Профунктор - Profunctor

В теория категорий, филиал математика, профункторы являются обобщением связи а также бимодули.

Определение

А профунктор (также названный распределитель французской школой и модуль Сиднейской школой) ${displaystyle ,phi }$ из категория ${displaystyle C}$ в категорию ${displaystyle D}$, написано

${displaystyle phi colon Crightarrow D}$,

определяется как функтор

${displaystyle phi colon D^{mathrm {op} } imes C o mathbf {Set} }$

где ${displaystyle D^{mathrm {op} }}$ обозначает противоположная категория из ${displaystyle D}$ и ${displaystyle mathbf {Set} }$ обозначает категория наборов. Данные морфизмы ${displaystyle fcolon d o d',gcolon c o c'}$ соответственно в ${displaystyle D,C}$ и элемент ${displaystyle xin phi (d',c)}$, мы пишем ${displaystyle xfin phi (d,c),gxin phi (d',c')}$ для обозначения действий.

С использованием декартово замыкание из ${displaystyle mathbf {Cat} }$, то категория малых категорий, профунктор ${displaystyle phi }$ можно рассматривать как функтор

${displaystyle {hat {phi }}colon C o {hat {D}}}$

где ${displaystyle {hat {D}}}$ обозначает категорию ${displaystyle mathrm {Set} ^{D^{mathrm {op} }}}$ из предварительные пучки над ${displaystyle D}$.

А переписка от ${displaystyle C}$ к ${displaystyle D}$ профунктор ${displaystyle Drightarrow C}$.

Профункторы как категории

Эквивалентное определение профунктора ${displaystyle phi colon Crightarrow D}$ - категория, объекты которой представляют собой несвязное объединение объектов ${displaystyle C}$ и объекты ${displaystyle D}$, морфизмы которого являются морфизмами ${displaystyle C}$ и морфизмы ${displaystyle D}$, плюс ноль или более дополнительных морфизмов от объектов ${displaystyle D}$ к объектам ${displaystyle C}$. Множества в формальном определении выше - это гом-множества между объектами ${displaystyle D}$ и объекты ${displaystyle C}$. (Они также известны как гет-множества, так как соответствующие морфизмы можно назвать гетероморфизмы.^[1]) Предыдущее определение восстанавливается ограничением гом-функтора ${displaystyle phi ^{ ext{op}} imes phi o mathbf {Set} }$ к ${displaystyle D^{ ext{op}} imes C}$.

Это также проясняет, что профунктор можно рассматривать как отношение между объектами ${displaystyle C}$ и объекты ${displaystyle D}$, где каждому члену отношения соответствует набор морфизмов. Функтор - это частный случай профунктора, точно так же, как функция - это частный случай отношения.

Состав профункторов

Составной ${displaystyle psi phi }$ двух профункторов

${displaystyle phi colon Crightarrow D}$ и ${displaystyle psi colon Drightarrow E}$

дан кем-то

${displaystyle psi phi =mathrm {Lan} _{Y_{D}}({hat {psi }})circ {hat {phi }}}$

где ${displaystyle mathrm {Lan} _{Y_{D}}({hat {psi }})}$ левый Кан расширение функтора ${displaystyle {hat {psi }}}$ вдоль Функтор Йонеды ${displaystyle Y_{D}colon D o {hat {D}}}$ из ${displaystyle D}$ (который к каждому объекту ${displaystyle d}$ из ${displaystyle D}$ связывает функтор ${displaystyle D(-,d)colon D^{mathrm {op} } o mathrm {Set} }$).

Можно показать, что

${displaystyle (psi phi )(e,c)=left(coprod _{din D}psi (e,d) imes phi (d,c)ight){Bigg /}sim }$

где ${displaystyle sim }$ такое отношение наименьшей эквивалентности, что ${displaystyle (y',x')sim (y,x)}$ всякий раз, когда существует морфизм ${displaystyle v}$ в ${displaystyle D}$ такой, что

${displaystyle y'=vyin psi (e,d')}$ и ${displaystyle x'v=xin phi (d,c)}$.

Бикатегория профункторов

Состав профункторов ассоциативен только с точностью до изоморфизма (поскольку произведение не является строго ассоциативным в Набор). Поэтому лучшее, на что можно надеяться, - это построить бикатегория Проф чья

• 0-клетки малые категории,
• 1-ячейки между двумя маленькими категориями являются профункторами между этими категориями,
• 2-ячейки между двумя профункторами являются естественные преобразования между этими профункторами.

Свойства

Подъем функторов к профункторам

Функтор ${displaystyle Fcolon C o D}$ можно рассматривать как профунктора ${displaystyle phi _{F}colon Crightarrow D}$ путем посткомпозиции с функтором Йонеды:

${displaystyle phi _{F}=Y_{D}circ F}$.

Можно показать, что такой профунктор ${displaystyle phi _{F}}$ имеет правый сопряженный. Более того, это характеристика: профунктор ${displaystyle phi colon Crightarrow D}$ имеет правый сопряженный тогда и только тогда, когда ${displaystyle {hat {phi }}colon C o {hat {D}}}$ факторов через Завершение Коши из ${displaystyle D}$, т.е. существует функтор ${displaystyle Fcolon C o D}$ такой, что ${displaystyle {hat {phi }}=Y_{D}circ F}$.

использованная литература

1. гетероморфизм

• Бенабу, Жан (2000). «Дистрибьюторы за работой» (PDF).
• Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник категориальной алгебры. КРУЖКА.
• Лурье, Джейкоб (2009). Теория высших топосов. Издательство Принстонского университета.
• Профунктор в nLab
• Гетероморфизм в nLab