Строковая диаграмма - String diagram - Wikipedia

В теория категорий, строковые диаграммы являются способом представления морфизмы в моноидальные категории, или, как правило, с 2 ячейками в 2 категории.

Определение

Идея состоит в том, чтобы представить структуры размерности d по структурам размерности 2-й, с помощью Двойственность Пуанкаре. Таким образом,

• объект представлен частью плоскости,
• 1-ячейка ${\displaystyle f:A\to B}$ представлен вертикальным сегментом, называемым нить- разделение плоскости пополам (правая часть соответствует А и левый B),
• 2-элементный ${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g:A\to B}$ представлен пересечением строк (строки, соответствующие ж над ссылкой строки, соответствующие грамм ниже по ссылке).

Параллельная композиция из двух ячеек соответствует горизонтальному наложению диаграмм, а последовательная композиция - вертикальному наложению диаграмм.

Двойственность между коммутативными диаграммами (слева) и строковыми диаграммами (справа)

Пример

Рассмотрим примыкание ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$ между двумя категориями ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ куда ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {D}}}$ примыкает к ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ и естественные преобразования ${\displaystyle \eta :I\rightarrow GF}$ и ${\displaystyle \varepsilon :FG\rightarrow I}$ соответственно единица и счет. Струнные диаграммы, соответствующие этим естественным преобразованиям, следующие:

Струнная схема агрегата

Струнная диаграмма счетчика

Строковая диаграмма идентичности

Строка, соответствующая тождественному функтору, изображена пунктирной линией и может быть опущена. Для определения присоединения необходимы следующие равенства:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varepsilon F)\circ F(\eta )&=1_{F}\\G(\varepsilon )\circ (\eta G)&=1_{G}\end{aligned}}}$

Первый изображен как

Схематическое изображение равенства ${\displaystyle (\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}}$

Другие языки диаграмм

Морфизмы в моноидальные категории также могут быть нарисованы в виде строковых диаграмм ^[1] поскольку строгую моноидальную категорию можно рассматривать как 2 категории только с одним объектом (следовательно, будет только один тип плоской области), и теорема о строгости Мак Лейна утверждает, что любая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой. Графический язык строковых диаграмм для моноидальных категорий может быть расширен для представления выражений в категориях с другой структурой, например плетеные моноидальные категории, категории кинжалов,^[2] и т.д. и относится к геометрическим представлениям для плетеные моноидальные категории^[3] и категории лент.^[4] В квантовые вычисления, существует несколько языков диаграмм, основанных на строковых диаграммах для рассуждений о линейных отображениях между кубиты, наиболее известным из которых является ZX-исчисление.

внешняя ссылка

• Катстеры (2007). Строковые диаграммы 1 (потоковое видео). YouTube.
• Строковые диаграммы в nLab

Рекомендации

1. Хоял, Андре; Улица, Росс (1991). «Геометрия тензорного исчисления, I» (PDF). Успехи в математике. 88 (1): 55–112. Дои:10.1016 / 0001-8708 (91) 90003-П. ISSN  0001-8708.
2. Селинджер, П. (2010). "Обзор графических языков для моноидальных категорий" (PDF). В Бобе Коке (ред.). Новые структуры для физики. Конспект лекций по физике. 813. Springer Berlin Heidelberg. С. 289–355. arXiv:0908.3347. Bibcode:2009arXiv0908.3347S. Дои:10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN  978-3-642-12820-2.
3. Joyal, A .; Улица Р. (1993). «Плетеные тензорные категории». Успехи в математике. 102 (1): 20–78. Дои:10.1006 / aima.1993.1055. ISSN  0001-8708.
4. Шум, Мэй Чи (1994-04-11). «Тортильные тензорные категории». Журнал чистой и прикладной алгебры. 93 (1): 57–110. Дои:10.1016 / 0022-4049 (92) 00039-Т. ISSN  0022-4049.