Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. - Hirzebruch–Riemann–Roch theorem - Wikipedia

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.
ПолеАлгебраическая геометрия
Первое доказательствоФридрих Хирцебрух
Первое доказательство в1954
ОбобщенияТеорема Атьи – Зингера об индексе
Теорема Гротендика – Римана – Роха.
ПоследствияТеорема Римана – Роха
Теорема Римана – Роха для поверхностей.

В математика, то Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., названный в честь Фридрих Хирцебрух, Бернхард Риманн, и Густав Рох, является результатом Хирцебруха 1954 г., обобщающим классический Теорема Римана – Роха на Римановы поверхности ко всему сложному алгебраические многообразия высших измерений. Результат проложил путь к Теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха. доказано примерно три года спустя.

Формулировка теоремы Хирцебруха – Римана – Роха.

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха применима к любой голоморфной векторный набор E на компактный комплексное многообразие Икс, чтобы вычислить голоморфная эйлерова характеристика из E в когомологии пучков, а именно знакопеременная сумма

измерений как комплексные векторные пространства.

Теорема Хирцебруха утверждает, что χ (Икс, E) вычислимо в терминах Классы Черна Cj(E) из E, а Полиномы Тодда Тj в классах Черна голоморфных касательный пучок из Икс. Все это лежит в кольцо когомологий из Икс; с помощью фундаментальный класс (или, другими словами, интеграция по Икс) мы можем получить числа из классов в Формула Хирцебруха утверждает, что

взял на себя все соответствующие j (так что 0 ≤ jп), с использованием Черн персонаж ch (E) в когомологиях. Другими словами, скрещенные произведения образуются в кольце когомологий всех степеней совпадения, которые в сумме дают 2п, где "массировать" Cj(E) выполняется формальная манипуляция, устанавливая

и полный класс Черна

Иначе сформулированная теорема дает равенство

куда td (X) это Тодд класс касательного пучка Икс.

Важными частными случаями являются: E это сложный линейный пакет, и когда Икс является алгебраическая поверхность (Формула Нётер). Теорема Римана – Роха Вейля для векторных расслоений на кривых и теорема Римана – Роха для алгебраических поверхностей (см. Ниже) включены в его область применения. Формула также точно выражает расплывчатое представление о том, что Тодд классы в некотором смысле взаимны характеристические классы.

Теорема Римана Роха для кривых

Для кривых теорема Хирцебруха – Римана – Роха по сути является классической Теорема Римана – Роха. Чтобы убедиться в этом, вспомните, что для каждого делитель D на кривой есть обратимая связка O (D) (что соответствует линейному расслоению) такое, что линейная система из D является более или менее пространством секций O (D). Для кривых класс Тодда и характер Черна пучка O (D) всего 1+c1(O (D)), поэтому теорема Хирцебруха – Римана – Роха утверждает, что

(интегрировано Икс).

Но час0(O (D)) просто л(D) размерность линейной системы D, и по Двойственность Серра час1(O (D)) = час0(O (K − D)) = л(K − D) куда K это канонический делитель. Более того, c1(O (D)) интегрировано поверх Икс степень D, и c1(Т(Икс)) интегрировано поверх Икс класс Эйлера 2 - 2грамм кривой Икс, куда грамм это род. Итак, мы получаем классическую теорему Римана Роха

Для векторных пакетов V, характер Черна ранг (V) + c1(V), поэтому мы получаем теорему Вейля Римана-Роха для векторных расслоений над кривыми:

Теорема Римана Роха для поверхностей

Для поверхностей теорема Хирцебруха – Римана – Роха по существу является Теорема Римана – Роха для поверхностей.

в сочетании с формулой Нётер.

Если мы хотим, мы можем использовать двойственность Серра, чтобы выразить час2(O (D)) в качестве час0(O (K − D)), но, в отличие от случая кривых, в общем случае нет простого способа записать час1(O (D)) терм в форме, не содержащей когомологий пучков (хотя на практике он часто исчезает).

Асимптотика Римана-Роха

Позволять D - обильный дивизор Картье на неприводимом проективном многообразии Икс измерения п. потом

В более общем смысле, если любой когерентный пучок на Икс тогда

Смотрите также

Рекомендации

  • Фридрих Хирцебрух,Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN  3-540-58663-6

внешняя ссылка