Многомерная алгебра - Higher-dimensional algebra - Wikipedia

В математика, особенно (выше ) теория категорий, многомерная алгебра это изучение категоризованный конструкции. Имеет приложения на неабелевском алгебраическая топология, и обобщает абстрактная алгебра.

Категории высших измерений

Основная статья: Теория категорий § многомерные категории

Первым шагом к определению алгебр более высоких измерений является концепция 2 категории из теория высших категорий, за которым следует более «геометрическая» концепция двойная категория.[1][2]

Таким образом, концепция более высокого уровня определяется как категория категорий или суперкатегории, которая обобщает на более высокие измерения понятие категория - рассматривается как любая структура, которая является интерпретацией Лавер аксиомы элементарная теория абстрактных категорий (ETAC).[3][4] Ll.

,[5][6] Таким образом, суперкатегория, а также суперкатегория, можно рассматривать как естественное расширение понятий мета-категория,[7] мультикатегория, и мультиграф, k-дольный граф, или же цветной график (см цветной рисунок, а также его определение в теория графов ).

Суперкатегории были впервые введены в 1970 году,[8] и впоследствии были разработаны для приложений в теоретическая физика (особенно квантовая теория поля и топологическая квантовая теория поля ) и математическая биология или же математическая биофизика.[9]

Другие пути в многомерной алгебре включают: бикатегории, гомоморфизмы бикатегорий, категории переменных (он же, проиндексировано или параметризованные категории ), Topoi, эффективный спуск, и обогащенный и внутренние категории.

Двойные группоиды

Основная статья: двойной группоид

В многомерная алгебра (HDA), а двойной группоид является обобщением одномерного группоид к двум измерениям,[10] и последний группоид можно рассматривать как частный случай категории со всеми обратимыми стрелками, или морфизмы.

Двойные группоиды часто используются для сбора информации о геометрический такие объекты, как многомерные многообразия (или же п-мерные многообразия ).[11] В целом п-мерное многообразие это пространство, которое локально выглядит как п-мерное евклидово пространство, но чья глобальная структура может быть неевклидов.

Двойные группоиды были впервые введены Рональд Браун в 1976 г., в исх.[11] и получили дальнейшее развитие для приложений в неабелевский алгебраическая топология.[12][13][14][15] Родственная, «двойная» концепция - это двойная алгеброид, и более общая концепция R-алгеброид.

Неабелева алгебраическая топология

Видеть Неабелева алгебраическая топология

Приложения

Теоретическая физика

В квантовая теория поля, существуют квантовые категории.[16][17][18] и квантовые двойные группоиды.[19] Квантовые двойные группоиды можно рассматривать как фундаментальные группоиды определяется через 2-функтор, что позволяет задуматься о физически интересном случае квантовые фундаментальные группоиды (QFG) с точки зрения бикатегория Промежуток (Группоиды), а затем построение 2-Гильбертовы пространства и 2-линейные карты для коллекторов и кобордизмы. На следующем шаге получаем кобордизмы с углами через естественные преобразования таких 2-функторов. Затем было заявлено, что группа датчиков SU (2), "расширенный TQFT, или ETQFT, дает теорию, эквивалентную Модель Понцано – Редже из квантовая гравитация ";[19] аналогично Модель Тураева – Виро будет тогда получен с представления SUq(2). Таким образом, можно описать пространство состояний калибровочной теории - или многих других квантовые теории поля (КТП) и локальной квантовой физики с точки зрения трансформационные группоиды задаются симметриями, как, например, в случае калибровочной теории, калибровочные преобразования действует на состояния, которые в данном случае являются связями. В случае симметрий, связанных с квантовые группы, можно получить структуры, которые являются категориями представления квантовые группоиды,[16] вместо 2-векторные пространства которые являются категориями представлений группоидов.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Brown, R .; Лодей, Ж.-Л. (1987). «Гомотопическое вырезание и теоремы Гуревича для п-кубики пространств ». Труды Лондонского математического общества. 54 (1): 176–192. CiteSeerX  10.1.1.168.1325. Дои:10.1112 / плмс / с3-54.1.176.
  2. ^ Батанин, М.А. (1998). «Моноидальные шаровые категории как естественная среда для теории слабого п-Категории ». Успехи в математике. 136 (1): 39–103. Дои:10.1006 / aima.1998.1724.
  3. ^ Ловер, Ф. В. (1964). «Элементарная теория категории множеств». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 52 (6): 1506–1511. Bibcode:1964ПНАС ... 52.1506Л. Дои:10.1073 / pnas.52.6.1506. ЧВК  300477. PMID  16591243. Архивировано из оригинал на 2009-08-12. Получено 2009-06-21.
  4. ^ Ловер, Ф. У .: 1966, Категория категорий как основа математики., In Proc. Конф. Категориальная алгебра - Ла Холья., Eilenberg, S. et al., Eds. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк, стр. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ В архиве 2009-08-12 в Wayback Machine
  5. ^ "Kryptowährungen und Physik - Planetphysics".
  6. ^ Ловер, Ф. В. (1969b). «Смежность в основах». Диалектика. 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX  10.1.1.386.6900. Дои:10.1111 / j.1746-8361.1969.tb01194.x. Архивировано из оригинал на 2009-08-12. Получено 2009-06-21.
  7. ^ "Kryptowährungen und Physik - Planetphysics". Архивировано из оригинал на 2009-08-14. Получено 2009-03-02.
  8. ^ Теория суперкатегорий @ PlanetMath
  9. ^ "Kryptowährungen und Physik - Planetphysics". Архивировано из оригинал на 2009-08-14. Получено 2009-03-02.
  10. ^ Brown, R .; Спенсер, Си Би (1976). «Двойные группоиды и скрещенные модули». Cahiers Top. Геом. Diff. 17: 343–362.
  11. ^ а б Brown, R .; Спенсер, Си Би (1976). «Двойные группоиды и скрещенные модули» (PDF). Cahiers Top. Геом. Diff. 17: 343–362. Архивировано из оригинал (PDF) на 24.07.2008.
  12. ^ "Kryptowährungen und Physik - Planetphysics". Архивировано из оригинал на 2009-08-14. Получено 2009-03-02.
  13. ^ Неабелева алгебраическая топология книга В архиве 2009-06-04 на Wayback Machine
  14. ^ Неабелева алгебраическая топология: высшие гомотопические группоиды фильтрованных пространств
  15. ^ Brown, R .; и другие. (2009). Неабелева алгебраическая топология: высшие гомотопические группоиды фильтрованных пространств (в прессе).[постоянная мертвая ссылка ]
  16. ^ а б http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html Квантовые категории квантовых группоидов.
  17. ^ http://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html Жесткие моноидальные категории
  18. ^ «Заметка о квантовых группоидах». 2009-03-18.
  19. ^ а б http://theoreticalatlas.wordpress.com/2009/03/18/a-note-on-quantum-groupoids/ 18 марта 2009 г. Заметка о квантовых группоидах, опубликованная Джеффри Мортоном по C * -алгебрам, теории деформаций, группоидам, некоммутативной геометрии, квантованию

дальнейшее чтение