Бикатегория - Bicategory

В математика, а бикатегория (или слабая 2-категория) - это концепция в теория категорий используется для расширения понятия категория для обработки случаев, когда композиция морфизмов не (строго) ассоциативный, но только ассоциативный вплоть до изоморфизм. Это понятие было введено в 1967 г. Жан Бенабу.

Бикатегории можно рассматривать как ослабление определения 2 категории. Аналогичный процесс для 3 категорий приводит к трикатегории, и в более общем плане слабый п-категории за п-категории.

Определение

Формально бикатегория B состоит из:

• объекты а, б... называется 0-клетки;
• морфизмы ж, грамм, ... с фиксированными исходными и целевыми объектами, называемыми 1-ячейка;
• «морфизмы между морфизмами» ρ, σ ... с фиксированными исходными и целевыми морфизмами (которые должны иметь один и тот же источник и одну и ту же цель), называемые 2 ячейки;

с еще некоторой структурой:

• учитывая два объекта а и б есть категория B(а, б), объектами которого являются 1-клетки, а морфизмы - 2-клетки, композиция в этой категории называется вертикальная композиция;
• учитывая три объекта а, б и c, есть бифунктор ${\displaystyle *:\mathbf {B} (b,c)\times \mathbf {B} (a,b)\to \mathbf {B} (a,c)}$ называется горизонтальная композиция.

Требуется, чтобы горизонтальная композиция была ассоциативной с точностью до естественного изоморфизма α между морфизмами ${\displaystyle h*(g*f)}$ и ${\displaystyle (h*g)*f}$. Еще немного аксиомы согласованности, аналогичные тем, которые необходимы для моноидальные категории, кроме того, должны выполняться: моноидальная категория - это то же самое, что бикатегория с одной 0-клеткой.

Рекомендации

• Ж. Бенабу. «Введение в бикатегории, часть I». В Отчеты семинара категории Midwest, Конспект лекций по математике 47, страницы 1-77. Спрингер, 1967.

внешняя ссылка

• бикатегория в nLab