Прешиф (теория категорий) - Presheaf (category theory)

В теория категорий, филиал математика, а предпучка по категории ${displaystyle C}$ это функтор ${displaystyle Fcolon C^{mathrm {op} } o mathbf {Set} }$. Если ${displaystyle C}$ это посеть из открытые наборы в топологическое пространство интерпретируется как категория, то восстанавливается обычное понятие предпучка на топологическом пространстве.

Морфизм предпучков определяется как естественная трансформация функторов. Это делает сбор всех предварительных пучков на ${displaystyle C}$ в категорию и является примером категория функторов. Часто его записывают как ${displaystyle {widehat {C}}=mathbf {Set} ^{C^{mathrm {op} }}}$. Функтор в ${displaystyle {widehat {C}}}$ иногда называют профунктор.

Предпучок, естественно изоморфный контравариантному hom-функтор Hom (-,А) для некоторого объекта А из C называется представимый предпучок.

Некоторые авторы ссылаются на функтор ${displaystyle Fcolon C^{mathrm {op} } o mathbf {V} }$ как ${displaystyle mathbf {V} }$-значная предпучка.^[1]

Примеры

• А симплициальный набор это Набор-значная предпучка на категория симплекс ${displaystyle C=Delta }$.

Характеристики

• Когда ${displaystyle C}$ это малая категория, категория функторов ${displaystyle {widehat {C}}=mathbf {Set} ^{C^{mathrm {op} }}}$ является декартово закрыто.
• Частично упорядоченный набор подобъекты из ${displaystyle P}$ сформировать Алгебра Гейтинга, в любое время ${displaystyle P}$ является объектом ${displaystyle {widehat {C}}=mathbf {Set} ^{C^{mathrm {op} }}}$ для маленьких ${displaystyle C}$.
• Для любого морфизма ${displaystyle f:X o Y}$ из ${displaystyle {widehat {C}}}$, функтор отката подобъектов ${displaystyle f^{*}:mathrm {Sub} _{widehat {C}}(Y) o mathrm {Sub} _{widehat {C}}(X)}$ имеет правый сопряженный, обозначаемый ${displaystyle forall _{f}}$, и левый сопряженный, ${displaystyle exists _{f}}$. Эти универсальный и экзистенциальные кванторы.
• Местная небольшая категория ${displaystyle C}$ полностью и верно встраивается в категорию ${displaystyle {widehat {C}}}$ многозначных предпучков через Йонеда вложение который к каждому объекту ${displaystyle A}$ из ${displaystyle C}$ связывает хом функтор ${displaystyle C(-,A)}$.
• Категория ${displaystyle {widehat {C}}}$ допускает малые пределы и маленькие копределы.^[2]. Видеть предел и копредел предпучков для дальнейшего обсуждения.
• В теорема плотности заявляет, что каждый предпучок является копределом представимых предпучков; по факту, ${displaystyle {widehat {C}}}$ это копредел завершение ${displaystyle C}$ (видеть # Универсальная собственность ниже.)

Универсальная собственность

Конструкция ${displaystyle Cmapsto {widehat {C}}=mathbf {Fct} (C^{ ext{op}},mathbf {Set} )}$ называется завершение копредела из C благодаря следующему универсальному свойству:

Предложение^[3] — Позволять C, D быть категориями и предполагать D допускает малые копределы. Тогда каждый функтор ${displaystyle eta :C o D}$ факторизуется как

${displaystyle C{overset {y}{longrightarrow }}{widehat {C}}{overset {widetilde {eta }}{longrightarrow }}D}$

куда у является вложением Йонеды и ${displaystyle {widetilde {eta }}:{widehat {C}} o D}$ - сохраняющий копредел функтор, называемый Йонеда расширение из ${displaystyle eta }$.

Доказательство: Учитывая предпучку F, посредством теорема плотности, мы можем написать ${displaystyle F=varinjlim yU_{i}}$ куда ${displaystyle U_{i}}$ объекты в C. Тогда пусть ${displaystyle {widetilde {eta }}F=varinjlim eta U_{i},}$ которое существует по предположению. С ${displaystyle varinjlim -}$ функториально, это определяет функтор ${displaystyle {widetilde {eta }}:{widehat {C}} o D}$. Лаконично, ${displaystyle {widetilde {eta }}}$ левый Кан расширение из ${displaystyle eta }$ вдоль у; отсюда и название «расширение Йонеды». Чтобы увидеть ${displaystyle {widetilde {eta }}}$ ездит с маленькими копиями, мы показываем ${displaystyle {widetilde {eta }}}$ является сопряженным слева (к некоторому функтору). Определять ${displaystyle {mathcal {H}}om(eta ,-):D o {widehat {C}}}$ быть функтором, заданным: для каждого объекта M в D и каждый объект U в C,

${displaystyle {mathcal {H}}om(eta ,M)(U)=operatorname {Hom} _{D}(eta U,M).}$

Затем для каждого объекта M в D, поскольку ${displaystyle {mathcal {H}}om(eta ,M)(U_{i})=operatorname {Hom} (yU_{i},{mathcal {H}}om(eta ,M))}$ по лемме Йонеды имеем:

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {Hom} _{D}({widetilde {eta }}F,M)&=operatorname {Hom} _{D}(varinjlim eta U_{i},M)=varprojlim operatorname {Hom} _{D}(eta U_{i},M)=varprojlim {mathcal {H}}om(eta ,M)(U_{i})&=operatorname {Hom} _{widehat {C}}(F,{mathcal {H}}om(eta ,M)),end{aligned}}}$

что сказать ${displaystyle {widetilde {eta }}}$ является левым сопряженным к ${displaystyle {mathcal {H}}om(eta ,-)}$. ${displaystyle square }$

Предложение дает несколько следствий. Например, из предложения следует, что конструкция ${displaystyle Cmapsto {widehat {C}}}$ является функториальным: т.е. каждый функтор ${displaystyle C o D}$ определяет функтор ${displaystyle {widehat {C}} o {widehat {D}}}$.

Варианты

А предварительный пучок пространств на ∞-категории C является контравариантным функтором из C к ∞-категория пространств (например, нерв категории CW-комплексы.)^[4] Это ∞-категория версия предпучка наборов, поскольку «набор» заменяется «пробелом». Это понятие используется, среди прочего, в формулировке ∞-категорий Лемма Йонеды что говорит: ${displaystyle C o PShv(C)}$ полностью верен (здесь C может быть просто симплициальный набор.)^[5]

Смотрите также

• Topos
• Категория элементов
• Симплициальная предпучка (это понятие получается заменой «множество» на «симплициальное множество»)
• Presheaf с трансферами

Примечания

1. лемма ко-Йонеды в nLab
2. Кашивара-Шапира, Следствие 2.4.3. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFKashiwara – Schapira (помощь)
3. Кашивара-Шапира, Предложение 2.7.1. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFKashiwara – Schapira (помощь)
4. Лурье, Определение 1.2.16.1. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFLurie (помощь)
5. Лурье, Предложение 5.1.3.1. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFLurie (помощь)

Рекомендации

• Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006). Категории и связки.
• Лурье, Дж. Теория высших топосов
• Saunders Mac Lane, Ике Мурдейк, "Пучки в геометрии и логике" (1992) Springer-Verlag ISBN  0-387-97710-4

дальнейшее чтение

• Preheaf в nLab
• Бесплатное завершение в nLab
• Дэниел Даггер, Пучки и теория гомотопий, то pdf файл предоставлено nlab.