой из ${ displaystyle y_ {i}}$ ненулевые. Волновой оператор имеет символ ${ displaystyle -y_ {1} ^ {2} + cdots + y_ {k} ^ {2}}$ , который не является эллиптическим, если ${ Displaystyle к geq 2}$ , так как символ обращается в нуль для некоторых ненулевых значений ус.

Символ дифференциального оператора порядка п на гладком многообразии Икс определяется почти таким же образом с использованием локальных координатных диаграмм и является функцией котангенсный пучок из Икс, однородный степени п на каждом котангенсе. (Вообще говоря, дифференциальные операторы довольно сложно преобразуются при преобразованиях координат (см. связка струй ); однако члены высшего порядка преобразуются как тензоры, поэтому мы получаем хорошо определенные однородные функции на кокасательных пространствах, которые не зависят от выбора локальных карт.) В более общем смысле, символ дифференциального оператора между двумя векторными расслоениями E и F - сечение обратного расслоения Hom (E, F) к котангенсному пространству Икс. Дифференциальный оператор называется эллиптический если элемент Hom (E_Икс, F_Икс) обратима для всех ненулевых котангенсных векторов в любой точке Икс из Икс.

Ключевым свойством эллиптических операторов является их почти обратимость; это тесно связано с тем, что их символы почти обратимы. Точнее, эллиптический оператор D на компактном многообразии имеет (неединственное) параметрикс (или же псевдообратный) DТакие, что DD ′−1 и D'D−1 - оба компактные операторы. Важным следствием является то, что ядро D конечномерно, поскольку все собственные подпространства компактных операторов, кроме ядра, конечномерны. (Псевдообратный к эллиптическому дифференциальному оператору почти никогда не бывает дифференциальным оператором. Однако он является эллиптическим псевдодифференциальный оператор.)

Аналитический индекс

Как эллиптический дифференциальный оператор D имеет псевдообратное, это Фредгольмов оператор. Любой фредгольмов оператор имеет индекс, определяемая как разница между (конечной) размерностью ядро из D (решения Df = 0), а (конечная) размерность коядро из D (ограничения на правую часть неоднородного уравнения вида Df = грамм, или, что то же самое, ядро сопряженного оператора). Другими словами,

Индекс(D) = dim Ker (D) - dim Coker (D) = dim Ker (D) - dim Ker (D *).

Иногда это называют аналитический индекс из D.

Пример: Предположим, что многообразие - это окружность (которую можно представить как р/Z), и D - оператор d / dx - λ для некоторой комплексной постоянной λ. (Это простейший пример эллиптического оператора.) Тогда ядро - это пространство, кратное exp (λИкс), если λ является целым кратным 2πя и равен 0 в противном случае, и ядро сопряженного является аналогичным пространством с заменой λ на его комплексно сопряженное. Так D имеет индекс 0. Этот пример показывает, что ядро и коядро эллиптических операторов могут скачкообразно перескакивать при изменении эллиптического оператора, поэтому нет хорошей формулы для их размерностей в терминах непрерывных топологических данных. Однако скачки размеров ядра и коядра одинаковы, поэтому индекс, определяемый разницей их размеров, действительно непрерывно изменяется и может быть задан в терминах топологических данных с помощью теоремы об индексе.

Топологический указатель

В топологический указатель эллиптического дифференциального оператора ${ displaystyle D}$ между гладкими векторными расслоениями ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle F}$ на ${ displaystyle n}$ -мерное компактное многообразие ${ displaystyle X}$ дан кем-то

{ Displaystyle OperatorName {ch} (D) OperatorName {Td} (X) [X] = int _ {X} operatorname {ch} (D) Operatorname {Td} (X)}

другими словами, ценность главного размерного компонента смешанного класс когомологий ${ Displaystyle OperatorName {ch} (D) OperatorName {Td} (X)}$ на фундаментальный класс гомологии коллектора ${ displaystyle X}$ .Здесь,

${ displaystyle operatorname {Td} (X)}$ это Тодд класс комплексифицированного касательного пучка ${ displaystyle X}$ .
${ displaystyle operatorname {ch} (D)}$ ${ displaystyle operatorname {ch} (D)}$ равно ${ displaystyle varphi ^ {- 1} ( operatorname {ch} (d (p ^ {*} E, p ^ {*} F, sigma (D))))}$ ${ displaystyle varphi ^ {- 1} ( operatorname {ch} (d (p ^ {*} E, p ^ {*} F, sigma (D))))}$ , куда
- ${ displaystyle varphi: H ^ {k} (X; mathbb {Q}) to H ^ {n + k} (B (X) / S (X); mathbb {Q})}$ это Изоморфизм Тома для пучка сфер ${ Displaystyle р: В (Х) / S (Х) к Х}$
- ${ displaystyle operatorname {ch}: K (X) otimes mathbb {Q} to H ^ {*} (X; mathbb {Q})}$ это Черн персонаж
- ${ displaystyle d (p ^ {*} E, p ^ {*} F, sigma (D))}$ "элемент различия" в ${ Displaystyle К (В (Х) / S (X))}$ связанный с двумя векторными расслоениями ${ displaystyle p ^ {*} E}$ и ${ displaystyle p ^ {*} F}$ на ${ Displaystyle B (X)}$ и изоморфизм ${ Displaystyle sigma (D)}$ между ними на подпространстве ${ Displaystyle S (X)}$ .
- ${ Displaystyle sigma (D)}$ это символ ${ displaystyle D}$

Можно также определить топологический индекс, используя только K-теорию (и это альтернативное определение в определенном смысле совместимо с конструкцией характера Черна, приведенной выше). Если Икс компактное подмногообразие многообразия Y то есть прямая (или "кричащая") карта из K (TX) в K (TY). Топологический индекс элемента из K (TX) определяется как образ этой операции с Y некоторое евклидово пространство, для которого K (TY) можно естественным образом отождествить с целыми числами Z (как следствие боттовской периодичности). Это отображение не зависит от вложения Икс в евклидовом пространстве. Теперь такой же дифференциальный оператор естественным образом определяет элемент из K (TX), а изображение в Z под этим отображением «стоит» топологический индекс.

Как обычно, D является эллиптическим дифференциальным оператором между векторными расслоениями E и F над компактным многообразием Икс.

В проблема индекса выглядит следующим образом: вычислить (аналитический) индекс D используя только символ s и топологический данные, полученные из многообразия и векторного расслоения. Теорема Атьи – Зингера об индексе решает эту проблему и утверждает:

Аналитический индекс D равен своему топологическому индексу.

Несмотря на громоздкое определение, топологический индекс обычно легко вычислить явно. Таким образом, это позволяет оценить аналитический индекс. (Коядро и ядро эллиптического оператора, как правило, чрезвычайно трудно оценить по отдельности; теорема об индексе показывает, что обычно мы можем по крайней мере оценить их разница.) Многие важные инварианты многообразия (например, сигнатура) могут быть заданы как индекс подходящих дифференциальных операторов, поэтому теорема об индексе позволяет нам оценивать эти инварианты в терминах топологических данных.

Хотя аналитический индекс обычно трудно оценить напрямую, это, по крайней мере, очевидно, целое число. Топологический индекс по определению является рациональным числом, но обычно из определения вовсе не очевидно, что он также является целым. Таким образом, теорема Атьи – Зингера об индексе подразумевает некоторые свойства глубокой целостности, так как подразумевает, что топологический индекс является целым.

Индекс эллиптического дифференциального оператора, очевидно, обращается в нуль, если оператор самосопряженный. Он также обращается в нуль, если многообразие Икс имеет нечетное измерение, хотя есть псевдодифференциальный эллиптические операторы, индекс которых не обращается в нуль в нечетных размерностях.

Расширения теоремы Атьи – Зингера об индексе

Теорема Телемана об индексе

Из-за (Телеман 1983 ), (Телеман 1984 ):

Для любого абстрактного эллиптического оператора (Атья 1970 ) на замкнутом ориентированном топологическом многообразии аналитический индекс равен топологическому индексу.

Доказательство этого результата проходит через конкретные рассмотрения, в том числе распространение теории Ходжа на комбинаторные и липшицевы многообразия (Телеман 1980 ), (Телеман 1983 ), расширение оператора сигнатуры Атьи – Зингера на липшицевы многообразия (Телеман 1983 ), K-гомологии Каспарова (Каспаров 1972 ) и топологический кобордизм (Кирби и Зибенманн 1977 ).

Этот результат показывает, что теорема об индексе - это не просто дифференцируемое утверждение, а скорее топологическое утверждение.

Теорема Конна – Дональдсона – Салливана – Телемана об индексе

Из-за (Дональдсон и Салливан 1989 ), (Конн, Салливан и Телеман, 1994 г. ):

Для любого квазиконформного многообразия существует локальная конструкция характеристических классов Хирцебруха – Тома.

Эта теория основана на сигнатурном операторе S, определенные на дифференциальных формах средней степени на четномерных квазиконформных многообразиях (ср.Дональдсон и Салливан 1989 )).

Используя топологический кобордизм и K-гомологии, можно дать полную формулировку теоремы об индексе квазиконформных многообразий (см. Стр. 678 книги (Конн, Салливан и Телеман, 1994 г. )). Работа (Конн, Салливан и Телеман, 1994 г. ) «предоставляет локальные конструкции для характеристических классов, основанные на родственниках измеримого риманова отображения в размерности два и теории Янга – Миллса в размерности четыре».

Эти результаты представляют собой значительный прогресс в рамках программы Зингера. Перспективы математики (Певица 1971 ). В то же время они обеспечивают эффективное построение рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Бумага (Телеман 1985 ) обеспечивает связь между оригинальной конструкцией Тома рациональных классов Понтрягина (Том 1956 ) и теория индекса.

Важно отметить, что формула индекса является топологическим утверждением. Теории препятствий Милнора, Кервера, Кирби, Зибенмана, Салливана, Дональдсона показывают, что только меньшая часть топологических многообразий обладает дифференцируемыми структурами, и они не обязательно уникальны. Результат Салливана о липшицевых и квазиконформных структурах (Салливан 1979 ) показывает, что любое топологическое многообразие размерности, отличной от 4, обладает такой структурой, которая единственна (с точностью до изотопии, близкой к единице).

Квазиконформные структуры (Конн, Салливан и Телеман, 1994 г. ) и в целом L^п-конструкции, п > п (п + 1) / 2, представленный М. Хилсумом (Hilsum 1999 ), являются наиболее слабыми аналитическими структурами на топологических многообразиях размерности п для которого, как известно, выполняется теорема об индексе.

Прочие расширения

Теорема Атьи – Зингера применима к эллиптическим псевдодифференциальные операторы во многом так же, как для эллиптических дифференциальных операторов. Фактически, по техническим причинам большинство ранних доказательств работало с псевдодифференциальными, а не с дифференциальными операторами: их дополнительная гибкость облегчила некоторые этапы доказательств.
Вместо того, чтобы работать с эллиптическим оператором между двумя векторными расслоениями, иногда удобнее работать с эллиптический комплекс

{ displaystyle 0 rightarrow E_ {0} rightarrow E_ {1} rightarrow E_ {2} rightarrow ... rightarrow E_ {m} rightarrow 0}

векторных расслоений. Разница в том, что символы теперь образуют точную последовательность (за пределами нулевого участка). В случае, когда в комплексе есть только два ненулевых расслоения, это означает, что символ является изоморфизмом от нулевого сечения, поэтому эллиптический комплекс с двумя членами по существу аналогичен эллиптическому оператору между двумя векторными расслоениями. Наоборот, теорема об индексе для эллиптического комплекса легко сводится к случаю эллиптического оператора: два векторных расслоения задаются суммами четных или нечетных членов комплекса, а эллиптический оператор является суммой операторов эллиптический комплекс и его сопряженные, ограниченные суммой четных расслоений.

Если многообразие может иметь границу, то должны быть наложены некоторые ограничения на область определения эллиптического оператора, чтобы гарантировать конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требовать, чтобы разделы в области обращались в нуль на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требовать, чтобы разделы в области решали какое-то дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атьей и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, оператор подписи ) не допускают локальных граничных условий. Чтобы справиться с этими операторами, Атья, Патоди и Певица ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем сужению области до тех сечений, которые интегрируются с квадратом вдоль цилиндра. Эта точка зрения принята при доказательстве Мелроуз (1993) из Теорема Атьи – Патоди – Зингера об индексе.
Вместо одного эллиптического оператора можно рассматривать семейство эллиптических операторов, параметризованных некоторым пространством Y. В этом случае индекс является элементом K-теории Y, а не целое число. Если операторы в семействе действительны, то индекс лежит в вещественной K-теории Y. Это дает немного дополнительной информации, так как карта из реальной K-теории Y к комплексной K-теории не всегда инъективно.
Если есть групповое действие группы грамм на компактном многообразии Икс, коммутируя с эллиптическим оператором, то обычную K-теорию заменяют на эквивариантная K-теория. Более того, получаются обобщения Теорема Лефшеца о неподвижной точке, с членами, происходящими от подмногообразий с неподвижными точками группы грамм. Смотрите также: эквивариантная теорема об индексе.
Атья (1976) показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которых действует дискретная группа с компактным фактором. Ядро эллиптического оператора в этом случае, вообще говоря, бесконечномерно, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгебра фон Неймана; этот индекс, как правило, является действительным, а не целочисленным. Эта версия называется L² теорема об индексе, и использовался Атья и Шмид (1977) восстановить свойства представления дискретной серии из полупростые группы Ли.
В Теорема об индексе Каллиаса является теоремой об индексе для оператора Дирака в некомпактном нечетномерном пространстве. Индекс Атьи – Зингера определен только на компактных пространствах и обращается в нуль, когда их размерность нечетная. В 1978 г. Константин Каллий, по предложению его доктора философии. советник Роман Джекив, использовал осевая аномалия для вывода этой теоремы об индексе для пространств, снабженных Эрмитова матрица называется Поле Хиггса.^[1] Индекс оператора Дирака - это топологический инвариант, измеряющий намотку поля Хиггса на бесконечно удаленную сферу. Если U - единичная матрица в направлении поля Хиггса, то индекс пропорционален интегралу от U(dU)^п−1 над (п−1) -сфера на бесконечности. Если п четное, оно всегда равно нулю.
- Топологическая интерпретация этого инварианта и его связь с Индекс Хёрмандера предложено Борис Федосов, как обобщено Ларс Хёрмандер, был опубликован Рауль Ботт и Роберт Томас Сили.^[2]

Примеры

Эйлерова характеристика

Предположим, что M компактное ориентированное многообразие. Если мы возьмем E быть суммой четных внешних степеней кокасательного расслоения, и F как сумму нечетных степеней, определим D = d + г *, рассматривается как карта из E к F. Тогда топологический индекс D это Эйлерова характеристика из Когомологии Ходжа из M, а аналитический индекс - это Класс Эйлера коллектора. Формула индекса для этого оператора дает Теорема Черна-Гаусса-Бонне.

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Брать Икс быть комплексное многообразие с голоморфным векторным расслоением V. Пусть векторные расслоения E и F - суммы расслоений дифференциальных форм с коэффициентами в V типа (0,я) с я четное или нечетное, и пусть дифференциальный оператор D быть суммой

{ Displaystyle { overline { partial}} + { overline { partial}} ^ {*}}

ограниченный E. Тогда аналитический индекс D это голоморфная эйлерова характеристика из V:

{ displaystyle { textrm {index}} (D) = sum _ {p} (- 1) ^ {p} { textrm {dim}} , H ^ {p} (X, V)}

Топологический индекс D дан кем-то

{ displaystyle { textrm {index}} (D) = { textrm {ch}} (V) , { textrm {Td}} (X) [X]}

,

произведение Черна характера V и класс Тодда Икс оценивается по фундаментальному классу ИксПриравнивая топологический и аналитический индексы, получаем Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.. Фактически мы получаем его обобщение на все комплексные многообразия: доказательство Хирцебруха работало только для проективный комплексные многообразия Икс.

Этот вывод теоремы Хирцебруха – Римана – Роха будет более естественным, если мы будем использовать теорему об индексе для эллиптических комплексов, а не для эллиптических операторов. Мы можем считать комплекс

{ displaystyle 0 rightarrow V rightarrow V otimes Lambda ^ {0,1} T ^ {*} (X) rightarrow V otimes Lambda ^ {0,2} T ^ {*} (X) правая стрелка ,...}

с дифференциалом, задаваемым ${ displaystyle { overline { partial}}}$ . Тогда я'-я группа когомологий - это просто когерентная группа когомологий H^я(Икс, V), поэтому аналитическим индексом этого комплекса является голоморфная эйлерова характеристика Σ (−1)^я тусклый (H^я(Икс, V)). Как и раньше, топологический индекс ch (V) Td (Икс)[Икс].

Теорема Хирцебруха о сигнатуре

В Теорема Хирцебруха о сигнатуре утверждает, что сигнатура компактного ориентированного многообразия Икс размерности 4k дается Род L коллектора. Это следует из теоремы Атьи – Зингера об индексе, примененной к следующим оператор подписи.

Связки E и F задаются +1 и −1 собственными подпространствами оператора на расслоении дифференциальных форм оператора Икс, который действует на k-формируется как

{ Displaystyle я ^ {к (к-1)}}

раз Ходжа * оператор. Оператор D это Ходж лапласиан

{ Displaystyle D Equiv Delta: = ( mathbf {d} + mathbf {d ^ {*}}) ^ {2}}

ограниченный E, куда d Картан внешняя производная и d* является его сопряженным.

Аналитический индекс D сигнатура многообразия Икс, а его топологический индекс - это L-род Икс, так что они равны.

Род и теорема Рохлина

В Â род - рациональное число, определенное для любого многообразия, но в общем случае не целое. Борель и Хирцебрух показали, что оно является целым для спиновых многообразий и четным целым числом, если вдобавок размерность равна 4 mod 8. Это можно вывести из теоремы об индексе, из которой следует, что род Â для спиновых многообразий является индексом дираковского оператор. Дополнительный множитель 2 в размерности 4 по модулю 8 связан с тем фактом, что в этом случае ядро и коядро оператора Дирака имеют кватернионную структуру, так что, как и комплексные векторные пространства, они имеют четные размеры, поэтому индекс четный.

В размерности 4 из этого результата следует Теорема Рохлина что сигнатура 4-мерного спинового многообразия делится на 16: это следует потому, что в размерности 4 род Â минус одна восьмая сигнатуры.

Методы доказательства

Псевдодифференциальные операторы

Псевдодифференциальные операторы легко объясняются в случае операторов с постоянными коэффициентами в евклидовом пространстве. В этом случае дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами - это просто преобразования Фурье умножения на полиномы, а псевдодифференциальные операторы с постоянными коэффициентами - это просто преобразования Фурье умножения на более общие функции.

Во многих доказательствах теоремы об индексе используются псевдодифференциальные операторы, а не дифференциальные операторы. Причина этого в том, что для многих целей не хватает дифференциальных операторов. Например, псевдообратный к эллиптическому дифференциальному оператору положительного порядка оператор не является дифференциальным оператором, а является псевдодифференциальным оператором. Кроме того, существует прямое соответствие между данными, представляющими элементы K (B (Икс), S(Икс)) (функции сцепления) и символы эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Псевдодифференциальные операторы имеют порядок, который может быть любым действительным числом или даже −∞, и иметь символы (которые больше не являются многочленами на кокасательном пространстве), а эллиптические дифференциальные операторы - это те, символы которых обратимы для достаточно больших кокасательных векторов. Большая часть версии теоремы об индексе может быть расширена с эллиптических дифференциальных операторов до эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Кобордизм

Первоначальное доказательство было основано на доказательстве Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. (1954), и участвовал теория кобордизма и псевдодифференциальные операторы.

Идея этого первого доказательства примерно следующая. Рассмотрим кольцо, порожденное парами (Икс, V) куда V является гладким векторным расслоением на компактном гладком ориентированном многообразии Икс, с соотношениями, что сумма и произведение кольца на этих образующих задаются дизъюнктным объединением и произведением многообразий (с очевидными операциями на векторных расслоениях), и любой край многообразия с векторным расслоением равен 0. Это аналогично кольцо кобордизмов ориентированных многообразий, за исключением того, что многообразия также имеют векторное расслоение. И топологические, и аналитические индексы интерпретируются как функции от этого кольца до целых чисел. Затем проверяется, что эти две функции на самом деле являются гомоморфизмами колец. Чтобы доказать, что они одинаковы, необходимо только проверить, что они одинаковы на множестве образующих этого кольца. Теория кобордизма Тома дает набор образующих; например, комплексные векторные пространства с тривиальным расслоением вместе с некоторыми расслоениями над четными размерными сферами. Таким образом, теорему об индексе можно доказать, проверив ее на этих особенно простых случаях.

K-теория

Использовано первое опубликованное доказательство Атьи и Сингера K-теория а не кобордизм. Если я есть любое включение компактных многообразий из Икс к Y, они определили операцию "продвижения вперед" я_! на эллиптических операторах Икс эллиптическим операторам Y который сохраняет индекс. Принимая Y быть какой-то сферой, которая Икс встраивается, это сводит теорему об индексе к случаю сфер. Если Y это сфера и Икс какая-то точка встроена в Y, то любой эллиптический оператор на Y изображение под я_! некоторого эллиптического оператора на точке. Это сводит теорему об индексе к случаю точки, где она тривиальна.

Уравнение тепла

Атия, Ботт, и Патоди (1973 ) дал новое доказательство теоремы об индексе с помощью уравнение теплопроводности см. например Берлин, Гетцлер и Вернь (1992). Доказательство также опубликовано в (Мелроуз 1993 ) и (Гилки 1994 ).

Если D - дифференциальный оператор с сопряженным D *, тогда Д * Д и ДД * - самосопряженные операторы, ненулевые собственные значения которых имеют одинаковую кратность. Однако их нулевые собственные подпространства могут иметь разную кратность, поскольку эти кратности являются размерностями ядер D и D *. Следовательно, индекс D дан кем-то

{ displaystyle { textrm {Index}} (D) = dim { rm {Ker}} (D ^ {*}) = { rm {Tr}} (e ^ {- tD ^ {*} D} ) - { rm {Tr}} (e ^ {- tDD ^ {*}})}

для любого положительного т. Правая часть дается следом разности ядер двух операторов тепла. Они имеют асимптотическое разложение для малых положительных т, который можно использовать для оценки предела как т стремится к 0, что дает доказательство теоремы Атьи – Зингера об индексе. Асимптотические разложения для малых т кажутся очень сложными, но теория инвариантов показывает, что есть огромные сокращения между членами, что позволяет явно найти главные члены. Позднее эти сокращения были объяснены с помощью суперсимметрии.

внешняя ссылка

Ссылки по теории

Маццео, Рэйф. «Теорема об индексе Атьи – Сингера: что это такое и почему вам должно быть важно» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 10 октября 2002 г. Презентация в формате pdf.
Войцеховский, М.И.; Шубин, М.А. (2001) [1994], «Формулы индекса», Энциклопедия математики, EMS Press
Вассерманн, Антоний. «Конспект лекций по теореме Атьи – Зингера об индексе». Архивировано из оригинал 29 марта 2017 г.

Ссылки на интервью

Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2005), «Интервью с Майклом Атьей и Айседором Сингером» (PDF), Уведомления AMS, стр. 223–231
Р. Р. Сили и другие (1999) Воспоминания о первых годах теории индекса и псевдодифференциальных операторов - Частичная стенограмма неформальной беседы после обеда во время симпозиума, проведенного в Роскилле, Дания, в сентябре 1998 года.

[1] Индексные теоремы об открытых пространствах

[2] Некоторые замечания о бумаге каллии

[1]

[2]