Категория симплекс - Simplex category

В математика, то категория симплекс (или симплициальная категория или непустая конечная порядковая категория) это категория из непустой конечный порядковые и заказать сохранение карт. Он используется для определения симплициальный и косимплициальные объекты.

Формальное определение

В категория симплекс обычно обозначается ${\displaystyle \Delta }$. Есть несколько эквивалентных описаний этой категории. ${\displaystyle \Delta }$ можно охарактеризовать как категорию непустые конечные ординалы как объекты, рассматриваемые как полностью упорядоченные множества, и слабо сохраняющие порядок функции так как морфизмы. Объекты обычно обозначаются ${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}}$ (так что ${\displaystyle [n]}$ это порядковый номер ${\displaystyle n+1}$). Категория создается с помощью карт coface и codegeneracy, которые сводятся к вставке или удалению элементов порядка. (Видеть симплициальный набор для отношений этих карт.)

А симплициальный объект это предпучка на ${\displaystyle \Delta }$, то есть контравариантный функтор из ${\displaystyle \Delta }$ в другую категорию. Например, симплициальные множества контравариантны с категорией кодобласти, являющейся категорией множеств. А косимплициальный объект аналогично определяется как ковариантный функтор, происходящий из ${\displaystyle \Delta }$.

Расширенная симплексная категория

В расширенная симплексная категория, обозначаемый ${\displaystyle \Delta _{+}}$ это категория все конечные ординалы и сохраняющие порядок отображения, таким образом ${\displaystyle \Delta _{+}=\Delta \cup [-1]}$, где ${\displaystyle [-1]=\emptyset }$. Соответственно, эту категорию также можно обозначить FinOrd. Расширенную симплексную категорию иногда называют симплексной категорией алгебраистов, а вышеприведенную версию называют симплексной категорией топологов.

Контравариантный функтор, определенный на ${\displaystyle \Delta _{+}}$ называется дополненный симплициальный объект и ковариантный функтор вне ${\displaystyle \Delta _{+}}$ называется дополненный косимплициальный объект; когда категория содомена является категорией множеств, например, они называются расширенными симплициальными множествами и расширенными косимплициальными множествами соответственно.

Расширенная симплексная категория, в отличие от симплексной категории, допускает естественное моноидальная структура. Моноидальное произведение дается путем конкатенации линейных порядков, а единицей измерения является пустой порядковый номер. ${\displaystyle [-1]}$ (отсутствие единицы не позволяет квалифицировать это как моноидальную структуру на ${\displaystyle \Delta }$). По факту, ${\displaystyle \Delta _{+}}$ это моноидальная категория свободно генерируется одним моноидный объект, данный ${\displaystyle [0]}$ с единственной возможной единицей и умножением. Это описание полезно для понимания того, как комоноид объект в моноидальной категории порождает симплициальный объект, поскольку его можно рассматривать как изображение функтора из ${\displaystyle \Delta _{+}^{\text{op}}}$ к моноидальной категории, содержащей комоноид; забывая об увеличении, мы получаем симплициальный объект. Точно так же это также проливает свет на построение симплициальных множеств из монады (и, следовательно присоединенные функторы ), поскольку монады можно рассматривать как моноидные объекты в категории эндофункторов.

Категория с расширенным симплексом представляет собой простой пример компактная закрытая категория.

Смотрите также

• Симплициальная категория
• ПРОП (теория категорий)
• Абстрактный симплициальный комплекс

использованная литература

• Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная теория гомотопий. Успехи в математике. 174. Базель – Бостон – Берлин: Birkhäuser. Дои:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN  978-3-7643-6064-1. Г-Н  1711612.

внешняя ссылка

• Категория симплекс в nLab
• Что особенного в категории симплекс?