Псевдо-дуга - Pseudo-arc

В общая топология, то псевдодуга простейший невырожденный по наследству неразложимый континуум. Псевдодуга похожа на дугу. однородный континуум и сыграл центральную роль в классификации однородных плоских континуумов. Р. Х. Бинг доказал, что в некотором определенном смысле большинство континуумов в р^п, п ≥ 2, гомеоморфны псевдодуге.

История

В 1920 г. Бронислав Кнастер и Казимеж Куратовски спросил, может ли невырожденный однородный континуум в евклидовой плоскости р² должен быть Кривая Иордании. В 1921 г. Стефан Мазуркевич спросил, есть ли невырожденный континуум в р² это гомеоморфный каждому из его невырожденных субконтинуумов должна быть дуга. В 1922 году Кнастер открыл первый пример наследственно неразложимого континуума. K, позже названный псевдодугой, что дает отрицательный ответ на вопрос Мазуркевича. В 1948 г. Р. Х. Бинг доказал, что континуум Кнастера однороден, т.е. для любых двух его точек существует гомеоморфизм, переводящий одну в другую. Но и в 1948 году Эдвин Моис показал, что континуум Кнастера гомеоморфен каждому из своих невырожденных субконтинуумов. Из-за его сходства с фундаментальным свойством дуги, а именно гомеоморфностью всем ее невырожденным субконтинуумам, Моис назвал свой пример M а псевдодуга.^[а] Конструкция Бинга является модификацией конструкции Моисея M, о которой он впервые услышал в своей лекции. В 1951 году Бинг доказал, что все наследственно неразложимые дугообразные континуумы ​​гомеоморфны - отсюда следует, что K, Моисея M, и Bing B все гомеоморфны. Бинг также доказал, что псевдодуга типична для континуумов в евклидовом пространстве размерности не менее 2 или бесконечномерном сепарабельном пространстве. Гильбертово пространство.^[b] Bing и Ф. Бертон Джонс построил разложимый плоский континуум, допускающий открытое отображение на окружность, причем прообраз каждой точки гомеоморфен псевдодуге, названный кругом псевдодуг. Бинг и Джонс также показали, что он однороден. В 2016 году Логан Хоэн и Лекс Оверстейген классифицировали все плоские однородные континуумы ​​с точностью до гомеоморфизма как окружность, псевдодугу и окружность псевдодуг. В 2019 году Хоэн и Оверстейген показали, что псевдодуга является топологически единственным, кроме дуги, наследственно эквивалентным плоским континуумом, таким образом обеспечивая полное решение плоского случая проблемы Мазуркевича 1921 года.

строительство

Следующая конструкция псевдодуги следует (Уэйн Льюис 1999 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWayne_Lewis1999 (Помогите).

Цепи

В основе определения псевдодуги лежит концепция цепь, который определяется следующим образом:

А цепь это конечный набор из открытые наборы ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}\}}$ в метрическое пространство такой, что ${\displaystyle C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset }$ если и только если ${\displaystyle |i-j|\leq 1.}$ В элементы цепи называются ее ссылки, а цепь называется ε-цепочка если каждая из его ссылок имеет диаметр меньше ε.

Псевдодуга, будучи самым простым из перечисленных выше типов пространств, на самом деле очень сложна. Концепция цепного существа кривой (определенный ниже) - это то, что наделяет псевдодугу ее сложностью. Неформально это требует, чтобы цепочка следовала определенному рекурсивный зигзагообразный узор в другой цепочке. Чтобы "переехать" из м-е звено большей цепи к п-го, меньшая цепь сначала должна криво отойти от мссылка на (п-1) -я ссылка, потом криво на (м+1) -я ссылка, а затем, наконец, на п-я ссылка.

Более формально:

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ быть такими цепями, что

1. каждая ссылка ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является подмножеством ссылки ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, и
2. по любым показателям я, j, м, и п с участием ${\displaystyle D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset }$, ${\displaystyle D_{j}\cap C_{n}\neq \emptyset }$, и ${\displaystyle m<n-2}$, существуют индексы ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \ell }$ с участием ${\displaystyle i<k<\ell <j}$ (или ${\displaystyle i>k>\ell >j}$) и ${\displaystyle D_{k}\subseteq C_{n-1}}$ и ${\displaystyle D_{\ell }\subseteq C_{m+1}.}$

потом ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является кривой в ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Псевдо-дуга

Для любой коллекции C наборов, пусть ${\displaystyle C^{*}}$ обозначают объединение всех элементов C. То есть пусть

${\displaystyle C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.}$

В псевдодуга определяется следующим образом:

Позволять п и q быть различными точками на плоскости и ${\displaystyle \left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$ последовательность цепочек на плоскости такая, что для каждого я,

1. первая ссылка ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$ содержит п и последняя ссылка содержит q,
2. цепь ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$ это ${\displaystyle 1/2^{i}}$-цепочка,
3. закрытие каждой ссылки ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$ является подмножеством некоторого звена ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$, и
4. цепь ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$ искривлен в ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$.

Позволять

${\displaystyle P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.}$

потом п это псевдодуга.

использованная литература

Заметки

1. Позже Джордж В. Хендерсон показал, что разложимый континуум, гомеоморфный всем своим невырожденным субконтинуумам, должен быть дугой.^[1]
2. История открытия псевдодуги описана в,^[2] pp 228–229.

Цитаты

1. Хендерсон 1960. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFHenderson1960 (Помогите)
2. Надлер 1992. Ошибка sfn: нет цели: CITEREFNadler1992 (Помогите)

Список используемой литературы

• Р. Х. Бинг, Однородный неразложимый плоский континуум, Duke Math. J., 15: 3 (1948), 729–742
• Р. Х. Бинг, О наследственно неразложимых континуумах, Pacific J. Math., 1 (1951), 43–51
• Р. Х. Бинг и Ф. Бертон Джонс, "Другой однородный плоский континуум", Trans. Амер. Математика. Soc. 90 (1959), 171–192
• Хендерсон, Джордж У. «Доказательство того, что каждый компактный разложимый континуум, который топологически эквивалентен каждому из его невырожденных подконтинуумов, является дугой». Анна. математики. (2) 72 (1960), 421–428
• L.C. Хоэн и Оверстейген, Л., "Полная классификация однородных плоских континуумов". Acta Math. 216 (2016), нет. 2, 177-216.
• L.C. Хоэн и Оверстейген, Л., "Полная классификация наследственно эквивалентных плоских континуумов". Adv. Математика. 368 (2020), 107131, 8 с; "arXiv: 1812.08846 ".
• Тревор Ирвин и Славомир Солецки, Проективные пределы Фраиссе и псевдодуга, Пер. AMS, 358: 7 (2006), 3077-3096.
• Казухиро Кавамура, «О гипотезе Вуда», Glasg. Математика. J. 47 (2005) 1–5
• Бронислав Кнастер, Un Continuous Dont tout sous -contin est неразложимый. Fundamenta Mathematicae 3 (1922): стр. 247–286.
• Уэйн Льюис, Псевдо-дуга, Бол. Soc. Мат. Mexicana, 5 (1999), 25–77.
• Уэйн Льюис и Петр Минк, Рисование псевдодуги, Houston J. Math. 36 (2010), 905-934.
• Эдвин Моис, Неразложимый плоский континуум, гомеоморфный каждому из своих невырожденных подконтинуумов, Пер. Амер. Математика. Soc., 63, вып. 3 (1948), 581–594
• Надлер, Сэм Б., мл. "Теория континуума. Введение". Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 158. Marcel Dekker, Inc., New York, 1992. xiv + 328 с. ISBN  0-8247-8659-9
• Фернандо Рамбла, "Контрпример к гипотезе Вуда", J. Math. Анальный. Appl. 317 (2006) 659–667.
• Лассе Ремпе-Жиллен, "Дугообразные континуумы, множества Жюлиа целых функций и гипотеза Еременко", "arXiv: 1610.06278v3 "