Осциллирующий интегральный оператор - Oscillatory integral operator - Wikipedia

В математика, в области гармонический анализ, осциллирующий интегральный оператор является интегральный оператор формы

${\displaystyle T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbf {R} ^{m},\quad y\in \mathbf {R} ^{n},}$

где функция S (х, у) называется фаза оператора и функции а (х, у) называется символ оператора. λ - параметр. Часто считают S (х, у) быть реальными и гладкими, и а (х, у) гладкий и компактно поддерживается. Обычно интересуется поведением Т_λ для больших значений λ.

Колебательные интегральные операторы часто встречаются во многих областях математики (анализ, уравнения в частных производных, интегральная геометрия, теория чисел ) и в физике. Свойства осциллирующих интегральных операторов изучались Элиас Штайн и его школа.^[1]

Теорема Хёрмандера

Следующая оценка L² → L² действие осциллирующих интегральных операторов (или L² → L² норма оператора ) был получен Ларс Хёрмандер в его статье о Интегральные операторы Фурье:^[2]

Предположить, что х, у ∈ р^п, п ≥ 1. Пусть S (х, у) быть действительным и гладким, и пусть а (х, у) быть гладким и компактно поддерживается. Если ${\displaystyle \mathop {\rm {det}} _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0}$ везде при поддержке а (х, у), то существует постоянная C такой, что Т_λ, который изначально определен на гладкие функции, расширяет к непрерывный оператор из L²(р^п) к L²(р^п), с норма ограничен ${\displaystyle C\lambda ^{-n/2}}$, для любого λ ≥ 1:

${\displaystyle ||T_{\lambda }||_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}.}$

Рекомендации

1. Элиас Штайн, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы. Издательство Принстонского университета, 1993. ISBN  0-691-03216-5
2. Л. Хёрмандер Интегральные операторы Фурье, Acta Math. 127 (1971), 79–183. DOI 10.1007 / BF02392052, https://doi.org/10.1007%2FBF02392052