Категория запятых - Comma category

В математика, а категория запятой (особый случай - категория срезов) является конструкцией в теория категорий. Это дает другой способ взглянуть на морфизмы: вместо того, чтобы просто связывать объекты категория друг для друга морфизмы становятся самостоятельными объектами. Это понятие было введено в 1963 г. Ф. В. Лавер (Лавер, 1963, стр. 36), хотя техника не^{[нужна цитата ]} стали широко известны много лет спустя. Некоторые математические концепции можно рассматривать как категории с запятыми. Категории запятых также гарантируют существование некоторых пределы и копределы. Название происходит от обозначения, первоначально использовавшегося Ловером, в котором участвовали запятая знак препинания. Название сохраняется, даже несмотря на то, что стандартные обозначения были изменены, поскольку использование запятой в качестве оператора потенциально сбивает с толку, и даже Ловеру не нравится малоинформативный термин «категория запятой» (Lawvere, 1963, стр. 13).

Определение

Самая общая конструкция категорий запятых включает два функторы с таким же кодоменом. Часто один из них будет иметь домен 1 (категория одного объекта и одного морфизма). В некоторых статьях теории категорий рассматриваются только эти частные случаи, но термин «запятая категория» на самом деле гораздо более общий.

Общая форма

Предположим, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ категории, и ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ (для источника и цели) являются функторы:

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}}$

Мы можем сформировать категорию запятой ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ следующее:

• Объекты все тройки ${\displaystyle (A,B,h)}$ с ${\displaystyle A}$ объект в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle B}$ объект в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, и ${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$ морфизм в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
• Морфизмы из ${\displaystyle (A,B,h)}$ к ${\displaystyle (A',B',h')}$ все пары ${\displaystyle (f,g)}$ куда ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$ и ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ морфизмы в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ соответственно, так что следующая диаграмма ездит на работу:

Морфизмы составляются взятием ${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$ быть ${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$, если последнее выражение определено. Морфизм идентичности на объекте ${\displaystyle (A,B,h)}$ является ${\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})}$.

Категория среза

Первый частный случай возникает, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$, функтор ${\displaystyle S}$ это функтор идентичности, и ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$ (категория с одним объектом ${\displaystyle *}$ и один морфизм). потом ${\displaystyle T(*)=A_{*}}$ для какого-то объекта ${\displaystyle A_{*}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}}$

В этом случае записывается категория запятой ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$, и его часто называют категория срезов над ${\displaystyle A_{*}}$ или категория объекты над ${\displaystyle A_{*}}$. Объекты ${\displaystyle (A,*,h)}$ можно упростить до пар ${\displaystyle (A,h)}$, куда ${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$. Иногда, ${\displaystyle h}$ обозначается ${\displaystyle \pi _{A}}$. Морфизм ${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$ из ${\displaystyle (A,\pi _{A})}$ к ${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$ в категории срезов можно упростить до стрелки ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$ сделать следующую диаграмму коммутируемой:

Категория Coslice

В двойной понятие категории среза - это категория среза. Здесь, ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle S}$ есть домен ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ и ${\displaystyle T}$ является функтором тождества.

${\displaystyle {\textbf {1}}\xrightarrow {\;\;B_{*}\;\;} {\mathcal {B}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {B}}\;\;} {\mathcal {B}}}$

В этом случае часто пишется категория запятой ${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$, куда ${\displaystyle B_{*}=S(*)}$ является объектом ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ выбран ${\displaystyle S}$. Это называется категория coslice относительно ${\displaystyle B_{*}}$, или категория объекты под ${\displaystyle B_{*}}$. Объекты парные ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ с ${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$. Данный ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ и ${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$, морфизм в категории кослиц - это отображение ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ сделать следующую диаграмму коммутируемой:

Категория стрелки

${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ находятся функторы идентичности на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (так ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$).

${\displaystyle {\mathcal {C}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}}$

В данном случае категория запятой - это категория стрелки. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$. Его объекты - морфизмы ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а его морфизмы - коммутирующие квадраты в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.^[1]

Другие варианты

В случае категории среза или среза тождественный функтор может быть заменен каким-либо другим функтором; это дает семейство категорий, особенно полезных при изучении присоединенные функторы. Например, если ${\displaystyle T}$ это забывчивый функтор отображение абелева группа к его базовый набор, и ${\displaystyle s}$ некоторые фиксированные набор (рассматривается как функтор от 1), то категория запятой ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ есть объекты, которые являются картами из ${\displaystyle s}$ к набору, лежащему в основе группы. Это относится к левому сопряженному ${\displaystyle T}$, который является функтором, отображающим множество в свободная абелева группа имея это в качестве основы. В частности, исходный объект из ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ каноническая инъекция ${\displaystyle s\rightarrow T(G)}$, куда ${\displaystyle G}$ свободная группа, порожденная ${\displaystyle s}$.

Объект ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ называется морфизм из ${\displaystyle s}$ к ${\displaystyle T}$ или ${\displaystyle T}$-структурированная стрелка с доменом ${\displaystyle s}$.^[1] Объект ${\displaystyle (S\downarrow t)}$ называется морфизм из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle t}$ или ${\displaystyle S}$-конструктурированная стрелка с кодоменом ${\displaystyle t}$.^[1]

Другой особый случай возникает, когда оба ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ являются функторами с областью ${\displaystyle {\textbf {1}}}$. Если ${\displaystyle S(*)=A}$ и ${\displaystyle T(*)=B}$, то категория запятой ${\displaystyle (S\downarrow T)}$, написано ${\displaystyle (A\downarrow B)}$, это дискретная категория чьи объекты являются морфизмами из ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$.

An категория установщика является (неполной) подкатегорией категории запятой, где ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$ и ${\displaystyle f=g}$ необходимы. Категория "запятая" также может использоваться для вставки ${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$ и ${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$, куда ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ являются двумя проекционными функторами из Категория продукта ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$.

Характеристики

Для каждой категории запятой есть забывчивые функторы от нее.

• Функтор домена, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$, который отображает:
  • объекты: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto A}$;
  • морфизмы: ${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$;
• Функтор кодомена, ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$, который отображает:
  • объекты: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto B}$;
  • морфизмы: ${\displaystyle (f,g)\mapsto g}$.
• Функтор стрелки, ${\displaystyle S\downarrow T\to C^{\rightarrow }}$, который отображает:
  • объекты: ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto h}$;
  • морфизмы: ${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}$;

Примеры использования

Некоторые известные категории

Несколько интересных категорий имеют естественное определение в терминах категорий запятых.

• Категория заостренные наборы категория запятая, ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}}$ с ${\displaystyle \scriptstyle {\bullet }}$ быть (выбирающим функтором) любым одноэлементный набор, и ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ (тождественный функтор) категория наборов. Каждый объект этой категории представляет собой набор вместе с функцией, выбирающей какой-либо элемент набора: «базовую точку». Морфизмы - это функции на множествах, которые отображают базовые точки в базовые точки. Аналогичным образом можно сформировать категорию заостренные места ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}}$.
• Категория ассоциативных алгебр над кольцом ${\displaystyle R}$ категория coslice ${\displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}}$, поскольку любой гомоморфизм колец ${\displaystyle f:R\to S}$ вызывает ассоциативный ${\displaystyle R}$-алгебра на ${\displaystyle S}$, наоборот. Морфизмы тогда карты ${\displaystyle h:S\to T}$ которые заставляют диаграмму коммутировать.
• Категория графики является ${\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}}$, с ${\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }}$ функтор, принимающий набор ${\displaystyle s}$ к ${\displaystyle s\times s}$. Объекты ${\displaystyle (a,b,f)}$ тогда состоят из двух наборов и функции; ${\displaystyle a}$ это индексирующий набор, ${\displaystyle b}$ набор узлов, а ${\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)}$ выбирает пары элементов ${\displaystyle b}$ для каждого входа из ${\displaystyle a}$. То есть, ${\displaystyle f}$ выбирает определенные края из набора ${\displaystyle b\times b}$ возможных краев. Морфизм в этой категории состоит из двух функций, одна из которых относится к набору индексации, а другая - к набору узлов. Они должны «согласиться» в соответствии с общим определением, приведенным выше, что означает, что ${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$ должен удовлетворить ${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$. Другими словами, край, соответствующий определенному элементу набора индексирования, при преобразовании должен быть таким же, как край для переведенного индекса.
• Многие операции «расширения» или «маркировки» могут быть выражены в терминах категорий, запятых. Позволять ${\displaystyle S}$ - функтор, переводящий каждый граф в набор его ребер, и пусть ${\displaystyle A}$ быть (выбирающим функтором) определенным множеством: тогда ${\displaystyle (S\downarrow A)}$ - категория графов, ребра которых помечены элементами из ${\displaystyle A}$. Такую форму категории запятых часто называют объекты ${\displaystyle S}$-над ${\displaystyle A}$ - тесно связан с «объектами над ${\displaystyle A}$"обсуждалось выше. Здесь каждый объект принимает форму ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$, куда ${\displaystyle B}$ это граф и ${\displaystyle \pi _{B}}$ функция из краев ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle A}$. Узлы графа могут быть помечены практически таким же образом.
• Категория называется местно декартово закрыто если каждый кусочек декартово закрыто (см. выше понятие ломтик). Локально декартовы закрытые категории - это классификация категорий из теории зависимых типов.

Пределы и универсальные морфизмы

Пределы и копределы в категориях запятые могут быть «унаследованы». Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ находятся полный, ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ это непрерывный функтор, и ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ - еще один функтор (не обязательно непрерывный), то категория запятой ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ произведено завершено,^[2] и проекционные функторы ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$ непрерывны. Аналогично, если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ неполные, и ${\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ является непрерывный, тогда ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ коколонна, а проекционные функторы коконепрерывны.

Например, обратите внимание, что в приведенной выше конструкции категории графов как категории запятых категория множеств полна и коколонна, а тождественный функтор непрерывен и коконепрерывен. Таким образом, категория графов полна и коколонна.

Понятие о универсальный морфизм к определенному копилку или от предела может быть выражено через категорию запятой. По сути, мы создаем категорию, объектами которой являются конусы, а ограничивающим конусом - конус. конечный объект; тогда каждый универсальный морфизм для предела - это просто морфизм конечного объекта. Это работает в двойном случае, когда категория коконов имеет исходный объект. Например, пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ быть категорией с ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ функтор, принимающий каждый объект ${\displaystyle c}$ к ${\displaystyle (c,c)}$ и каждая стрелка ${\displaystyle f}$ к ${\displaystyle (f,f)}$. Универсальный морфизм из ${\displaystyle (a,b)}$ к ${\displaystyle F}$ состоит по определению из объекта ${\displaystyle (c,c)}$ и морфизм ${\displaystyle \rho :(a,b)\rightarrow (c,c)}$ с универсальным свойством, что для любого морфизма ${\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)}$ есть уникальный морфизм ${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$ с ${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$. Другими словами, это объект из категории запятой. ${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$ наличие морфизма к любому другому объекту в этой категории; это изначально. Это служит для определения сопродукт в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, когда он существует.

Дополнения

Ловер показал, что функторы ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ и ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ находятся прилегающий тогда и только тогда, когда категории запятых ${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$ и ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$, с ${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$ и ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ тождественные функторы на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ соответственно, изоморфны, и эквивалентные элементы в категории запятая могут быть спроецированы на тот же элемент ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$. Это позволяет описывать дополнения без привлечения множеств и фактически было первоначальной мотивацией для введения категорий запятых.

Природные преобразования

Если домены ${\displaystyle S,T}$ равны, то диаграмма, определяющая морфизмы в ${\displaystyle S\downarrow T}$ с ${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$ идентична диаграмме, которая определяет естественная трансформация ${\displaystyle S\to T}$. Разница между этими двумя понятиями состоит в том, что естественное преобразование - это особый набор морфизмов типа вида ${\displaystyle S(A)\to T(A)}$, а объекты категории запятая содержат все морфизмы типа такой формы. Функтор категории запятая выбирает этот конкретный набор морфизмов. Это кратко описано в наблюдении С.А.Хука.^[3]что естественное преобразование ${\displaystyle \eta :S\to T}$, с ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$, соответствует функтору ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ который отображает каждый объект ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$ и отображает каждый морфизм ${\displaystyle f=g}$ к ${\displaystyle (f,g)}$. Это биективный соответствие между естественными преобразованиями ${\displaystyle S\to T}$ и функторы ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ которые разделы обоих забывчивых функторов из ${\displaystyle S\downarrow T}$.

Рекомендации

1. Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6.
2. Ридхард, Дэвид Э .; Берстолл, Род М. (1988). Вычислительная теория категорий (PDF). Прентис Холл.
3. Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика, Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 48, ISBN  0-387-98403-8

• Категория запятых в nLab
• Ловер, Вт (1963). «Функториальная семантика алгебраических теорий» и «Некоторые алгебраические проблемы в контексте функциональной семантики алгебраических теорий». http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

внешняя ссылка

• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактная и конкретная категории - радость кошек
• WildCats пакет теории категорий для Mathematica. Манипуляция и визуализация объектов, морфизмы, категории, функторы, естественные преобразования, универсальные свойства.
• Интерактивная веб-страница который порождает примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.