Символ дифференциального оператора - Symbol of a differential operator

В математика, то символ линейного дифференциального оператора это многочлен представляющий дифференциальный оператор, который получается, грубо говоря, заменой каждого частная производная новой переменной. Символ дифференциального оператора имеет широкое применение в Анализ Фурье. В частности, в этой связи это приводит к понятию псевдодифференциальный оператор. Члены высшего порядка символа, известные как главный символ, почти полностью контролируют качественное поведение решений уравнение в частных производных. Линейный эллиптические уравнения в частных производных можно охарактеризовать как те, у которых главный символ нигде не равен нулю. При изучении гиперболический и параболические уравнения в частных производных, нули главного символа соответствуют характеристики уравнения в частных производных. Следовательно, символ часто является фундаментальным для решения таких уравнений и является одним из основных вычислительных устройств, используемых для изучения их особенностей.

Определение

Операторы в евклидовом пространстве

Позволять п - линейный дифференциальный оператор порядка k на Евклидово пространство р^d. потом п - многочлен от производной D, который в мультииндекс обозначение может быть написано

${displaystyle P=p(x,D)=sum _{|alpha |leq k}a_{alpha }(x)D^{alpha }.}$

В общий символ из п это многочлен п:

${displaystyle p(x,xi )=sum _{|alpha |leq k}a_{alpha }(x)xi ^{alpha }.}$

В ведущий символ, также известный как главный символ, является компонентом высшей степени п :

${displaystyle sigma _{P}(xi )=sum _{|alpha |=k}a_{alpha }xi ^{alpha }}$

и будет иметь значение позже, потому что это единственная часть символа, которая трансформируется в тензор при изменении системы координат.

Символ п появляется естественно в связи с преобразование Фурье следующим образом. Пусть ƒ - Функция Шварца. Тогда обратным преобразованием Фурье

${displaystyle Pf(x)={frac {1}{(2pi )^{d}}}int _{mathbf {R} ^{d}}e^{ixcdot xi }p(x,ixi ){hat {f}}(xi ),dxi .}$

Это экспонаты п как Множитель Фурье. Более общий класс функций п(Икс, ξ), которые удовлетворяют не более чем условиям полиномиального роста по ξ, при которых этот интеграл является правильным, включает псевдодифференциальные операторы.

Векторные пучки

Позволять E и F быть векторные пакеты через закрытый коллектор Икс, и предположим

${displaystyle P:C^{infty }(E) o C^{infty }(F)}$

является дифференциальным оператором порядка ${displaystyle k}$. В местные координаты на Икс, у нас есть

${displaystyle Pu(x)=sum _{|alpha |=k}P^{alpha }(x){frac {partial ^{alpha }u}{partial x^{alpha }}}+{ ext{lower-order terms}}}$

где для каждого мультииндекс α, ${displaystyle P^{alpha }(x):E o F}$ это карта пакета, симметричная по индексам α.

В k^th порядковые коэффициенты п преобразовать как симметричный тензор

${displaystyle sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)otimes E o F}$

от тензорное произведение из k^th симметричная мощность из котангенсный пучок из Икс с E к F. Этот симметричный тензор известен как главный символ (или просто символ) из п.

Система координат Икс^я допускает локальную тривиализацию кокасательного расслоения координатными дифференциалами dИкс^я, определяющие координаты волокна ξ_я. В плане основы каркасов е_μ, ж_ν из E и Fсоответственно дифференциальный оператор п разлагается на компоненты

${displaystyle (Pu)_{u }=sum _{mu }P_{u mu }u_{mu }}$

по каждому разделу ты из E. Здесь п_νμ - скалярный дифференциальный оператор, определяемый формулой

${displaystyle P_{u mu }=sum _{alpha }P_{u mu }^{alpha }{frac {partial }{partial x^{alpha }}}.}$

С этой тривиализацией главный символ теперь может быть записан

${displaystyle (sigma _{P}(xi )u)_{u }=sum _{|alpha |=k}sum _{mu }P_{u mu }^{alpha }(x)xi _{alpha }u^{mu }.}$

В котангенсном пространстве над неподвижной точкой Икс из Икс, символ ${displaystyle sigma _{P}}$ определяет однородный многочлен степени k в ${displaystyle T_{x}^{*}X}$ со значениями в ${displaystyle operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$.

Дифференциальный оператор ${displaystyle P}$ является эллиптический если его символ обратимый; то есть для каждого ненулевого ${displaystyle heta in T^{*}X}$ карта связки ${displaystyle sigma _{P}( heta ,dots , heta )}$ обратимо. На компактный коллектор, из эллиптической теории следует, что п это Фредгольмов оператор: имеет конечномерную ядро и коядро.

Смотрите также

• Множитель (анализ Фурье)
• Теорема Атьи – Зингера об индексе (раздел о символах оператора)

Рекомендации

• Фрид, Дэниел С., Геометрия операторов Дирака, п. 8
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  3-540-12104-8, Г-Н  0717035.
• Уэллс, Р. (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0.