Экспоненциальный объект - Exponential object

«Силовой объект» перенаправляется сюда. Для объектов власти в теории топоса см. топос.

В математика особенно в теория категорий, экспоненциальный объект или же объект карты является категоричным обобщением функциональное пространство в теория множеств. Категории со всем конечные продукты а экспоненциальные объекты называются декартовы закрытые категории. Категории (например, подкатегории из Вершина) без прилегающих продуктов может все еще иметь экспоненциальный закон.^[1][2]

Определение

Позволять ${\displaystyle \mathbf {C} }$ быть категорией, пусть ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle Y}$ быть объекты из ${\displaystyle \mathbf {C} }$, и разреши ${\displaystyle \mathbf {C} }$ есть все бинарные продукты с ${\displaystyle Y}$. Объект ${\textstyle Z^{Y}}$ вместе с морфизм ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z}$ является экспоненциальный объект если для любого объекта ${\displaystyle X}$ и морфизм ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ есть уникальный морфизм ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (называется транспонировать из ${\displaystyle g}$) такая, что следующая диаграмма ездит на работу:

Это присвоение уникального ${\displaystyle \lambda g}$ для каждого ${\displaystyle g}$ устанавливает изоморфизм из домашние наборы, ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Если ${\textstyle Z^{Y}}$существует для всех объектов ${\displaystyle Z,Y}$ в ${\displaystyle \mathbf {C} }$, то функтор ${\displaystyle (-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ определены на объектах ${\displaystyle Z\mapsto Z^{Y}}$ и на стрелках ${\displaystyle (f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})}$, это правый смежный к функтору произведения ${\displaystyle -\times Y}$. По этой причине морфизмы ${\displaystyle \lambda g}$ и ${\displaystyle g}$ иногда называют экспоненциальные сопряжения друг друга.^[3]

Уравнение определение

В качестве альтернативы экспоненциальный объект можно определить с помощью уравнений:

• Существование ${\displaystyle \lambda g}$ гарантируется наличием операции ${\displaystyle \lambda -}$.
• Коммутативность приведенных выше диаграмм обеспечивается равенством ${\displaystyle \forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g}$.
• Уникальность ${\displaystyle \lambda g}$ гарантируется равенством ${\displaystyle \forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h}$.

Универсальная собственность

Экспоненциальный ${\displaystyle Z^{Y}}$ дается универсальный морфизм из функтора произведения ${\displaystyle -\times Y}$ к объекту ${\displaystyle Z}$. Этот универсальный морфизм состоит из объекта ${\displaystyle Z^{Y}}$ и морфизм ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z}$.

Примеры

в категория наборов, экспоненциальный объект ${\displaystyle Z^{Y}}$ это набор всех функций ${\displaystyle Y\to Z}$.^[4] Карта ${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ это просто оценочная карта, который отправляет пару ${\displaystyle (f,y)}$ к ${\displaystyle f(y)}$. Для любой карты ${\displaystyle g\colon (X\times Y)\rightarrow Z}$ карта ${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ это карри форма ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle \lambda g(x)(y)=g(x,y).\,}$

А Алгебра Гейтинга ${\displaystyle H}$ просто ограниченный решетка это все экспоненциальные объекты. Heyting подтекст, ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$, является альтернативным обозначением для ${\displaystyle Z^{Y}}$. Приведенные выше результаты присоединения переводятся в импликацию (${\displaystyle \Rightarrow :H\times H\to H}$) существование правый смежный к встретить (${\displaystyle \wedge :H\times H\to H}$). Это присоединение можно записать как ${\displaystyle (-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)}$, или более полно как:

$${\displaystyle (-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)}$$

в категория топологических пространств, экспоненциальный объект ${\displaystyle Z^{Y}}$ существует при условии, что ${\displaystyle Y}$ это локально компактный Пространство Хаусдорфа. В этом случае пространство ${\displaystyle Z^{Y}}$ это набор всех непрерывные функции из ${\displaystyle Y}$ к ${\displaystyle Z}$ вместе с компактно-открытая топология. Оценочная карта такая же, как и в категории наборов; она является продолжением указанной выше топологии.^[5] Если ${\displaystyle Y}$ не является локально компактным по Хаусдорфу, экспоненциальный объект может не существовать (пространство ${\displaystyle Z^{Y}}$ все еще существует, но он может не быть экспоненциальным объектом, поскольку функция оценки не обязательно должна быть непрерывной). По этой причине категория топологических пространств не может быть декартово замкнутой, но и категория локально компактных топологических пространств не декартово замкнута, так как ${\displaystyle Z^{Y}}$ не обязательно быть локально компактным для локально компактных пространств ${\displaystyle Z}$ и ${\displaystyle Y}$. Декартова замкнутая категория пространств, например, задается полная подкатегория охватывает компактно порожденные хаусдорфовы пространства.

В функциональные языки программирования, морфизм ${\displaystyle \operatorname {eval} }$ часто называется ${\displaystyle \operatorname {apply} }$, а синтаксис ${\displaystyle \lambda g}$ часто написано ${\displaystyle \operatorname {curry} (g)}$. Морфизм ${\displaystyle \operatorname {eval} }$ здесь не следует путать с оценка функция в некоторых языки программирования, который оценивает выражения в кавычках.

Смотрите также

• Замкнутая моноидальная категория

Примечания

1. Экспоненциальный закон для пространств в nLab
2. Удобная категория топологических пространств в nLab
3. Голдблатт, Роберт (1984). «Глава 3: Стрелки вместо эпсилона». Топои: категориальный анализ логики. Исследования по логике и основам математики # 98 (пересмотренная ред.). Северная Голландия. п. 72. ISBN  978-0-444-86711-7.
4. Мак-Лейн, Сондерс (1978). «Глава 4: Смежные». категории для работающего математика. выпускные тексты по математике. 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 98. Дои:10.1007/978-1-4757-4721-8_5. ISBN  978-0387984032.
5. Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Спрингер-Верлаг ISBN  0-387-96678-1 (См. Доказательство в главе 11.)

Рекомендации

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Стрекер (2006) [1990]. Абстрактные и конкретные категории (Кошачьи радости). Джон Вили и сыновья.
• Awodey, Стив (2010). «Глава 6: Экспоненты». Теория категорий. Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0199237180.
• Маклейн, Сондерс (1998). «Глава 4: Смежные». Категории для работающего математика. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0387984032.

внешняя ссылка

• Интерактивная веб-страница который генерирует примеры экспоненциальных объектов и других категориальных конструкций. Написано Джоселин Пейн.