Выталкивание (теория категорий) - Pushout (category theory) - Wikipedia

В теория категорий, филиал математика, а выталкивание (также называемый волокнистый побочный продукт или же расслоенная сумма или же кокартезианская площадь или же объединенная сумма) это копредел из диаграмма состоящий из двух морфизмы ж : Z → Икс и грамм : Z → Y с общим домен. Выталкиватель состоит из объект п вместе с двумя морфизмами Икс → п и Y → п которые завершают коммутативный квадрат с двумя данными морфизмами ж и грамм. Фактически определяющий универсальная собственность выталкивания (приведенного ниже) по существу говорит о том, что выталкивание - это «самый общий» способ завершить этот коммутативный квадрат. Общие обозначения для выталкивания: ${\displaystyle P=X\sqcup _{Z}Y}$ и ${\displaystyle P=X+_{Z}Y}$.

Отталкивание - это категоричный дуальный из откат.

Универсальная собственность

Явно выталкивание морфизмов ж и грамм состоит из объекта п и два морфизма я₁ : Икс → п и я₂ : Y → п так что диаграмма

ездит на работу и такой, что (п, я₁, я₂) является универсальный относительно этой диаграммы. То есть для любого другого такого набора (Q, j₁, j₂), для которых коммутирует следующая диаграмма, должен существовать единственный ты : п → Q также заставляя диаграмму коммутировать:

Как и все универсальные конструкции, вытяжка, если она существует, уникальна с точностью до уникального изоморфизм.

Примеры выталкиваний

Вот несколько примеров выталкивания в знакомых категории. Обратите внимание, что в каждом случае мы обеспечиваем только конструкцию объекта в классе выталкиваний изоморфизма; как упоминалось выше, хотя могут быть и другие способы его создания, все они эквивалентны.

• Предположим, что Икс, Y, и Z как указано выше наборы, и это ж : Z → Икс и грамм : Z → Y являются заданными функциями. Вытеснение ж и грамм это несвязный союз из Икс и Y, где элементы, имеющие общий прообраз (в Z) отождествляются вместе с морфизмами я₁, я₂ из Икс и Y, т.е. ${\displaystyle P=\left(X\coprod Y\right){\Big /}\sim \ }$ куда ~ это тончайшее отношение эквивалентности (см. также это ) такие, что ж(z) ~ грамм(z) для всех z в Z. В частности, если Икс и Y находятся подмножества некоторого большего набора W и Z является их пересечение, с ж и грамм карты включения Z в Икс и Y, то выталкивание канонически можно отождествить с союз ${\displaystyle X\cup Y\subseteq W}$.
• Построение примыкающие пространства является примером выталкивания в категория топологических пространств. Точнее, если Z это подпространство из Y и грамм : Z → Y это карта включения мы можем "склеить" Y в другое место Икс вдоль Z с помощью «прикрепленной карты» ж : Z → Икс. В результате получается примыкающее пространство ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$, который является просто выталкиванием ж и грамм. В более общем плане, таким образом, все идентификационные пространства можно рассматривать как выталкиваемые.
• Частным случаем вышеизложенного является сумма клина или одноточечный союз; здесь мы берем Икс и Y быть заостренные места и Z одноточечное пространство. Тогда выталкивание ${\displaystyle X\vee Y}$, пространство, полученное склейкой базовой точки Икс к исходной точке Y.
• в категория абелевых групп, выталкивание можно рассматривать как "прямая сумма со склеиванием «так же, как мы думаем о смежных пространствах»несвязный союз с приклеиванием ». нулевая группа это подгруппа каждого группа, так что для любого абелевы группы А и B, у нас есть гомоморфизмы ${\displaystyle f:0\to A}$ и ${\displaystyle g:0\to B}$. Вытеснение этих карт представляет собой прямую сумму А и B. Обобщая на случай, когда ж и грамм - произвольные гомоморфизмы из общей области Z, для выталкивания получаем a факторгруппа прямой суммы; а именно, мы мод из подгруппой, состоящей из пар (ж(z), −грамм(z)). Таким образом мы «приклеили» образы Z под ж и грамм. Подобный подход дает выталкивание в категория р-модули для любого звенеть р.
• в категория групп, выталкивание называется бесплатный продукт с амальгамированием. Он появляется в Теорема Зейферта – ван Кампена из алгебраическая топология (Смотри ниже).
• В CRing, категория коммутативные кольца (а полная подкатегория из категория колец ) выталкивание задается тензорное произведение колец ${\displaystyle A\otimes _{C}B}$ с морфизмами ${\displaystyle g':A\rightarrow A\otimes _{C}B}$ и ${\displaystyle f':B\rightarrow A\otimes _{C}B}$ это удовлетворяет ${\displaystyle f'\circ g=g'\circ f}$. Фактически, поскольку выталкивание - это копредел из охватывать и откат это предел cospan, мы можем представить себе тензорное произведение колец и волокнистое изделие из колец (см. раздел примеров) как двойственные друг другу понятия. В частности, пусть А, B, и C быть объектами (коммутативными кольцами с единицей) в CRing и разреши ж : C → А и грамм : C → B быть морфизмами (гомоморфизмы колец ) в CRing. Тогда тензорное произведение:

${\displaystyle A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }}$

• Видеть Свободное произведение ассоциативных алгебр для случая некоммутативных колец.
• В мультипликативном моноид положительных целые числа ${\displaystyle \mathbf {Z} _{+}}$, рассматриваемая как категория с одним объектом, выталкивание двух положительных целых чисел м и п это просто пара ${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$, где числителями являются наименьший общий множитель из м и п. Обратите внимание, что эта же пара также является откатом.

Характеристики

• Всякий раз, когда толчок А ⊔_C B существует, тогда B ⊔_C А тоже существует и существует естественный изоморфизм А ∪_C B ≅ B ∪_C А.
• В абелева категория все выталкивания существуют, и они сохраняют коядра в следующем смысле: если (п, я₁, я₂) является выталкиванием ж : Z → Икс и грамм : Z → Y, то естественный кокер отображения (ж) → коксование (я₂) является изоморфизмом, как и естественное отображение coker (грамм) → коксование (я₁).
• Есть естественный изоморфизм (А ⊔_C B) ⊔_B D ≅ А ⊔_C D. В явном виде это означает:
  • если карты ж : C → А, грамм : C → B и час : B → D даны и
  • вытеснение ж и грамм дан кем-то я : А → п и j : B → п, и
  • вытеснение j и час дан кем-то k : п → Q и л : D → Q,
  • затем вытеснение ж и hg дан кем-то ки : А → Q и л : D → Q.

Графически это означает, что два выталкивающих квадрата, размещенные бок о бок и разделяющие один морфизм, образуют больший выталкивающий квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.

Строительство с помощью сопутствующих продуктов и соэквалайзеров

Отжимания эквивалентны побочные продукты и соэквалайзеры (если есть исходный объект ) в том смысле, что:

• Копродукты - это выталкивание от исходного объекта, а коэквалайзер ж, грамм : Икс → Y является выталкиванием [ж, грамм] и [1_Икс, 1_Икс], так что если есть выталкивания (и начальный объект), то есть коэквалайзеры и копроизведения;
• Вытеснения могут быть построены из сопродуктов и соуравнителей, как описано ниже (вытеснение является соуравнивателем отображений к сопродукту).

Все приведенные выше примеры можно рассматривать как частные случаи следующей очень общей конструкции, которая работает в любой категории C удовлетворение:

• Для любых объектов А и B из C, их копродукт существует в C;
• Для любых морфизмов j и k из C с той же областью и целью, коэквалайзер j и k существует в C.

В этой установке мы получаем выталкивание морфизмов ж : Z → Икс и грамм : Z → Y сначала формируя совместный продукт целей Икс и Y. Тогда у нас есть два морфизма из Z к этому сопутствующему продукту. Мы можем либо уйти от Z к Икс через ж, затем включить в сопродукт, или мы можем перейти от Z к Y через грамм, затем включите. Вытеснение ж и грамм является уравнителем этих новых карт.

Применение: теорема Зейферта – ван Кампена.

Основная статья: Теорема Зейферта-ван Кампена

Теорема Зейферта – ван Кампена дает ответ на следующий вопрос. Предположим, у нас есть соединенный путём Космос Икс, покрытые линейно связными открытыми подпространствами А и B чье пересечение D также линейно связано. (Предположим также, что базовая точка * лежит на пересечении А и B.) Если мы знаем фундаментальные группы из А, B, и их пересечение D, можно ли восстановить фундаментальную группу Икс? Ответ положительный, если мы также знаем индуцированные гомоморфизмы${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)}$и${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).}$Теорема говорит, что фундаментальная группа Икс является выталкиванием этих двух индуцированных отображений. Конечно, Икс является выталкиванием двух карт включения D в А и B. Таким образом, мы можем интерпретировать теорему как подтверждающую, что фундаментальный групповой функтор сохраняет выталкивание включений. Мы можем ожидать, что это будет проще всего, когда D является односвязный, с тех пор оба указанных выше гомоморфизма имеют тривиальную область определения. Действительно, это так, поскольку тогда выталкивание (групп) сводится к бесплатный продукт, которое является копроизведением в категории групп. В самом общем случае мы будем говорить о бесплатный продукт с амальгамированием.

Есть подробное изложение этого в несколько более общем контексте (покрытие группоиды ) в книге Дж. П. Мэя, указанной в ссылках.

Рекомендации

• Мэй, Дж. П. Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета, 1999.

  Введение в категориальные подходы к алгебраической топологии: основное внимание уделяется алгебре и предполагает топологический фон.

• Рональд Браун «Топология и группоиды» pdf available Дается отчет о некоторых категориальных методах топологии, используется фундаментальный группоид на множестве базовых точек, чтобы дать обобщение теоремы Зейферта-ван Кампена.

• Филип Дж. Хиггинс, "Категории и Группоиды" скачать бесплатно Объясняет некоторые применения группоидов в теории групп и топологии.

внешняя ссылка

• выталкивание в nLab