Диадический рациональный - Dyadic rational

Диадические рациональные числа в интервале от 0 до 1.

Для любого данного простое число ${\displaystyle p}$, а п-адическая дробь или п-адический рациональный это рациональное число чья знаменатель, когда отношение выражается в минимальных (взаимно простых) членах, является мощность из ${\displaystyle p}$, т.е. число вида ${\displaystyle {\frac {a}{p^{b}}}}$ где а является целое число и б это натуральное число. Это как раз числа, обладающие конечным база -п позиционная система счисления расширение.

Когда ${\displaystyle p=2}$, они называются диадические дроби или диадические рациональные числа; например 1/2 или 3/8, но не 1/3.

Арифметика

В сумма, товар, или разница любых двух п-adic rationals сам по себе другой п-адический рациональный:

${\displaystyle {\frac {a}{p^{b}}}+{\frac {c}{p^{d}}}={\frac {p^{d-\min(b,d)}a+p^{b-\min(b,d)}c}{p^{\max(b,d)}}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{p^{b}}}-{\frac {c}{p^{d}}}={\frac {p^{d-b}a-c}{p^{d}}}\quad (d\geq b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{p^{b}}}-{\frac {c}{p^{d}}}={\frac {a-p^{b-d}c}{p^{b}}}\quad (d<b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{p^{b}}}\times {\frac {c}{p^{d}}}={\frac {a\times c}{p^{b+d}}}.}$

Однако результат разделение один п-адическая дробь другим не обязательно п-адическая дробь.

Дополнительные свойства

Поскольку они закрываются при сложении, вычитании и умножении, но не при делении, п-адические дроби - это кольцо но не поле. Как кольцо п-адические дроби - это подкольцо рациональных чисел Q, и исключение целых чисел Z. Алгебраически это подкольцо локализация целых чисел Z по набору полномочий п.

Набор всех п-адическая дробь плотный в реальная линия: любое действительное число Икс можно сколь угодно близко аппроксимировать диадическими рациональными числами вида ${\displaystyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$.По сравнению с другими плотными подмножествами вещественной прямой, такими как рациональные числа, п-адические рациональные числа - это в некотором смысле относительно «небольшое» плотное множество, поэтому они иногда встречаются в доказательствах. (См. Например Лемма Урысона для диадических рациональных существ.)

В п-адические дроби - это в точности те числа с конечной базой-п расширения. Их база-п расширения не уникальны; есть одно конечное и одно бесконечное представление каждого п-адический рациональный, отличный от 0 (игнорируя терминальные 0). Например, в двоичном (${\displaystyle p=2}$), 0.1₂ = 0.0111...₂ = 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1/2. Кроме того, 0,11₂ = 0.10111...₂ = 3/4.

Сложение по модулю 1 образует группу; это Prüfer p-group. (Это то же самое, что и факторгруппа из п-адические рациональные числа целыми числами.)

Двойная группа

Учитывая только операции сложения и вычитания п-adic rationals придает им структуру добавки абелева группа. В двойная группа из группа состоит из символы, гомоморфизмы групп в мультипликативную группу сложные числа, и в духе Понтрягинская двойственность двойственная группа добавки п-адические рациональные числа также можно рассматривать как топологическая группа. Это называется п-адический соленоид и является примером группа соленоидов и из проторус.

В п-адические рациональные прямой предел из бесконечный циклический подгруппы рациональных чисел,

${\displaystyle \varinjlim \left\{p^{-i}\mathbb {Z} \mid i=0,1,2,\dots \right\}}$

и их дуальная группа может быть построена как обратный предел из единичный круг группа под повторяющейся картой

${\displaystyle \zeta \mapsto \zeta ^{p}.}$

Элемент п-адический соленоид можно представить как бесконечную последовательность комплексных чисел q₀, q₁, q_п, ..., со свойствами, которые каждый q_я лежит на единичной окружности и для всех я > 0, q_я^п = q_{я - 1}. Групповая операция над этими элементами умножает любые две последовательности покомпонентно. Каждому элементу диадического соленоида соответствует характер п-адические рациональные числа, отображающие а/п^б к комплексному числу q_б^а. И наоборот, каждый персонаж χ из п-адические рациональные числа соответствуют элементу п-адический соленоид, заданный q_я = χ(1 / п^я).

Как топологическое пространство п-адический соленоид соленоид, и неразложимый континуум.^[1]

Связанные конструкции

В сюрреалистические числа генерируются повторяющимся принципом построения, который начинается с генерации всех конечных двоичных дробей, а затем переходит к созданию новых и странных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел.

Двоичный последовательность ван дер Корпута является равнораспределенный перестановка положительных диадических рациональных чисел.

Приложения

В метрологии

В дюйм обычно делится на двоичные, а не на десятичные дроби; аналогичным образом обычное деление галлон на полгаллона, кварты, и пинты диадичны. Древние египтяне также использовали двоичные дроби для измерения со знаменателем до 64.^[2]

В музыке

Размеры в западных нотная запись традиционно состоят из диадических дробей (например: 2/2, 4/4, 6/8 ...), хотя недиадические размеры были введены композиторами в двадцатом веке (например: 2 /., что буквально означало бы 2 /³⁄₈). Недиадические размеры называются иррациональный в музыкальной терминологии, но это использование не соответствует иррациональные числа математики, потому что они по-прежнему состоят из отношений целых чисел. Иррациональные размеры в математическом смысле очень редки, но один пример (√42/ 1) появляется в Конлон Нанкарроу с Этюды для фортепиано.

В вычислениях

Как тип данных, используемый компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительную или отрицательную степень двойки, и, таким образом, все числа, которые могут быть представлены, например, двоичными Типы данных с плавающей точкой IEEE диадические рациональности. То же верно и для большинства типы данных с фиксированной точкой, который также неявно использует степени двойки в большинстве случаев.

Топология

В общая топология, диадические дроби используются при доказательстве Лемма Урысона, который обычно считается одной из самых важных теорем в топологии.

Смотрите также

• Полуцелое число, диадическое рациональное число, образованное делением нечетного числа на два
• п-адическое число, система счисления, расширяющая п-adic рациональные
• Десятичные дроби или 10-адические рациональные числа

использованная литература

1. Надлер, С. Б. Младший (1973), "Неразложимость диадического соленоида", Американский математический ежемесячный журнал, 80 (6): 677–679, Дои:10.2307/2319174, JSTOR  2319174.
2. Кертис, Лоренцо Дж. (1978), «Концепция экспоненциального закона до 1900 года», Американский журнал физики, 46 (9): 896–906, Дои:10.1119/1.11512.