Арифметическая производная - Arithmetic derivative

В теория чисел, то Арифметическая производная Лагариаса, или же числовая производная, - функция, определенная для целые числа, на основе простые множители, по аналогии с правило продукта для производная функции что используется в математический анализ.

Существует много версий «арифметических производных», в том числе обсуждаемая в этой статье (арифметическая производная Лагариаса), например арифметическая производная Ихары и арифметическая производная Буйума.

Ранняя история

Арифметическая производная была введена испанским математиком Хосе Мингот Шелли в 1911 году.^[1][2] Арифметическая производная также появилась в 1950 году. Конкурс Патнэма.^[3]

Определение

За натуральные числа ${displaystyle n}$ арифметическая производная ${displaystyle D(n)}$^{[примечание 1]} определяется следующим образом:

• ${displaystyle D(p);=;1}$ для любого прайма ${displaystyle p}$.
• ${displaystyle D(pq);=;D(p)q,+,pD(q)}$ для любого ${displaystyle p{ extrm {,}},q;in ;mathbb {N} }$ (Правило Лейбница ).

Расширения за пределами натуральных чисел

Эдвард Дж. Барбо распространил его на все целые числа, доказав, что ${displaystyle D(-x);=;-D(x)}$ однозначно определяет производную по целым числам. Барбо также расширил его до рациональных чисел, показывая, что знакомые правило частного дает хорошо определенную производную на ${displaystyle mathbb {Q} }$:

${displaystyle Dleft({frac {p}{q}}ight)={frac {D(p)q-pD(q)}{q^{2}}} .}$^[4][5]

Виктор Уфнаровский и Бо Аландер расширил его до определенных иррациональных значений. В этих расширениях по-прежнему применяется приведенная выше формула, но показатели простых чисел ${displaystyle e_{i}}$ могут быть произвольными рациональными числами, что позволяет использовать такие выражения, как ${displaystyle D({sqrt {3}})}$ быть вычисленным. ^[6]

Арифметическая производная также может быть расширена на любую уникальная область факторизации,^[6] такой как Гауссовские целые числа и Целые числа Эйзенштейна, и связанные с ним поле дробей. Если УФО является кольцо многочленов, то арифметическая производная такая же, как происхождение над указанным кольцом многочленов. Например, обычный производная - арифметическая производная для колец одномерный настоящий и сложный многочлен и рациональные функции, что можно доказать с помощью основная теорема алгебры.

Арифметическая производная также была расширена на кольцо целых чисел по модулю n.^[7]

Элементарные свойства

Правило Лейбница означает, что ${displaystyle D(0)=0}$ (брать ${displaystyle p=q=0}$) и ${displaystyle D(1)=0}$ (брать ${displaystyle p=q=1}$).

В правило власти также справедливо для арифметической производной. Для любых целых чисел п и п ≥ 0:

${displaystyle D(p^{n})=np^{n-1}D(p).}$

Это позволяет вычислить производную от простого факторизации целого числа, ${displaystyle x=prod _{i=1}^{omega (x)}{p_{i}}^{v_{p_{i}}(x)}}$:

${displaystyle D(x)=sum _{i=1}^{omega (x)}left[v_{p_{i}}(x)left(prod _{j=1}^{i-1}{p_{j}}^{v_{p_{j}}(x)}ight)p_{i}^{v_{p_{i}}-1}left(prod _{j=i+1}^{omega (x)}{p_{j}}^{v_{p_{j}}(x)}ight)ight]=sum _{i=1}^{omega (x)}{frac {v_{p_{i}}(x)}{p_{i}}}x=sum _{stackrel {pmid x}{p{ ext{ prime}}}}{frac {v_{p}(x)}{p}}x}$

куда ${displaystyle omega (x)}$, а основная функция омега, - количество различных простых множителей в ${displaystyle x}$, и ${displaystyle v_{p}(x)}$ это p-адическая оценка из ${displaystyle x}$.

Например:

${displaystyle D(60)=D(2^{2}cdot 3cdot 5)=left({frac {2}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}ight)cdot 60=92,}$

или же

${displaystyle D(81)=D(3^{4})=4cdot 3^{3}cdot D(3)=4cdot 27cdot 1=108.}$

Последовательность числовых производных для k = 0, 1, 2, ... начинается (последовательность A003415 в OEIS ):

${displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,ldots }$

Связанные функции

В логарифмическая производная ${displaystyle operatorname {ld} (x)={frac {D(x)}{x}}=sum _{stackrel {pmid x}{p{ ext{ prime}}}}{frac {v_{p}(x)}{p}}}$ это полностью аддитивная функция: ${displaystyle operatorname {ld} (xcdot y)=operatorname {ld} (x)+operatorname {ld} (y).}$

Неравенства и границы

Э. Дж. Барбо исследовал границы арифметической производной.^[8] Он обнаружил, что

${displaystyle D(n)leq {frac {nlog _{2}n}{2}}}$

и

${displaystyle D(n)geq Omega (n)n^{frac {Omega (n)-1}{Omega (n)}}}$

куда ${displaystyle Omega (n)}$, а основная функция омега, - количество простых множителей в ${displaystyle n}$В обеих приведенных выше границах равенство всегда имеет место, когда ${displaystyle n}$ идеальная степень двойки, то есть ${displaystyle n=2^{m}}$ для некоторых ${displaystyle m}$.

Даль, Олссон и Лойко обнаружили, что арифметическая производная натуральных чисел ограничена^[9]

${displaystyle D(n)leq {frac {nlog _{p}n}{p}}}$

куда ${displaystyle p}$ наименьшее простое число в ${displaystyle n}$ и равенство выполняется, когда ${displaystyle n}$ это сила ${displaystyle p}$.

Александр Лойко, Йонас Олссон и Никлас Даль обнаружили, что невозможно найти аналогичные оценки для арифметической производной, расширенной до рациональных чисел, доказав, что между любыми двумя рациональными числами существуют другие рациональные числа с произвольными большими или малыми производными.

Порядок среднего

У нас есть

${displaystyle sum _{nleq x}{frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(log xlog log x)}$

и

${displaystyle sum _{nleq x}D(n)=(1/2)T_{0}x^{2}+O(x^{1+delta })}$

для любого δ > 0, где

${displaystyle T_{0}=sum _{p}{frac {1}{p(p-1)}}.}$

Соответствие теории чисел

Виктор Уфнаровский и Бо Аландер подробно рассказали о связи функции с известными теоретико-числовыми гипотезами, такими как гипотеза о простых близнецах, гипотеза о простых тройках и Гипотеза Гольдбаха. Например, гипотеза Гольдбаха подразумевает, что для каждого ${displaystyle k>1}$ существование ${displaystyle n}$ так что ${displaystyle D(n)=2k}$. Гипотеза о простых числах-близнецах означала бы, что существует бесконечно много ${displaystyle k}$ для которого ${displaystyle D^{2}(k)=1}$.^[6]

Смотрите также

• Арифметическая функция
• Вывод (дифференциальная алгебра)
• p-вывод

Примечания

1. В этой статье мы используем Оливер Хевисайд обозначение ${displaystyle D(n)}$ для арифметической производной от ${displaystyle n}$. Возможны различные другие обозначения, например ${displaystyle n^{prime }}$; доступно полное обсуждение здесь для общих дифференциальных операторов, одной из которых может считаться арифметическая производная. Обозначения Хевисайда используются здесь, потому что они подчеркивают тот факт, что арифметическая производная является функция над целыми числами и лучше поддается обозначениям итерация функции ${displaystyle D^{k}}$ для арифметических производных второго и высшего порядка.

Рекомендации

1. Шелли, Д. Дж. М. (1911). "Una cuestión de la teoria de los numeros". Asociation Esp. Гранада: 1–12.
2. Лава, Паоло Пьетро; Бальзаротти, Джорджио. La Derivata Aritmetica: Alla scoperta di un nuovo Approccio alla teoria dei numeri.
3. Скоулз, Джон. "10-е Путнам 1950".
4. Барбо, Эдвард. «Замечания об арифметической производной». Канадский математический бюллетень. 4 (2): 117-122. Дои:10.4153 / CMB-1961-013-0.
5. Барбо, Эдвард (апрель 1973). "Проблема". Канад. Математика. Заметки Конгресса. 5 (8): 6-7.
6. Уфнаровский Виктор; Аландер, Бо (2003). «Как отличить число» (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 6 (3).
7. Кребс, Майк; Эммонс, Калеб; Шахин, Энтони (ноябрь 2009 г.). «Как отличить целое число по модулю n». Математический журнал колледжа. 40 (5): 345–353. Дои:10.4169 / 074683409X475661.
8. Барбо, Э.Дж. (1961). Замечания об арифметической производной. URL: https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/1FD7F09AD3972692FC97BB23A21D0BD8/S0008439500050773a.pdf/remarks_on_an_arithmetic_derivative.pdf
9. Даль, Н., Олссон, Дж., Лойко, А. (2011). Исследования свойств арифметической производной. На странице 4. URL: https://arxiv.org/pdf/1108.4762.pdf

• Барбо, Э. Дж. (1961). «Замечания об арифметической производной». Канадский математический бюллетень. 4: 117–122. Дои:10.4153 / CMB-1961-013-0. Zbl  0101.03702.
• Уфнаровский Виктор; Аландер, Бо (2003). «Как отличить число». Журнал целочисленных последовательностей. 6. Статья 03.3.4. ISSN  1530-7638. Zbl  1142.11305.
• Арифметическая производная, Планета Математика, доступ осуществлен в 04:15 9 апреля 2008 г. (UTC).
• Л. Вестрик (2003). Исследования числовой производной.
• Петерсон, И. Math Trek: определение структуры чисел.
• Останься, Майкл (2005). «Обобщенные числовые производные». Журнал целочисленных последовательностей. 8. Статья 05.1.4. arXiv:математика / 0508364. ISSN  1530-7638. Zbl  1065.05019.
• Даль Н., Олссон Дж., Лойко А., Исследование свойств арифметической производной.
• Бальзаротти, Джорджио; Лава, Паоло Пьетро (2013). La Derivata aritmetica. Alla scoperta di un nuovo Approccio alla teoria dei numeri. Милан: Хёпли. ISBN  978-88-203-5864-8.
• Ковиц, Юрий (2012). «Арифметическая производная и первообразная» (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 15 (3.8).
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К .; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Асимптотика частных сумм ряда Дирихле арифметической производной». Математические коммуникации. 25.
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К .; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Арифметические субпроизводные: p-адическая прерывность и непрерывность». Журнал целочисленных последовательностей. 23. Статья 20.7.3. ISSN  1530-7638.