Симплициальная предпучка - Simplicial presheaf

В математике, а точнее в теория гомотопии, а симплициальный предпучок это предпучка на сайт (например, категория из топологические пространства ) принимая значения в симплициальные множества (т.е. контравариантный функтор с сайта в категорию симплициальных множеств). Эквивалентно, симплициальный предпучок - это симплициальный объект в категории предпучков на сайте. Понятие было введено А. Джоялом в 1970-х годах.^[1] Аналогично симплициальная связка на сайте есть симплициальный объект в категории снопы на сайте.^[2]

Пример: рассмотрим эталонный сайт схемы S. Каждый U на сайте представляет собой предпучок ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, U)}$ . Таким образом, симплициальная схема, симплициальный объект в узле, представляет собой симплициальный предпучок (фактически, часто симплициальный пучок).

Пример: пусть грамм быть предпучком группоидов. Затем принимая нервы в разрезе получается симплициальный предпучок ${ displaystyle BG}$ . Например, можно установить ${ displaystyle B operatorname {GL} = varinjlim B operatorname {GL_ {n}}}$ . Подобные примеры появляются в K-теории.

Если ${ displaystyle f: от X до Y}$ является локальной слабой эквивалентностью симплициальных предпучков, то индуцированное отображение ${ Displaystyle mathbb {Z} е: mathbb {Z} X to mathbb {Z} Y}$ также является локальной слабой эквивалентностью.

Гомотопические пучки симплициального предпучка

Позволять F быть симплициальной предпучкой на сайте. В гомотопические пучки ${ displaystyle pi _ {*} F}$ из F определяется следующим образом. Для любого ${ displaystyle f: от X до Y}$ на сайте и 0-симплекс s в F(Икс), набор ${ displaystyle ( pi _ {0} ^ { text {pr}} F) (X) = pi _ {0} (F (X))}$ и ${ displaystyle ( pi _ {i} ^ { text {pr}} (F, s)) (f) = pi _ {i} (F (Y), f ^ {*} (s))}$ . Затем мы устанавливаем ${ displaystyle pi _ {i} F}$ быть связкой, связанной с предварительным пучком ${ displaystyle pi _ {i} ^ { text {pr}} F}$ .

Модельные конструкции

Категория симплициальных предпучков на сайте допускает множество различных модельные конструкции.

Некоторые из них получаются при рассмотрении симплициальных предпучков как функторов

{ displaystyle S ^ {op} to Delta ^ {op} Sets}

Категория таких функторов наделена (как минимум) тремя модельными структурами, а именно проективной структурой, структурой Риди и инъективной структурой модели. Слабые эквивалентности / расслоения в первом - это отображения

{ Displaystyle { mathcal {F}} to { mathcal {G}}}

такой, что

{ Displaystyle { mathcal {F}} (U) to { mathcal {G}} (U)}

является слабой эквивалентностью / расслоением симплициальных множеств для всех U на сайте S. Структура инъективной модели аналогична, но со слабыми эквивалентностями и кофибрациями.

Куча

Симплициальный предпучок F на сайте называется стеком, если для любого Икс и любой гиперпокрытие ЧАС →Икс, каноническое отображение

{ Displaystyle F (X) to operatorname {holim} F (H_ {n})}

это слабая эквивалентность как симплициальные множества, где правая предел гомотопии из

{ Displaystyle [п] = {0,1, точки, п } mapsto F (H_ {n})}

.

Любая связка F на сайте можно рассматривать как стек, просмотрев ${ Displaystyle F (X)}$ как постоянное симплициальное множество; Таким образом, категория пучков на сайте включается в качестве подкатегории в гомотопическую категорию симплициальных предпучков на сайте. Функтор включения имеет левый сопряженный элемент, и это в точности ${ Displaystyle F mapsto pi _ {0} F}$ .

Если А является пучком абелевой группы (на том же сайте), то определим ${ Displaystyle К (А, 1)}$ классифицируя конструкцию пространства по уровням (понятие происходит от теория препятствий ) и установите ${ Displaystyle К (А, я) = К (К (А, я-1), 1)}$ . Можно показать (по индукции): для любого Икс на сайте,