Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. - Hirzebruch–Riemann–Roch theorem - Wikipedia

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Фридрих Хирцебрух
Первое доказательство в	1954
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема Гротендика – Римана – Роха.
Последствия	Теорема Римана – Роха Теорема Римана – Роха для поверхностей.

В математика, то Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., названный в честь Фридрих Хирцебрух, Бернхард Риманн, и Густав Рох, является результатом Хирцебруха 1954 г., обобщающим классический Теорема Римана – Роха на Римановы поверхности ко всему сложному алгебраические многообразия высших измерений. Результат проложил путь к Теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха. доказано примерно три года спустя.

Формулировка теоремы Хирцебруха – Римана – Роха.

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха применима к любой голоморфной векторный набор E на компактный комплексное многообразие Икс, чтобы вычислить голоморфная эйлерова характеристика из E в когомологии пучков, а именно знакопеременная сумма

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{\dim _{\mathbb {C} }X}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

измерений как комплексные векторные пространства.

Теорема Хирцебруха утверждает, что χ (Икс, E) вычислимо в терминах Классы Черна C_j(E) из E, а Полиномы Тодда Т_j в классах Черна голоморфных касательный пучок из Икс. Все это лежит в кольцо когомологий из Икс; с помощью фундаментальный класс (или, другими словами, интеграция по Икс) мы можем получить числа из классов в ${\displaystyle H^{2n}(X).}$ Формула Хирцебруха утверждает, что

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum \operatorname {ch} _{n-j}(E){\frac {T_{j}}{j!}}}$

взял на себя все соответствующие j (так что 0 ≤ j ≤ п), с использованием Черн персонаж ch (E) в когомологиях. Другими словами, скрещенные произведения образуются в кольце когомологий всех степеней совпадения, которые в сумме дают 2п, где "массировать" C_j(E) выполняется формальная манипуляция, устанавливая

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\sum \exp(x_{i})}$

и полный класс Черна

${\displaystyle C(E)=\sum C_{j}(E)=\prod (1+x_{i}).}$

Иначе сформулированная теорема дает равенство

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

куда td (X) это Тодд класс касательного пучка Икс.

Важными частными случаями являются: E это сложный линейный пакет, и когда Икс является алгебраическая поверхность (Формула Нётер). Теорема Римана – Роха Вейля для векторных расслоений на кривых и теорема Римана – Роха для алгебраических поверхностей (см. Ниже) включены в его область применения. Формула также точно выражает расплывчатое представление о том, что Тодд классы в некотором смысле взаимны характеристические классы.

Теорема Римана Роха для кривых

Для кривых теорема Хирцебруха – Римана – Роха по сути является классической Теорема Римана – Роха. Чтобы убедиться в этом, вспомните, что для каждого делитель D на кривой есть обратимая связка O (D) (что соответствует линейному расслоению) такое, что линейная система из D является более или менее пространством секций O (D). Для кривых класс Тодда ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$ и характер Черна пучка O (D) всего 1+c₁(O (D)), поэтому теорема Хирцебруха – Римана – Роха утверждает, что

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$ (интегрировано Икс).

Но час⁰(O (D)) просто л(D) размерность линейной системы D, и по Двойственность Серра час¹(O (D)) = час⁰(O (K − D)) = л(K − D) куда K это канонический делитель. Более того, c₁(O (D)) интегрировано поверх Икс степень D, и c₁(Т(Икс)) интегрировано поверх Икс класс Эйлера 2 - 2грамм кривой Икс, куда грамм это род. Итак, мы получаем классическую теорему Римана Роха

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

Для векторных пакетов V, характер Черна ранг (V) + c₁(V), поэтому мы получаем теорему Вейля Римана-Роха для векторных расслоений над кривыми:

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank} (V)(1-g).}$

Теорема Римана Роха для поверхностей

Основная статья: Теорема Римана-Роха для поверхностей

Для поверхностей теорема Хирцебруха – Римана – Роха по существу является Теорема Римана – Роха для поверхностей.

${\displaystyle \chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((D.D)-(D.K))/2.}$

в сочетании с формулой Нётер.

Если мы хотим, мы можем использовать двойственность Серра, чтобы выразить час²(O (D)) в качестве час⁰(O (K − D)), но, в отличие от случая кривых, в общем случае нет простого способа записать час¹(O (D)) терм в форме, не содержащей когомологий пучков (хотя на практике он часто исчезает).

Асимптотика Римана-Роха

Позволять D - обильный дивизор Картье на неприводимом проективном многообразии Икс измерения п. потом

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

В более общем смысле, если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ любой когерентный пучок на Икс тогда

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

Смотрите также

• Теорема Гротендика – Римана – Роха. - содержит множество вычислений и примеров
• Полином Гильберта - HRR может использоваться для вычисления полиномов Гильберта

Рекомендации

• Фридрих Хирцебрух,Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN  3-540-58663-6

внешняя ссылка

• Теорема Хирцебруха-Римана-Роха