Поле дробей - Field of fractions

"Частное поле" перенаправляется сюда. Не следует путать с Факторное кольцо.

В абстрактная алгебра, то поле дробей из область целостности самый маленький поле в котором это может быть встроенный.

Элементы поля дробей области целостности ${displaystyle R}$ - классы эквивалентности (см. конструкцию ниже), записанные как

${displaystyle {frac {a}{b}}}$

с

${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ в ${displaystyle R}$ и ${displaystyle beq 0}$.

Поле дробей ${displaystyle R}$ иногда обозначается как ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ или же ${displaystyle operatorname {Quot} (R)}$.

Математики называют эту конструкцию полем дробей, поле дроби, поле частных, или же поле частного. Все четыре используются часто. Выражение «поле частного» иногда может быть перепутано с коэффициентом кольца по идеалу, что является совершенно другим понятием.

Примеры

• Поле дробей кольца целые числа это область рациональные, ${displaystyle mathbb {Q} =operatorname {Frac} (mathbb {Z} )}$.
• Позволять ${displaystyle R:={a+bmathrm {i} mid a,bin mathbb {Z} }}$ быть кольцом Гауссовские целые числа. потом ${displaystyle operatorname {Frac} (R)={c+dmathrm {i} mid c,din mathbb {Q} }}$, Поле Гауссовские рациональные числа.
• Поле дробей поля канонически изоморфный к самому полю.
• Учитывая поле ${displaystyle K}$, поле дробей кольцо многочленов в одном неопределенном ${displaystyle K[X]}$ (которая является областью целостности), называется поле рациональных функций или же поле рациональных дробей^[1][2][3] и обозначается ${displaystyle K(X)}$.

Строительство

Позволять ${displaystyle R}$ быть любым область целостности.

За ${displaystyle n,din R}$ с ${displaystyle deq 0}$,

то дробная часть

${displaystyle {frac {n}{d}}}$

обозначает класс эквивалентности пар

${displaystyle (n,d)}$,

куда ${displaystyle (n,d)}$ эквивалентно ${displaystyle (m,b)}$ если и только если ${displaystyle nb=md}$.

(Определение эквивалентности моделируется на свойстве рациональных чисел, что ${displaystyle {frac {n}{d}}={frac {m}{b}}}$ если и только если ${displaystyle nb=md}$.)

В поле дробей ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ определяется как множество всех таких дробей ${displaystyle {frac {n}{d}}}$.

Сумма ${displaystyle {frac {n}{d}}}$ и ${displaystyle {frac {m}{b}}}$ определяется как

${displaystyle {frac {nb+md}{db}}}$,

и продукт ${displaystyle {frac {n}{d}}}$ и ${displaystyle {frac {m}{b}}}$ определяется как

${displaystyle {frac {nm}{db}}}$

(проверяется, правильно ли они определены).

Вложение ${displaystyle R}$ в ${displaystyle operatorname {Frac} (R)}$ отображает каждый ${displaystyle n}$ в ${displaystyle R}$ во фракцию ${displaystyle {frac {en}{e}}}$ для любого ненулевого ${displaystyle ein R}$ (класс эквивалентности не зависит от выбора ${displaystyle e}$). Это по образцу идентичности ${displaystyle {frac {n}{1}}=n}$.

Поле дробей ${displaystyle R}$ характеризуется следующими универсальная собственность:

если ${displaystyle h:Rightarrow F}$ является инъективный кольцевой гомоморфизм из ${displaystyle R}$ в поле ${displaystyle F}$,

то существует единственный кольцевой гомоморфизм ${displaystyle g:operatorname {Frac} (R)ightarrow F}$ который расширяет ${displaystyle h}$.

Существует категоричный интерпретация этой конструкции. Позволять ${displaystyle C}$ - категория областей целостности и инъективных отображений колец. В функтор из ${displaystyle C}$ в категорию полей, которая переводит каждую область целостности в ее поле дробей, а каждый гомоморфизм в индуцированное отображение полей (которое существует благодаря универсальному свойству) является левый смежный из функтор включения из разряда полей в ${displaystyle C}$. Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающая подкатегория из ${displaystyle C}$.

А мультипликативная идентичность не требуется для роли области целостности; эту конструкцию можно применить к любому ненулевой коммутативный rng ${displaystyle R}$ без ненулевого делители нуля. Вложение дается формулой ${displaystyle rmapsto {frac {rs}{s}}}$ для любого ненулевого ${displaystyle sin R}$.^[4]

Обобщения

Локализация

Основная статья: Локализация (коммутативная алгебра)

Для любого коммутативное кольцо ${displaystyle R}$ и любой мультипликативный набор ${displaystyle S}$ в ${displaystyle R}$,

то локализация ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ это коммутативное кольцо состоящий из фракции

${displaystyle {frac {r}{s}}}$

с

${displaystyle rin R}$ и ${displaystyle sin S}$,

где сейчас ${displaystyle (r,s)}$ эквивалентно ${displaystyle (r',s')}$ тогда и только тогда, когда существует ${displaystyle tin S}$ такой, что ${displaystyle t(rs'-r's)=0}$.

Следует отметить два особых случая этого:

• Если ${displaystyle S}$ является дополнением к главный идеал ${displaystyle P}$, тогда ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ также обозначается ${displaystyle R_{P}}$.

Когда ${displaystyle R}$ является область целостности и ${displaystyle P}$ - нулевой идеал, ${displaystyle R_{P}}$ это поле дробей ${displaystyle R}$.

• Если ${displaystyle S}$ это набор не-делители нуля в ${displaystyle R}$, тогда ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ называется кольцо полного частного.

В кольцо полного частного из область целостности это его поле дробей, но кольцо полного частного определяется для любого коммутативное кольцо.

Обратите внимание, что это разрешено для ${displaystyle S}$ содержать 0, но в этом случае ${displaystyle S}$^{${displaystyle -1}$}${displaystyle R}$ будет тривиальное кольцо.

Полуполе фракций

В полуполе дробей из коммутативное полукольцо без делители нуля самый маленький полуполе в котором это может быть встроенный.

Элементы полуполя частных коммутативной полукольцо ${displaystyle R}$ находятся классы эквивалентности написано как

${displaystyle {frac {a}{b}}}$

с

${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ в ${displaystyle R}$.

Смотрите также

• Состояние руды; это условие, которое необходимо учитывать в некоммутативном случае.
• Проективная прямая над кольцом; альтернативная структура, не ограниченная целостными областями.

Рекомендации

1. Эрнест Борисович Винберг (2003). Курс алгебры. п. 131.
2. Стефан Фолдс (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики. Джон Вили и сыновья. п.128.
3. Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра. п. 124.
4. Хангерфорд, Томас В. (1980). Алгебра (Пересмотренное 3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 142–144. ISBN  3540905189.