Синусоидальная кривая топологов - Topologists sine curve - Wikipedia

В филиале математика известный как топология, то синусоида тополога или же Варшавская синусоида это топологическое пространство с несколькими интересными свойствами, которые делают его важным примером из учебника.

Его можно определить как график функции sin (1 /Икс) на полуоткрытый интервал (0, 1] вместе с началом координат в топологии индуцированный от Евклидова плоскость:

${\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}$

Изображение кривой

В качестве Икс приближается к нулю справа, величина скорости изменения 1 /Икс увеличивается. Вот почему частота синусоидальной волны увеличивается при перемещении влево на графике.

Характеристики

Синусоидальная кривая тополога Т является связаны но ни то, ни другое локально связанный ни путь подключен. Это потому, что он включает точку (0,0), но нет способа связать функцию с началом координат, чтобы сделать дорожка.

Космос Т - непрерывный образ локально компактный пространство (а именно, пусть V - пространство {−1} ∪ (0, 1], и используем отображение ж из V к Т определяется ж(−1) = (0,0) и ж(Икс) = (Икс, грех (1 /Икс)) за Икс > 0), но Т не является локально компактным.

В топологическая размерность из Т равно 1.

Варианты

Два варианта синусоиды тополога обладают и другими интересными свойствами.

В синусоида замкнутого тополога можно определить, взяв синусоидальную кривую тополога и добавив ее набор предельные точки, ${\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}$. Это пространство замкнуто и ограничено, поэтому компактный посредством Теорема Гейне – Бореля, но имеет те же свойства, что и синусоида тополога - она ​​тоже связана, но не связана ни локально, ни линейно.

В расширенная синусоида тополога можно определить, взяв замкнутую синусоидальную кривую тополога и добавив к ней множество ${\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}$. это соединенная дуга но нет локально связанный.

Смотрите также

• Список топологий
• Варшавский круг

Рекомендации

• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., стр. 137–138, ISBN  978-0-486-68735-3, МИСТЕР  1382863
• Вайсштейн, Эрик В. "Синусоидальная кривая тополога". MathWorld.