Неразложимый континуум - Indecomposable continuum

Первые четыре этапа построения ручки ковша как предела серии вложенных перекрестков.

В точечная топология, неразложимый континуум это континуум это неразложимое, то есть не может быть выражено как объединение любых двух своих правильный subcontinua. В 1910 г. Л. Э. Дж. Брауэр был первым, кто описал неразложимый континуум.

Неразложимые континуумы ​​использовались топологами как источник контрпримеры. Они также встречаются в динамические системы.

Определения

А континуум ${\displaystyle C}$ непусто компактный связанный метрическое пространство. Дуга, п-сфера, а Куб Гильберта являются примерами путь подключен континуум; то синусоида тополога и Варшавский круг являются примерами континуумов без линейной связности. А субконтинуум ${\displaystyle C'}$ континуума ${\displaystyle C}$ замкнутое связное подмножество ${\displaystyle C}$. Пространство невырожденный если он не равен одной точке. Континуум ${\displaystyle C}$ является разложимый если существует два субконтинуума ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle C}$ такой, что ${\displaystyle A\neq C}$ и ${\displaystyle B\neq C}$ но ${\displaystyle A\cup B=C}$. Неразложимый континуум - это неразложимый континуум. Континуум ${\displaystyle C}$ в котором каждый субконтинуум неразложим, называется наследственно неразложимый. А композитор неразложимого континуума ${\displaystyle C}$ - максимальное множество, в котором любые две точки лежат внутри некоторого собственного субконтинуума ${\displaystyle C}$. Континуум ${\displaystyle C}$ является несводимый между ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c'}$ если ${\displaystyle c,c'\in C}$ и никакой собственный субконтинуум не содержит обеих точек. Неразложимый континуум неприводим между любыми двумя своими точками.^[1]

История

Пятый этап озер Вада

В 1910 году Л. Э. Брауэр описал неразложимый континуум, опровергнув гипотезу, сделанную Артур Мориц Шенфлис что совместная граница двух открытых, связанных, непересекающихся множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ было объединением двух замкнутых, связанных собственных подмножеств.^[2] Зигмунт Янишевский описал больше таких неразложимых континуумов, в том числе вариант ручки ведра. Янишевский, однако, сосредоточил внимание на несводимости этих континуумов. В 1917 г. Кунидзо Йонеяма описал Озера Вада (названный в честь Такео Вада ), общая граница которого неразложима. В 1920-х годах неразложимые континуумы ​​начали изучать Варшавская математическая школа в Fundamenta Mathematicae ради самих себя, а не в качестве патологических контрпримеров. Стефан Мазуркевич был первым, кто дал определение неразложимости. В 1922 г. Бронислав Кнастер описал псевдодуга, первый найденный пример наследственно неразложимого континуума.^[3]

Пример ручки ковша

Неразложимые континуумы ​​часто строятся как предел последовательности вложенных пересечений или (в более общем смысле) как обратный предел последовательности континуумов. Ручка ведра, или континуум Брауэра – Янишевского – Кнастера, часто используется как простейший пример неразложимого континуума и может быть сконструирован таким образом (см. Верхний правый). В качестве альтернативы возьмите Троичный набор Кантора ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ проецируется на интервал ${\displaystyle [0,1]}$ из ${\displaystyle x}$-ось в самолете. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ семейство полукругов над ${\displaystyle x}$- ось с центром ${\displaystyle (1/2,0)}$ и с конечными точками на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (что симметрично относительно этой точки). Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ семейство полукругов ниже ${\displaystyle x}$-ось с центром в середине интервала ${\displaystyle [2/3,1]}$ и с конечными точками в ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$ семейство полукругов ниже ${\displaystyle x}$-ось с центром в середине интервала ${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$ и с конечными точками в ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$. Тогда объединение всех таких ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$ ручка ведра.^[4]

Ручка ковша не допускает поперечного сечения по Борелю, т.е. Набор Бореля содержащий ровно одну точку от каждого композитора.

Свойства

В некотором смысле «большинство» континуумов неразложимы. Позволять ${\displaystyle M}$ быть ${\displaystyle n}$-ячейка с участием метрика ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle 2^{M}}$ множество всех непустых замкнутых подмножеств ${\displaystyle M}$, и ${\displaystyle C(M)}$ то гиперпространство всех связанных членов ${\displaystyle 2^{M}}$ оснащен Метрика Хаусдорфа ${\displaystyle H_{d}}$ определяется ${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$. Тогда множество невырожденных неразложимых подконтинуумов ${\displaystyle M}$ является плотный в ${\displaystyle C(M)}$.

В динамических системах

В 1932 г. Джордж Биркофф описал свою «замечательную замкнутую кривую», гомеоморфизм кольца, содержащего инвариантный континуум. Мари Шарпантье показал, что этот континуум неразложим, первое звено от неразложимых континуумов к динамическим системам. Инвариантное множество некоторого Смейла карта подковы ручка ведра. Марси Бардж и другие широко изучали неразложимые континуумы ​​в динамических системах.^[5]

Смотрите также

• Неразложимость
• Озера Вада, три открытых подмножества плоскости, граница которых является неразложимым континуумом
• Соленоид
• Ковер Серпинского

использованная литература

1. Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: введение. CRC Press. ISBN  9781351990530.
2. Брауэр, Л. Э. Дж. (1910), "Zur Analysis Situs" (PDF), Mathematische Annalen, 68 (3): 422–434, Дои:10.1007 / BF01475781
3. Повар, Ховард; Инграм, Уильям Т .; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Continua: с Хьюстонской проблемной книгой. CRC Press. п. 103. ISBN  9780824796501.
4. Ingram, W. T .; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные ограничения: от континуа к хаосу. Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN  9781461417972.
5. Кеннеди, Джуди (1 декабря 1993 г.). «Как неразложимые континуумы ​​возникают в динамических системах». Летопись Нью-Йоркской академии наук. 704 (1): 180–201. Дои:10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x. ISSN  1749-6632.

внешние ссылки

• Солецкий, С. (2002). «Дескриптивная теория множеств в топологии». В Гушеке, М .; Ван Милл, Дж. (ред.). Последние достижения в общей топологии II. Эльзевир. С. 506–508. ISBN  978-0-444-50980-2.
• Кассельман, Билл (2014), «О обложке» (PDF), Уведомления AMS, 61: 610, 676 объясняет картину Брауэра о его неразложимом континууме, которая появляется на передняя крышка журнала.