Суперчастичное соотношение - Superparticular ratio

Просто диатонический полутон на C:¹⁶⁄₁₅ = ​¹⁵⁺¹⁄₁₅ = 1+​¹⁄₁₅ Играть в 

В математике сверхчастичное соотношение, также называемый сверхчастичное число или же эпиморическое соотношение, это соотношение двух последовательных целые числа.

В частности, соотношение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}}$ куда п это положительное число.

Таким образом:

Сверхчастное число - это когда большое число содержит меньшее число, с которым оно сравнивается, и в то же время одну его часть. Например, при сравнении 3 и 2 они содержат 2, плюс 3 имеет еще 1, что составляет половину от двух. Когда сравниваются 3 и 4, каждый из них содержит 3, а у 4 есть еще 1, что составляет треть от 3. Опять же, когда 5 и 4 сравниваются, они содержат число 4, а 5 - еще 1. , что является четвертой частью числа 4 и т. д.

— Throop (2006), ^[1]

О сверхчастичных отношениях писали Никомах в его трактате Введение в арифметику. Хотя эти числа находят применение в современной чистой математике, области исследований, которые чаще всего называют суперпартикулярными отношениями под этим названием: теория музыки^[2] и история математики.^[3]

Математические свойства

В качестве Леонард Эйлер наблюдаемые сверхчастичные числа (включая также умноженные суперсоставные отношения, числа, образованные добавлением целого числа, отличного от единицы, к единичной дроби) являются в точности рациональными числами, непрерывная дробь прекращается через два срока. Числа, у которых непрерывная дробь заканчивается одним членом, являются целыми числами, а остальные числа с тремя или более членами в их непрерывных дробях являются суперпартиент.^[4]

В Уоллис продукт

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

представляет собой иррациональное число π несколькими способами как произведение сверхчастичных соотношений и их обратных величин. Также возможно преобразовать Формула Лейбница для π в Произведение Эйлера суперчастных соотношений, в которых каждый член имеет простое число в числителе и ближайшем кратном четырех в знаменателе:^[5]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots }$

В теория графов сверхчастичные числа (точнее, их обратные 1/2, 2/3, 3/4 и т. д.) возникают через Теорема Эрдеша – Стоуна как возможные значения верхняя плотность бесконечного графа.^[6]

Другие приложения

При изучении гармония, много музыкальных интервалы может быть выражено в виде сверхчастичного отношения (например, из-за октавная эквивалентность девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как сверхчастичное соотношение 9/8). В самом деле, является ли соотношение сверхчастичным, было самым важным критерием в Птолемей Формулировка музыкальной гармонии.^[7] В этом приложении Теорема Стёрмера может использоваться для перечисления всех возможных суперчастных чисел для данного предел; то есть все отношения этого типа, в которых числитель и знаменатель равны гладкие числа.^[2]

Эти соотношения также важны для визуальной гармонии. Соотношения сторон 4: 3 и 3: 2 распространены в цифровая фотография,^[8] и соотношение сторон 7: 6 и 5: 4 используются в средний формат и большой формат фотография соответственно.^[9]

Названия соотношений и связанные интервалы

Каждая пара смежных положительных целых чисел представляет собой суперсоставное отношение, и аналогично каждая пара смежных гармоник в гармонический ряд (музыка) представляют собой сверхчастичное соотношение. Многие индивидуальные сверхчастичные отношения имеют свои собственные названия либо в исторической математике, либо в теории музыки. К ним относятся следующие:

Примеры

Соотношение	Центов	Название / музыкальный интервал	Бен Джонстон обозначение выше C	Аудио
2:1	1200	дуплекс:[а] октава	C '	Играть в
3:2	701.96	sesquialterum:[а] идеальный пятый	грамм	Играть в
4:3	498.04	сесквитерций:[а] идеальный четвертый	F	Играть в
5:4	386.31	полуторный:[а] большая треть	E	Играть в
6:5	315.64	полуторный:[а] второстепенная треть	E♭	Играть в
7:6	266.87	семеричная малая треть	E♭	Играть в
8:7	231.17	семеричная большая секунда	D-	Играть в
9:8	203.91	сесквиоктавум:[а] основная секунда	D	Играть в
10:9	182.40	сесквинона:[а] второстепенный тон	D-	Играть в
11:10	165.00	большая недесятичная нейтральная секунда	D↑♭-	Играть в
12:11	150.64	малая недесятичная нейтральная секунда	D↓	Играть в
15:14	119.44	септимальный диатонический полутон	C♯	Играть в
16:15	111.73	только диатонический полутон	D♭-	Играть в
17:16	104.96	минорный диатонический полутон	C♯	Играть в
21:20	84.47	семитральный хроматический полутон	D♭	Играть в
25:24	70.67	просто хроматический полутон	C♯	Играть в
28:27	62.96	семеричный третий тон	D♭-	Играть в
32:31	54.96	31-е субгармоника, нижняя четверть тона	D♭-	Играть в
49:48	35.70	септимальный дизис	D♭	Играть в
50:49	34.98	семеричный шестой тон	B♯-	Играть в
64:63	27.26	семеричная запятая, 63-я субгармоника	C-	Играть в
81:80	21.51	синтоническая запятая	C+	Играть в
126:125	13.79	семикомма	D	Играть в
128:127	13.58	127-я субгармоника		Играть в
225:224	7.71	септимальная клейзма	B♯	Играть в
256:255	6.78	255-я субгармоника	D-	Играть в
4375:4374	0.40	раджизм	C♯-	Играть в

Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского полуторный "полтора" (от полуфабрикаты "половинка" и -que «и»), описывающий соотношение 3: 2.

Примечания

1. Древнее имя

Цитаты

1. Труп, Присцилла (2006). Этимологии Исидора Севильского: Полный английский перевод, том 1, п. III.6.12, п. 7. ISBN  978-1-4116-6523-1.
2. Halsey, G.D .; Хьюитт, Эдвин (1972). «Еще о сверхчастичных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячный журнал. 79 (10): 1096–1100. Дои:10.2307/2317424. JSTOR  2317424. МИСТЕР  0313189.
3. Робсон, Элеонора; Стедалл, Жаклин (2008), Оксфордский справочник по истории математики, Издательство Оксфордского университета, ISBN  9780191607448. На стр. 123–124 в книге обсуждается классификация соотношений на различные типы, включая суперпартикулярные отношения, а также традиция, по которой эта классификация была передана от Никомаха Боэтию, Кампану, Орему и Клавию.
4. Леонард Эйлер; переведен на английский язык Майрой Ф. Вайман и Боствиком Ф. Вайманом (1985), "Очерк непрерывных дробей" (PDF), Математическая теория систем, 18: 295–328, Дои:10.1007 / bf01699475. См., В частности, стр. 304.
5. Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетия, World Scientific, стр. 214, г. ISBN  9781848165267.
6. Эрдеш, П.; Стоун, А. Х. (1946). «О структуре линейных графиков». Бюллетень Американского математического общества. 52 (12): 1087–1091. Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7.
7. Барбур, Джеймс Мюррей (2004), Тюнинг и темперамент: исторический обзор, Courier Dover Publications, стр. 23, ISBN  9780486434063, Первостепенным принципом в настройках Птолемея было использование сверхчастичных пропорций..
8. Анг, Том (2011), Основы цифровой фотографии, Пингвин, стр. 107, ISBN  9780756685263. Анг также отмечает формат 16: 9 (широкоформатный ) соотношение сторон является еще одним распространенным выбором для цифровой фотографии, но в отличие от 4: 3 и 3: 2 это соотношение не является сверхчастичным.
9. Соотношение сторон среднего формата 7: 6 - одно из нескольких возможных соотношений при использовании среднего формата. 120 фильм, а соотношение 5: 4 достигается двумя общими размерами для широкоформатной пленки: 4 × 5 дюймов и 8 × 10 дюймов. См. Например Шауб, Джордж (1999), Как фотографировать природу в черно-белом, Как фотографировать серию, 9, Stackpole Books, стр. 43, ISBN  9780811724500.

внешняя ссылка

• Суперчастные числа применяется для строительства пентатоника к Дэвид Кэнрайт.
• De Institutione Arithmetica, liber II к Аниций Манлий Северин Боэций