Симметричная моноидальная категория - Symmetric monoidal category - Wikipedia

В теория категорий, филиал математика, а симметричная моноидальная категория это моноидальная категория (т.е. категория, в которой «тензорное произведение» ${\displaystyle \otimes }$ определено) так, чтобы тензорное произведение было симметричным (т. е. ${\displaystyle A\otimes B}$ в определенном строгом смысле естественно изоморфно ${\displaystyle B\otimes A}$ для всех объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ категории). Одним из типичных примеров симметричной моноидальной категории является категория векторных пространств над некоторыми фиксированными поле k, используя обычные тензорное произведение векторных пространств.

Определение

Симметричная моноидальная категория - это моноидальная категория (C, ⊗, я) такой, что для каждой пары А, B объектов в C, существует изоморфизм ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$ то есть естественный в обоих А и B и такие, что коммутируют следующие диаграммы:

• Связность агрегата:

  

• Связность ассоциативности:

  

• Обратный закон:

  

На диаграммах выше а, л , р являются изоморфизмом ассоциативности, левым единичным изоморфизмом и правым единичным изоморфизмом соответственно.

Примеры

Некоторые примеры и не примеры симметричных моноидальных категорий:

• В категория наборов. Тензорное произведение - это декартово теоретико-множественное произведение, и любой синглтон может быть зафиксирован как единичный объект.
• В категория групп. Как и раньше, тензорное произведение - это просто декартово произведение групп, а тривиальная группа - это единичный объект.
• В более общем смысле, любая категория с конечными продуктами, то есть декартова моноидальная категория, является симметричным моноидальным. Тензорное произведение является прямым произведением объектов, а любой конечный объект (пустой продукт) является единичным объектом.
• В категория бимодулей над кольцом р является моноидальным (используя обычное тензорное произведение модулей), но не обязательно симметричным. Если р коммутативна, категория левых р-модули симметричны моноидальны. Последний примерный класс включает категорию всех векторных пространств над данным полем.
• Учитывая поле k и группа (или Алгебра Ли над k), категория всех k-линейный представления группы (или алгебры Ли) является симметричной моноидальной категорией. Здесь используется стандартное тензорное произведение представлений.
• Категории (Ste,${\displaystyle \circledast }$) и (Ste,${\displaystyle \odot }$) из стереотипные пространства над ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ являются симметричными моноидальными, причем (Ste,${\displaystyle \circledast }$) это закрыто симметричная моноидальная категория с внутренним гом-функтором ${\displaystyle \oslash }$.

Характеристики

В классификация пространства (геометрическая реализация нерв ) симметричной моноидальной категории является ${\displaystyle E_{\infty }}$ пространство, так что это завершение группы является бесконечное пространство цикла.^[1]

Специализации

А кинжал симметричная моноидальная категория симметричная моноидальная категория с согласованной структура кинжала.

А космос это полный завершенный закрыто симметричная моноидальная категория.

Обобщения

В симметричной моноидальной категории естественные изоморфизмы ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$ их собственный обратное в том смысле, что ${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$. Если мы откажемся от этого требования (но все же потребуем, чтобы ${\displaystyle A\otimes B}$ естественно изоморфен ${\displaystyle B\otimes A}$), получаем более общее понятие плетеная моноидальная категория.

Рекомендации

1. Роберт Уэйн Томасон, «Симметричные моноидальные категории моделируют все соединительные спектры», Теория и приложения категорий, Vol. 1, № 5, 1995, с. 78–118.

• Симметричная моноидальная категория в nLab
• Эта статья включает материал из категории Симметричные моноидальные PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.