Q-конструкция - Q-construction

В алгебре Quillen с Q-конструкция партнеры точная категория (например, абелева категория ) алгебраическая K-теория. Точнее, учитывая точную категорию C, конструкция создает топологическое пространство ${\displaystyle B^{+}C}$ так что ${\displaystyle \pi _{0}(B^{+}C)}$ это Группа Гротендик из C и когда C - категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом р, за ${\displaystyle i=0,1,2}$, ${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$ это я-я K-группа р в классическом понимании. (Обозначение «+» означает, что конструкция добавляет больше к классифицирующему пространству до н.э.) Один кладет

${\displaystyle K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)}$

и назовите это я-я K-группа C. Точно так же я-я K-группа C с коэффициентами в группе грамм определяется как гомотопическая группа с коэффициентами:

${\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)}$.

Конструкция широко применима и используется для определения алгебраическая K-теория в неклассическом контексте. Например, можно определить эквивариантная алгебраическая K-теория в качестве ${\displaystyle \pi _{*}}$ из ${\displaystyle B^{+}}$ категории эквивариантные пучки по схеме.

Вальдхаузен с S-конструкция обобщает Q-конструкцию в устойчивом смысле; фактически, первое, в котором используется более общий Категория Вальдхаузена, производит спектр вместо пробела. Бинарный комплекс Грейсона также дает конструкцию алгебраической K-теории для точных категорий.^[1] Смотрите также спектр модуля # K-теория для K-теории кольцевой спектр.

Конструкция

Позволять C быть точной категорией; т.е. аддитивная полная подкатегория абелевой категории, замкнутая относительно расширения. Если есть точная последовательность ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ в C, то стрелка от M ′ называется допустимым моно, а стрелка из M называется допустимым эпи.

Позволять КК быть категорией, объекты которой идентичны объектам C и морфизмы из Икс к Y являются классами изоморфизма диаграмм ${\displaystyle X\leftarrow Z\to Y}$ такие, что первая стрелка является допустимым эпи, а вторая допустимым моно и двумя диаграммами изоморфны, если они отличаются только в середине и между ними есть изоморфизм. Состав морфизмов задается откатом.

Определить топологическое пространство ${\displaystyle B^{+}C}$ к ${\displaystyle B^{+}C=\Omega BQC}$ куда ${\displaystyle \Omega }$ это функтор пространства цикла и ${\displaystyle BQC}$ это классификация пространства категории КК (геометрическая реализация нерва). Оказывается, он однозначно определен с точностью до гомотопической эквивалентности (так что обозначение обосновано).

Операции

Каждый гомоморфизм колец ${\displaystyle R\to S}$ побуждает ${\displaystyle B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)}$ и поэтому ${\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)}$ куда ${\displaystyle P(R)}$ - категория конечно порожденных проективных модулей над р. Легко показать, что эта карта (называемая переносом) согласуется с картой Милнора. Введение в алгебраическую K-теорию.^[2] Конструкция также совместима с подвешивание кольца (ср. Грейсон).

Сравнение с классической K-теорией кольца

Теорема о Дэниел Квиллен заявляет, что когда C - категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом р, ${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$ это я-я K-группа р в классическом смысле для ${\displaystyle i=0,1,2}$. Обычное доказательство теоремы (ср. Вайбель 2013 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFWeibel2013 (помощь)) опирается на промежуточную гомотопическую эквивалентность. Если S является симметричной моноидальной категорией, в которой каждый морфизм является изоморфизмом, строится (ср. Грейсон) категорию ${\displaystyle S^{-1}S}$ которое обобщает групповую конструкцию моноида Гротендика. Позволять C - точная категория, в которой каждая точная последовательность разбивает, например, категорию конечно порожденных проективных модулей, и положим ${\displaystyle S=\operatorname {iso} C}$, подкатегория C с тем же классом объектов, но с морфизмами, которые являются изоморфизмами в C. Тогда существует «естественная» гомотопическая эквивалентность:^[3]

${\displaystyle \Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)}$.

Эквивалентность строится следующим образом. Позволять E быть категорией, объектами которой являются короткие точные последовательности в C и морфизмы которых являются классами изоморфизма диаграмм между ними. Позволять ${\displaystyle f:E\to QC}$ - функтор, который отправляет короткую точную последовательность третьему члену последовательности. Обратите внимание на волокно ${\displaystyle f^{-1}(X)}$, которая является подкатегорией, состоит из точных последовательностей, третий член которых равен Икс. Это делает E а категория разложена ${\displaystyle QC}$. Письмо ${\displaystyle S^{-1}f}$ за ${\displaystyle S^{-1}E\to QC}$, существует очевидное (следовательно, естественное) включение ${\displaystyle \Omega BQC}$ в гомотопическое волокно ${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$, что можно показать как гомотопическую эквивалентность. С другой стороны, по Теорема Квиллена B, можно показать, что ${\displaystyle B(S^{-1}S)}$ это гомотопический откат из ${\displaystyle BS^{-1}f}$ вдоль ${\displaystyle *\to BQC}$ и, таким образом, гомотопически эквивалентен ${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$.

Теперь возьмем C быть категорией конечно порожденных проективных модулей над кольцом р и показывает, что ${\displaystyle \pi _{i}B(S^{-1}S)}$ являются ${\displaystyle K_{i}}$ из р в классическом смысле для ${\displaystyle i=0,1,2}$. Прежде всего, по определению, ${\displaystyle \pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)}$. Следующий, ${\displaystyle GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S}$ дает нам:

${\displaystyle BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)}$.

(Здесь, ${\displaystyle BGL(R)}$ является либо классифицирующим пространством категории ${\displaystyle GL(R)}$ или Пространство Эйленберга – Маклейна типа ${\displaystyle K(GL(R),1)}$, что означает одно и то же.) Изображение на самом деле лежит в компоненте идентичности ${\displaystyle B(S^{-1}S)}$ и так получаем:

${\displaystyle f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.}$

Позволять ${\displaystyle S_{n}}$ быть полной подкатегорией S состоящий из модулей, изоморфных ${\displaystyle R^{n}}$ (таким образом, ${\displaystyle BS_{n}}$ компонент связности, содержащий ${\displaystyle R^{n}}$). Позволять ${\displaystyle e\in \pi _{0}(BS)}$ быть компонентом, содержащим р. Тогда по теореме Квиллена

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[\pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].}$

Таким образом, класс слева имеет вид ${\displaystyle xe^{-n}}$. Но ${\displaystyle x\mapsto xe^{m}}$ индуцируется действием ${\displaystyle R^{m}\in S}$. Следовательно,

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}$

С ${\displaystyle B(S^{-1}S)^{0}}$ является ЧАС-группа,

${\displaystyle \pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}$

Осталось посмотреть ${\displaystyle \pi _{2}}$ является ${\displaystyle K_{2}}$. Письмо ${\displaystyle Ff}$ для гомотопического слоя имеем длинную точную последовательность:

${\displaystyle \pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}$

Из теории гомотопии мы знаем, что второй член является центральным; т.е. ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)\to E(R)}$ это центральное расширение. Тогда из следующей леммы следует, что ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$ это универсальное центральное расширение (т.е. ${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$ это Группа Steinberg из р и ядро ${\displaystyle K_{2}(R)}$.)

Лемма — Позволять ${\displaystyle f:X\to Y}$ - непрерывное отображение между связными CW-комплексами. Если ${\displaystyle f_{*}:H_{*}(X,L)\to H_{*}(Y,f^{*}L)}$ является изоморфизмом для любого система местных коэффициентов L на Икс, тогда

${\displaystyle H_{1}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=H_{2}(\pi _{1}(Ff),\mathbb {Z} )=0.}$

Доказательство: гомотопический тип ${\displaystyle Ff}$ не изменится, если мы заменим ж откатом ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ по универсальному покрытию Y ${\displaystyle \to Y}$. Таким образом, мы можем заменить гипотезу той, что Y просто связано и ${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0}$. Теперь Спектральные последовательности Серра за ${\displaystyle Ff\to X\to Y}$ и ${\displaystyle *\to Y\to Y}$ сказать:

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle {}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).}$

Посредством теорема сравнения для спектральных последовательностей, следует, что ${\displaystyle {}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}}$; т.е. ${\displaystyle Ff}$ является ациклический. (По совпадению, перевернув аргумент, можно сказать, что это подразумевает ${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );}$ Таким образом, условие леммы.) Далее, спектральная последовательность для покрытия ${\displaystyle {\widetilde {Ff}}\to Ff}$ с группой ${\displaystyle G=\pi _{1}(Ff)}$ говорит:

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}$

Рассмотрение этой спектральной последовательности дает желаемый результат.

Рекомендации

1. Дэниел Р. Грейсон, Алгебраическая K-теория через бинарные комплексы
2. В. Шринивас 1996, Конец гл. 7. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFV._Srinivas1996 (помощь)
3. Вайбель 2013, Гл. IV. Теорема 7.1. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFWeibel2013 (помощь)

• Дэниел Грейсон, Высшая алгебраическая K-теория II [по Даниэлю Квиллену], 1976
• Шринивас, В. (2008), Алгебраический K-теория, Modern Birkhäuser Classics (переиздание в мягкой обложке 2-го изд. 1996 г.), Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4736-0, Zbl  1125.19300
• Вейбель, Чарльз, K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию