Эквивариантная алгебраическая K-теория - Equivariant algebraic K-theory

По поводу топологической эквивариантной K-теории см. топологическая K-теория.

В математике эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраическая K-теория связанный с категорией ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ из эквивариантные когерентные пучки на алгебраической схеме Икс с участием действие линейной алгебраической группы гчерез Quillen's Q-конструкция; таким образом, по определению,

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

Особенно, ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$ это Группа Гротендик из ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$. Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах.^[1] В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

Эквивалентно, ${\displaystyle K_{i}^{G}(X)}$ можно определить как ${\displaystyle K_{i}}$ категории когерентных пучков на стек частных ${\displaystyle [X/G]}$.^[2][3] (Следовательно, эквивариантная K-теория является частным случаем K-теория стека.)

Версия Теорема Лефшеца о неподвижной точке выполняется в условиях эквивариантной (алгебраической) K-теории.^[4]

Основные теоремы

Позволять Икс - эквивариантная алгебраическая схема.

Теорема локализации — Учитывая закрытое погружение ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$ эквивариантных алгебраических схем и открытого погружения ${\displaystyle Z-U\hookrightarrow X}$, существует длинная точная последовательность групп

${\displaystyle \cdots \to K_{i}^{G}(Z)\to K_{i}^{G}(X)\to K_{i}^{G}(U)\to K_{i-1}^{G}(Z)\to \cdots }$

Примеры

Одним из фундаментальных примеров эквивариантных групп K-теории являются эквивариантные K-группы ${\displaystyle G}$-эквивариантные когерентные пучки на точках, поэтому ${\displaystyle K_{i}^{G}(*)}$. поскольку ${\displaystyle {\text{Coh}}^{G}(*)}$ эквивалентно категории ${\displaystyle {\text{Rep}}(G)}$ конечномерных представлений ${\displaystyle G}$. Затем группа Гротендика ${\displaystyle {\text{Rep}}(G)}$, обозначенный ${\displaystyle R(G)}$ является ${\displaystyle K_{0}^{G}(*)}$.^[5]

Кольцо тора

Учитывая алгебраический тор ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {G} _{m}^{k}}$ конечномерное представление ${\displaystyle V}$ дается прямой суммой ${\displaystyle 1}$-размерный ${\displaystyle \mathbb {T} }$-модули, называемые веса из ${\displaystyle V}$.^[6] Существует явный изоморфизм между ${\displaystyle K_{\mathbb {T} }}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} [t_{1},\ldots ,t_{k}]}$ дается путем отправки ${\displaystyle [V]}$ связанному с ним персонажу.^[7]

использованная литература

1. Чарльз А. Вейбель, Роберт В. Томасон (1952–1995).
2. Адем, Алехандро; Жуань, Юнбинь (июнь 2003 г.). "К-теория скрученных орбифолдов". Коммуникации по математической физике. 237 (3): 533–556. arXiv:математика / 0107168. Bibcode:2003CMaPh.237..533A. Дои:10.1007 / s00220-003-0849-х. ISSN  0010-3616.
3. Кришна, Амаленду; Рави, Чаранья (2017-08-02). «Алгебраическая K-теория факторных стеков». arXiv:1509.05147 [math.AG ].
4. BFQ 1979 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBFQ1979 (Помогите)
5. Крисс, Нил; Гинзбург, Нил. Теория представлений и комплексная геометрия. С. 243–244.
6. Для ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ есть карта ${\displaystyle f:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$ отправка ${\displaystyle t\mapsto t^{k}}$. поскольку ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\subset \mathbb {A} ^{1}}$ существует индуцированное представление ${\displaystyle {\hat {f}}:\mathbb {G} _{m}\to GL(\mathbb {A} ^{1})}$ веса ${\displaystyle k}$. Увидеть Алгебраический тор для получения дополнительной информации.
7. Окуньков, Андрей (03.01.2017). «Лекции по K-теоретическим вычислениям в перечислительной геометрии». п. 13. arXiv:1512.07363 [math.AG ].

• Н. Крис, В. Гинзбург, Теория представлений и комплексная геометрия, Биркхойзер, 1997.
• Баум, П., Фултон, В., Куарт, Г .: Лефшец Риман Рох для особых многообразий. Acta. Математика. 143, 193–211 (1979)
• Томасон Р.У .: Алгебраическая K-теория действий групповых схем. В: Браудер У. (ред.) Алгебраическая топология и алгебраическая K-теория. (Ann. Math. Stud., Том 113, стр. 539 563), Princeton: Princeton University Press, 1987
• Томасон Р.У .: Теорема Лефшеца – Римана – Роха и формула когерентного следа. Изобретать. Математика. 85, 515–543 (1986)
• Томасон, Р.В., Тробо, Т .: Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий. В: Cartier, P., Illusie, L., Katz, N.M., Laumon, G., Manin, Y., Ribet, K.A. (ред.) Grothendieck Festschrift, vol. III. (Prog. Math. Vol. 88, pp. 247 435) Бостон Базель Берлин: Birkhfiuser 1990
• Томасон Р.В., Une formule de Lefschetz en K-théorie équivariante algébrique, Duke Math. J. 68 (1992), 447–462.

дальнейшее чтение

• Дэн Эдидин, Римана – Роха для стеков Делиня – Мамфорда, 2012