Прослеженная моноидальная категория - Traced monoidal category

В теория категорий, а отслеживаемая моноидальная категория это категория с некоторой дополнительной структурой, которая дает разумное представление об обратной связи.

А отслеживаемая симметричная моноидальная категория это симметричная моноидальная категория C вместе с семейством функций

${displaystyle mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}:mathbf {C} (Xotimes U,Yotimes U) o mathbf {C} (X,Y)}$

называется след, удовлетворяющие следующим условиям:

• естественность в ${displaystyle X}$: для каждого ${displaystyle f:Xotimes U o Yotimes U}$ и ${displaystyle g:X' o X}$,

${displaystyle mathrm {Tr} _{X',Y}^{U}(fcirc (gotimes mathrm {id} _{U}))=mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)circ g}$

Естественность в X

• естественность в ${displaystyle Y}$: для каждого ${displaystyle f:Xotimes U o Yotimes U}$ и ${displaystyle g:Y o Y'}$,

${displaystyle mathrm {Tr} _{X,Y'}^{U}((gotimes mathrm {id} _{U})circ f)=gcirc mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)}$

Естественность в Y

• неестественность в ${displaystyle U}$: для каждого ${displaystyle f:Xotimes U o Yotimes U'}$ и ${displaystyle g:U' o U}$

${displaystyle mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}((mathrm {id} _{Y}otimes g)circ f)=mathrm {Tr} _{X,Y}^{U'}(fcirc (mathrm {id} _{X}otimes g))}$

Неестественность в U

• исчезающий I: для каждого ${displaystyle f:Xotimes I o Yotimes I}$, (с ${displaystyle ho _{X}colon Xotimes Icong X}$ будучи правильным объединителем),

${displaystyle mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=ho _{Y}circ fcirc ho _{X}^{-1}}$

Исчезновение I

• исчезающий II: для каждого ${displaystyle f:Xotimes Uotimes V o Yotimes Uotimes V}$

${displaystyle mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(mathrm {Tr} _{Xotimes U,Yotimes U}^{V}(f))=mathrm {Tr} _{X,Y}^{Uotimes V}(f)}$

Исчезновение II

• наложение: для каждого ${displaystyle f:Xotimes U o Yotimes U}$ и ${displaystyle g:W o Z}$,

${displaystyle gotimes mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=mathrm {Tr} _{Wotimes X,Zotimes Y}^{U}(gotimes f)}$

Наложение

• рывки:

${displaystyle mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(gamma _{X,X})=mathrm {id} _{X}}$

(куда ${displaystyle gamma }$ - симметрия моноидальной категории).

Янкинг

Характеристики

• Каждый компактная закрытая категория допускает след.
• Учитывая прослеженную моноидальную категорию C, то Int строительство порождает свободное (в некотором бикатегорическом смысле) компактное замыкание Int (C) из C.

Рекомендации

• Андре Жоял, Росс-стрит, Доминик Верити (1996). «Прослеживаемые моноидальные категории». Математические труды Кембриджского философского общества. 3: 447–468. Дои:10.1017 / S0305004100074338.