Эквалайзер (математика) - Equaliser (mathematics)

В математика, эквалайзер набор аргументов, в котором два или более функции имеют равный значения. Эквалайзер - это набор решений из уравнение. В определенных контекстах разностное ядро является эквалайзером ровно двух функций.

Определения

Позволять Икс и Y быть наборы.Позволять ж и грамм быть функции, оба из Икс к Y. Тогда эквалайзер из ж и грамм это набор элементов Икс из Икс такой, что ж(Икс) равно грамм(Икс) в YСимволически:

{ displaystyle operatorname {Eq} (f, g): = {x in X mid f (x) = g (x) }.}

Эквалайзер может быть обозначен Eq (ж, грамм) или вариация на эту тему (например, со строчными буквами «eq»). В неформальном контексте обозначение {ж = грамм} является обычным явлением.

В приведенном выше определении используются две функции ж и грамм, но нет необходимости ограничиваться только двумя функциями или даже только конечно много функций. В общем, если F это набор функций из Икс к Y, то эквалайзер членов F это набор элементов Икс из Икс так что, учитывая любые два члена ж и грамм из F, ж(Икс) равно грамм(Икс) в YСимволически:

{ displaystyle operatorname {Eq} ({ mathcal {F}}): = {x in X mid forall f, g in { mathcal {F}}, ; f (x) = g (Икс)}.}

Этот эквалайзер может быть записан как Eq (ж, грамм, час, ...) если ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ это множество {ж, грамм, час, ...}. В последнем случае также можно найти {ж = грамм = час = ···} в неформальном контексте.

Как выродиться случай общего определения, пусть F быть одиночка {ж}.С ж(Икс) всегда равняется самому себе, эквалайзером должен быть весь домен Икс.Как еще более вырожденный случай, пусть F быть пустой набор. Тогда эквалайзер снова весь домен Икс, поскольку универсальная количественная оценка в определении пусто правда.

Различия ядер

Бинарный эквалайзер (то есть эквалайзер всего двух функций) также называется разностное ядро. Его также можно обозначить DiffKer (ж, грамм), Кер (ж, грамм) или Ker (ж − грамм). Последние обозначения показывают, откуда взялась эта терминология и почему она наиболее распространена в контексте абстрактная алгебра: Различие ядра ж и грамм это просто ядро разницы ж − грамм. Кроме того, ядро одной функции ж можно восстановить как разностное ядро Eq (ж, 0), где 0 - постоянная функция со значением нуль.

Конечно, все это предполагает алгебраический контекст, в котором ядром функции является ее прообраз ниже нуля; это верно не во всех ситуациях. Однако терминология «различное ядро» не имеет другого значения.

В теории категорий

Эквалайзеры могут быть определены универсальная собственность, что позволяет обобщить понятие категория наборов произвольно категории.

В общем контексте Икс и Y объекты, а ж и грамм морфизмы из Икс к YЭти объекты и морфизмы образуют диаграмма в рассматриваемой категории, а эквалайзер - это просто предел этой диаграммы.

Если говорить более конкретно, эквалайзер состоит из объекта E и морфизм экв : E → Икс удовлетворение ${ Displaystyle f circ eq = g circ eq}$ , и такой, что для любого объекта О и морфизм м : О → Икс, если ${ Displaystyle f circ m = g circ m}$ , то существует уникальный морфизм ты : О → E такой, что ${ displaystyle eq circ u = m}$ .

Морфизм ${ displaystyle m: O rightarrow X}$ говорят уравнять ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ если ${ Displaystyle f circ m = g circ m}$ .^[1]

В любом универсальный алгебраический категория, включая категории, в которых используются разностные ядра, а также саму категорию наборов, объект E всегда можно принять за обычное понятие эквалайзера, а морфизм экв может в таком случае быть функция включения из E как подмножество из Икс.

Обобщение этого более чем на два морфизма несложно; просто используйте большую диаграмму с большим количеством морфизмов в ней. Вырожденный случай только одного морфизма также очевиден; тогда экв может быть любым изоморфизм от объекта E к Икс.

Правильная диаграмма для вырожденного случая с нет морфизмы немного тонкие: сначала можно было бы нарисовать диаграмму как состоящую из объектов Икс и Y и никаких морфизмов. Однако это неверно, поскольку предел такой диаграммы - товар из Икс и Y, а не эквалайзер. (И действительно, продукты и эквалайзеры - это разные концепции: теоретико-множественное определение продукта не согласуется с теоретико-множественным определением эквалайзера, упомянутым выше, следовательно, они на самом деле разные.) Вместо этого правильное понимание состоит в том, что каждая диаграмма эквалайзера в основном озабочен Икс, включая Y только потому Y это codomain морфизмов, которые появляются на диаграмме. С этой точки зрения мы видим, что если не задействованы морфизмы, Y не появляется, а схема эквалайзера состоит из Икс один. Тогда пределом этой диаграммы является любой изоморфизм между E и Икс.

Можно доказать, что любой эквалайзер в любой категории является мономорфизм.Если разговаривать в данной категории, то эта категория называется обычный (в смысле мономорфизмов). Более того, a регулярный мономорфизм в любой категории есть любой морфизм м это эквалайзер некоторого набора морфизмов. некоторые авторы более строго требуют, чтобы м быть двоичный эквалайзер, то есть эквалайзер ровно двух морфизмов. Однако, если рассматриваемая категория полный, то оба определения согласуются.

Понятие разностного ядра также имеет смысл в теоретико-категориальном контексте. Терминология «разностное ядро» является общей в теории категорий для любого бинарного эквалайзера. предаддитивная категория (категория обогащенный над категорией Абелевы группы ) термин "разностное ядро" можно интерпретировать буквально, поскольку вычитание морфизмов имеет смысл.ж, грамм) = Ker (ж - грамм), где Ker обозначает теоретико-категориальное ядро.

Любая категория с продукты из волокна (откаты) и у продуктов есть эквалайзеры.

Смотрите также

Соэквалайзер, то двойной понятие, полученное переворачиванием стрелок в определении эквалайзера.
Теория совпадений, топологический подход к эквалайзеру устанавливает в топологические пространства.
Откат, специальный предел которые могут быть построены из эквалайзеров и продуктов.

Примечания

^ Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для информатики (PDF). п. 266. Архивировано с оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2013-07-20.

внешняя ссылка

Интерактивная веб-страница который порождает примеры эквалайзеров в категории конечных множеств. Написано Джоселин Пейн.

[1] Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для информатики (PDF). п. 266. Архивировано с оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2013-07-20.

[1]