Дифференциальная алгебра - Differential algebra

Эта статья про алгебры с дифференцировками. Для (ко) цепного комплекса с (ко) граничным отображением см. дифференциальная градуированная алгебра.

В математика, кольца дифференциала, дифференциальные поля, и дифференциальные алгебры находятся кольца, поля, и алгебры оснащенный конечным числом производные, которые унарный функции, которые линейный и удовлетворить Правило произведения Лейбница. Естественным примером дифференциального поля является поле рациональные функции в одной переменной по сложные числа, ${\displaystyle \mathbb {C} (t)}$, где вывод есть дифференцирование пот.

Дифференциальная алгебра относится также к области математики, состоящей в изучении этих алгебраических объектов и их использовании для алгебраического исследования дифференциальных уравнений. Дифференциальная алгебра была введена Джозеф Ритт в 1950 г.^[1]

Дифференциальное кольцо

А дифференциальное кольцо кольцо р оснащен одним или несколькими производные, которые гомоморфизмы из аддитивные группы

${\displaystyle \partial \colon R\to R\,}$

такое, что каждое дифференцирование ∂ удовлетворяет Правило произведения Лейбница

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),\,}$

для каждого ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$. Обратите внимание, что кольцо может быть некоммутативным, поэтому несколько стандартное d (ху) = Иксdу + уdИкс форма правила продукта в коммутативных настройках может быть ложной. Если ${\displaystyle M:R\times R\to R}$ умножение на кольце, правило произведения - тождество

${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \times \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \times \partial ).}$

куда ${\displaystyle f\times g}$ означает функцию, которая отображает пару ${\displaystyle (x,y)}$ к паре ${\displaystyle (f(x),g(y))}$.

Дифференциальное поле

Дифференциальное поле - это коммутативное поле K оборудована отводами.

Известная формула дифференцирования дробей

${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {\partial (u)\,v-u\,\partial (v)}{v^{2}}}}$

следует из правила произведения. Действительно, мы должны иметь

${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\times v\right)=\partial (u)}$

Тогда по правилу произведения мы имеем

${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)\,v+{\frac {u}{v}}\,\partial (v)=\partial (u)}$

Решение относительно ${\displaystyle \partial (u/v)}$, получаем искомое тождество.

Если K является дифференциальным полем, то поле констант из K является ${\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}.}$

Дифференциальная алгебра над полем K это K-алгебра А где вывод (я) коммутирует со скалярным умножением. То есть для всех ${\displaystyle k\in K}$ и ${\displaystyle x\in A}$ надо

${\displaystyle \partial (kx)=k\partial x}$

Если ${\displaystyle \eta \colon K\to Z(A)}$ это кольцевой гомоморфизм к центр определяющего скалярное умножение на алгебре, надо

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial )}$

Как и выше, вывод должен подчиняться правилу Лейбница по умножению алгебры и должен быть линейным по сложению. Таким образом, для всех ${\displaystyle a,b\in K}$ и ${\displaystyle x,y\in A}$ надо

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$

и

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.}$

Вывод на алгебре Ли

Вывод на Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ линейная карта ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ удовлетворяющие правилу Лейбница:

${\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]}$

Для любого ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}}$, объявление (а) является выводом на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, что следует из Личность Якоби. Любой такой вывод называется внутреннее происхождение. Этот вывод распространяется на универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.

Примеры

Если А является единый, то ∂ (1) = 0, поскольку ∂ (1) = ∂ (1 × 1) = ∂ (1) + ∂ (1). Например, в дифференциальном поле нулевой характеристики ${\displaystyle K}$, рациональные числа всегда являются подполем поля констант ${\displaystyle K}$.

Любое кольцо является дифференциальным кольцом относительно тривиального дифференцирования, которое переводит любой элемент кольца в ноль.

Поле Q(т) имеет уникальную структуру как дифференциальное поле, определяемое положением ∂ (т) = 1: аксиомы поля вместе с аксиомами для выводов гарантируют, что вывод является дифференцированием относительно т. Например, в силу коммутативности умножения и закона Лейбница ∂ (ты²) = ты ∂(ты) + ∂(ты)ты = 2ты∂(ты).

Дифференциальное поле Q(т) не имеет решения дифференциального уравнения

${\displaystyle \partial (u)=u}$

но расширяется до большего дифференциального поля, включая функцию е^т которое действительно имеет решение этого уравнения. Дифференциальное поле с решениями всех систем дифференциальных уравнений называется дифференциально замкнутое поле. Такие поля существуют, хотя они не появляются как естественные алгебраические или геометрические объекты. Все дифференциальные поля (ограниченной мощности) вкладываются в большое дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля являются объектами изучения в дифференциальная теория Галуа.

Встречающиеся в природе примеры производных: частные производные, Производные Ли, то Производная Пинчерле, а коммутатор по отношению к элементу алгебра.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальные операторы на них.

Это набор формальных бесконечных сумм

${\displaystyle \left\{\sum _{n\ll \infty }r_{n}\xi ^{n}\mid r_{n}\in R\right\},}$

куда ${\displaystyle n\ll \infty }$ означает, что сумма вычисляется для всех целых чисел, не превышающих фиксированное (конечное) значение.

Этот набор представляет собой кольцо с умножением, определяемым линейным расширением следующей формулы для «мономов»:

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{\infty }r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k},}$

куда ${\displaystyle \textstyle {m \choose k}={\frac {m(m-1)\dots (m-k+1}{k!}}}$ это биномиальный коэффициент. (Если ${\displaystyle m>0,}$ сумма конечна, так как члены с ${\displaystyle k>m}$ все равны нулю.) В частности,

${\displaystyle \xi ^{-1}s=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(\partial ^{k}s)\xi ^{-1-k}.}$

за р = 1, м = –1, и п = 0, и используя идентификатор${\displaystyle \textstyle {-1 \choose k}=(-1)^{k}}$

Смотрите также

• Дифференциальная теория Галуа
• Kähler дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• А D-модуль представляет собой алгебраическую структуру, на которой действуют несколько дифференциальных операторов.
• А дифференциальная градуированная алгебра является дифференциальной алгеброй с дополнительной градуировкой.
• Арифметическая производная
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Алгебра разностей
• Дифференциально-алгебраическая геометрия
• Теория Пикара – Вессио
• Харди поле

Рекомендации

1. Ритт, Джозеф Фелс (1950). Дифференциальная алгебра. Публикации коллоквиума AMS. 33. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4638-4.

• Буйум, Александру (1994). Дифференциальная алгебра и диофантова геометрия. Германн. ISBN  978-2-7056-6226-4.
• Каплански, Ирвинг (1976). Введение в дифференциальную алгебру (2-е изд.). Германн. ISBN  9782705612511.
• Колчин, Эллис (1973). Дифференциальная алгебра и алгебраические группы. Академическая пресса. ISBN  978-0-08-087369-5.
• Маркер, Дэвид (2017) [1996]. «Модельная теория дифференциальных полей». В Маркер, Дэвид; Мессмер, Маргит; Пиллэй, Ананд (ред.). Модельная теория полей. Конспект лекций по логике. 5. Издательство Кембриджского университета. С. 38–113. ISBN  978-1-107-16807-7. В качестве PDF
• Магид, Энди Р. (1994). Лекции по дифференциальной теории Галуа. Цикл лекций в университете. 7. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-7004-4.

внешняя ссылка

• Домашняя страница Дэвида Маркера имеет несколько онлайн-обзоров, посвященных дифференциальным полям.