Светоотражающая подкатегория - Reflective subcategory - Wikipedia

В математика, а полная подкатегория А из категория B как говорят отражающий в B когда функтор включения из А к B имеет левый смежный.^[1]:91 Это сопряженное соединение иногда называют отражатель, или же локализация.^[2] Вдвойне, А как говорят рефлексивный в B когда функтор включения имеет правый смежный.

Неформально рефлектор действует как своего рода завершающая операция. Он добавляет любые «недостающие» части структуры таким образом, что ее повторное отражение больше не имеет никакого эффекта.

Определение

Полная подкатегория А категории B как говорят отражающий в B если для каждого B-объект B существует А-объект ${\displaystyle A_{B}}$ и B-морфизм ${\displaystyle r_{B}\colon B\to A_{B}}$ так что для каждого B-морфизм ${\displaystyle f\colon B\to A}$ для А-объект ${\displaystyle A}$ существует уникальный А-морфизм ${\displaystyle {\overline {f}}\colon A_{B}\to A}$ с ${\displaystyle {\overline {f}}\circ r_{B}=f}$.

Пара ${\displaystyle (A_{B},r_{B})}$ называется А-отражение из B. Морфизм ${\displaystyle r_{B}}$ называется Стрелка-отражение. (Хотя часто для краткости мы говорим о ${\displaystyle A_{B}}$ только как А-отражение B).

Это равносильно утверждению, что функтор вложения ${\displaystyle E\colon \mathbf {A} \hookrightarrow \mathbf {B} }$ является правым сопряженным. Левый сопряженный функтор ${\displaystyle R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {A} }$ называется отражатель. Карта ${\displaystyle r_{B}}$ это единица измерения этого пристройки.

Рефлектор назначает ${\displaystyle B}$ то А-объект ${\displaystyle A_{B}}$ и ${\displaystyle Rf}$ для B-морфизм ${\displaystyle f}$ определяется схема коммутации

Я упал А-отражающие стрелки (экстремальные) эпиморфизмы, то подкатегория А как говорят (экстремальный) эпирефлективный. Точно так же двулучепреломляющий если все стрелки отражения биморфизмы.

Все эти понятия являются частным случаем общего обобщения:${\displaystyle E}$-светоотражающая подкатегория, куда ${\displaystyle E}$ это учебный класс морфизмов.

В ${\displaystyle E}$-отражающий корпус класса А объектов определяется как наименьший ${\displaystyle E}$-отражающая подкатегория, содержащая А. Таким образом, мы можем говорить о светоотражающем корпусе, эпирафлексивном корпусе, экстремальном эпирафлексивном корпусе и т. Д.

An подкатегория антибликовых это полная подкатегория А так что единственные объекты B которые имеют А-отражающие стрелки - это те, которые уже в А.^{[нужна цитата ]}

Двойной К вышеупомянутым понятиям относятся корефлексия, корефлексивная стрелка, (моно) корефлективная подкатегория, корефлексивная оболочка, антикорпоральная подкатегория.

Примеры

Алгебра

• В категория абелевых групп Ab является рефлексивной подкатегорией категория групп, Grp. Отражатель - это функтор, который отправляет каждую группу в ее абелианизация. В свою очередь, категория групп является рефлексивной подкатегорией категории групп. инверсные полугруппы.^[3]
• Точно так же категория коммутативные ассоциативные алгебры является рефлексивной подкатегорией всех ассоциативных алгебр, где рефлектор частное из коммутатора идеальный. Это используется при построении симметрическая алгебра от тензорная алгебра.
• Соответственно, категория антикоммутативный ассоциативные алгебры - это рефлексивная подкатегория всех ассоциативных алгебр, где рефлектор факторизуется по антикоммутаторному идеалу. Это используется при построении внешняя алгебра из тензорной алгебры.
• Категория поля является рефлексивной подкатегорией категории целостные области (с инъективный гомоморфизмы колец как морфизмы). Отражатель - это функтор, который отправляет каждую область целостности в ее поле дробей.
• Категория абелевых торсионные группы является корефлективной подкатегорией категории абелевых групп. Coreflector - это функтор, отправляющий каждую группу в ее торсионная подгруппа.
• Категории элементарные абелевы группы, абелева п-группы, и п-группы - все рефлексивные подкатегории категории групп, а ядра карты отражения - важные объекты исследования; видеть теорема о фокальной подгруппе.
• Категория групп - это coотражающая подкатегория категории моноиды: правый сопряженный отображает моноид в его группа единиц.^[4]

Топология

• Категория Колмогоровские пространства (Т₀ пространства) является рефлексивной подкатегорией Вершина, то категория топологических пространств, а Колмогоровский фактор это отражатель.
• Категория полностью регулярные пространства CReg является рефлексивной подкатегорией Вершина. Факторы Колмогорова показывают, что подкатегория Тихоновские пространства также является отражающим.
• Категория всех компактный Хаусдорфовы пространства является рефлексивной подкатегорией категории всех тихоновских пространств (и категории всех топологических пространств^[2]:140). Отражатель задается Каменно-чешская компактификация.
• Категория всех полные метрические пространства с равномерно непрерывные отображения является рефлексивной подкатегорией категория метрических пространств. Отражатель - это завершение метрического пространства на объектах и ​​расширение по плотности на стрелках.^[1]:90

Функциональный анализ

• Категория Банаховы пространства является рефлексивной подкатегорией категории нормированные пространства и ограниченные линейные операторы. Рефлектор - это функтор завершения нормы.

Теория категорий

• Для любого Сайт Гротендика (C, J), топос из снопы на (C, J) является рефлексивной подкатегорией топоса предварительные пучки на C, со специальным дополнительным свойством, что функтор отражателя осталось точно. Отражатель - это функтор связки а : Presh (C) → Ш (C, J), и присоединенная пара (а, я) является важным примером геометрический морфизм в теории топосов.

Характеристики

• Компоненты графство находятся изоморфизмы.^[2]:140[1]
• Если D является рефлексивной подкатегорией C, то функтор включения D → C создает все пределы которые присутствуют в C.^[2]:141
• В рефлексивной подкатегории есть все копределы которые присутствуют в категории эмбиента.^[2]:141
• В монада индуцированный присоединением отражателя / локализации идемпотентен.^[2]:158

Примечания

1. Мак-Лейн, Сондерс, 1909-2005 гг. (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 89. ISBN  0387984038. OCLC  37928530.
2. Риль, Эмили (2017-03-09). Теория категорий в контексте. Минеола, Нью-Йорк. п. 140. ISBN  9780486820804. OCLC  976394474.
3. Лоусон (1998), п. 63, теорема 2.
4. "подкатегория coreflective в nLab". ncatlab.org. Получено 2019-04-02.

Рекомендации

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
• Питер Фрейд, Андре Щедров (1990). Категории, Аллегории. Математическая библиотека Том 39. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-70368-2.
• Херрлих, Хорст (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Конспект лекций по математике. 78. Берлин: Springer.
• Марк В. Лоусон (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий. World Scientific. ISBN  978-981-02-3316-7.