Кольцо когомологий - Cohomology ring

В математика, конкретно алгебраическая топология, то кольцо когомологий из топологическое пространство Икс это звенеть сформированный из когомология группы Икс вместе с чашка продукта служащая кольцевым умножением. Под когомологиями здесь обычно понимают особые когомологии, но кольцевая структура также присутствует в других теориях, таких как когомологии де Рама. Это также функториальный: для непрерывное отображение пространств получается кольцевой гомоморфизм на кольцах когомологий, что контравариантно.

В частности, учитывая последовательность групп когомологий ЧАС^k(Икс;р) на Икс с коэффициентами в коммутативное кольцо р (обычно р является Z_п, Z, Q, р, или же C) можно определить чашка продукта, который принимает вид

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

Произведение чашки дает умножение на прямая сумма групп когомологий

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Это умножение превращается ЧАС^•(Икс;р) в кольцо. Фактически, это естественно N-градуированное кольцо с неотрицательным целым числом k служащая степенью. Продукт чашки соответствует этой классификации.

Кольцо когомологий есть градуированный коммутативный в том смысле, что стаканчик перемещается до знака, определенного оценкой. В частности, для чистых элементов степени k и ℓ; у нас есть

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Числовым инвариантом, полученным из кольца когомологий, является длина чашки, что означает максимальное количество градуированных элементов степени ≥ 1, которые при умножении дают ненулевой результат. Например, сложное проективное пространство имеет длину чашки, равную его сложное измерение.

Примеры

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$ куда ${\displaystyle |\alpha |=1}$.
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$ куда ${\displaystyle |\alpha |=1}$.
• Посредством Формула Кюннета, кольцо когомологий по модулю 2 декартового произведения п копии ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ кольцо многочленов в п переменные с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$.

Смотрите также

• Квантовая когомология

Рекомендации

• Новиков, С. П. (1996). Топология I, Общий обзор. Springer-Verlag. ISBN  7-03-016673-6.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0.