Полупримитивное кольцо - Semiprimitive ring

В алгебре полупримитивное кольцо или же Полупростое кольцо Якобсона или же J-полупростое кольцо кольцо, чье Радикал Якобсона равно нулю. Это тип кольца более общий, чем полупростое кольцо, но где простые модули еще достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, полупримитивны, а артистичный полупримитивное кольцо - это просто полупростое кольцо. Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые продукты из примитивные кольца, которые описываются Теорема плотности Джекобсона.

Определение

Кольцо называется полупримитивный или же Якобсон полупростой если это Радикал Якобсона это нулевой идеал.

Кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет верный полупростой левый модуль. Полупримитивность является симметричной слева и справа, поэтому кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет точный полупростой правый модуль.

Кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением левых примитивные кольца.

А коммутативное кольцо полупримитивен тогда и только тогда, когда он является подпрямым продуктом поля, (Лам 1995, п. 137).

Левый артистическое кольцо полупримитивен тогда и только тогда, когда он полупростой, (Лам 2001, п. 54). Такие кольца иногда называют полупростой артинианский, (Келарев 2002, п. 13).

Примеры

  • Кольцо целых чисел полупримитивно, но не полупросто.
  • Всякое примитивное кольцо полупримитивно.
  • Произведение двух полей полупримитивно, но не примитивно.
  • Каждые регулярное кольцо фон Неймана полупримитивно.

Якобсон сам определил кольцо как «полупростое» тогда и только тогда, когда оно является подпрямой продукт из простые кольца, (Якобсон 1989, п. 203). Однако это более строгое понятие, поскольку кольцо эндоморфизмов счетно бесконечномерного векторного пространства полупримитивно, но не является подпрямым произведением простых колец, (Лам 1995, п. 42).

Рекомендации

  • Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра II (2-е изд.), В. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-1933-5
  • Лам, Цит-Юэн (1995), Упражнения по классической теории колец, Задачи по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94317-6, Г-Н  1323431
  • Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс в некоммутативных кольцах, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95325-0
  • Келарев, Андрей В. (2002), Конструкции и приложения колец, World Scientific, ISBN  978-981-02-4745-4