Дифференциальная градуированная алгебра - Differential graded algebra

Эта статья о (со) цепных комплексах. Для алгебры с дифференцированием см. дифференциальная алгебра.

В математика, особенно абстрактная алгебра и топология, а дифференциальная градуированная алгебра это градуированная алгебра с добавленным цепной комплекс структура, которая уважает структуру алгебры.

Определение

А дифференциальная градуированная алгебра (или просто DG-алгебра) А градуированная алгебра с отображением ${\displaystyle d\colon A\to A}$ который имеет либо степень 1 (соглашение о комплексных коцепях), либо степень ${\displaystyle -1}$ (соглашение о цепном комплексе), которое удовлетворяет двум условиям:

1. ${\displaystyle d\circ d=0}$.
   Это говорит, что d дает А структура цепной комплекс или же коцепьевой комплекс (соответственно по мере уменьшения или повышения степени дифференциала).
2. ${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)}$, где deg - степень однородных элементов.
   Это говорит о том, что дифференциал d уважает оцененный Правило Лейбница.

Более сжатый способ сформулировать то же определение - сказать, что DG-алгебра - это моноидный объект в моноидальная категория цепных комплексов. DG-морфизм DG-алгебр - это гомоморфизм градуированных алгебр, учитывающий d.

А дифференцированно дополненная алгебра (также называемый DGA-алгебра, расширенная DG-алгебра или просто DGA) является DG-алгеброй с морфизмом DG в основное кольцо (терминология связана с Анри Картан ).^[1]

Предупреждение: в некоторых источниках используется термин DGA для DG-алгебры.

Примеры DG-алгебр

Тензорная алгебра

В тензорная алгебра является DG-алгеброй с дифференциалом, аналогичным дифференциалу комплекса Кошуля. Для векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$ есть градуированное векторное пространство ${\displaystyle T(V)}$ определяется как

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{k}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}}$

куда ${\displaystyle V^{\otimes 0}=k}$. Если ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ это основа для ${\displaystyle V}$ есть дифференциал ${\displaystyle d}$ на тензорной алгебре, определенной покомпонентно

${\displaystyle d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)}$

отправка базовых элементов в

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{i_{1}\leq i_{j}\leq i_{k}}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots e_{i_{k}}}$

Это имеет канонический продукт, заданный тензорными элементами

${\displaystyle (e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})\cdot (e_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{j_{l}})=e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}\otimes e_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{j_{l}}}$

Кошульский комплекс

Одним из основополагающих примеров дифференциальной градуированной алгебры, широко используемой в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, является Кошульский комплекс. Это связано с его широким спектром приложений, включая создание плоские разрешения полных пересечений, а от производная перспектива, они дают производную алгебру, представляющую производное критическое множество.

Алгебра Де-Рама

Дифференциальные формы на многообразие вместе с внешнее происхождение и внешний продукт образуют DG-алгебру. Они имеют широкое применение, в том числе в производная теория деформации.^[2] Смотрите также когомологии де Рама.

Сингулярные когомологии

• В особые когомологии топологического пространства с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ является DG-алгеброй: дифференциал задается Гомоморфизм Бокштейна связана с короткой точной последовательностью ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$, а произведение задается чашка продукта. Эта дифференциальная градуированная алгебра использовалась для вычисления когомологий Пространства Эйленберга – Маклейна на семинаре Картана.^[3][4]

Другие факты о DG-алгебрах

• В гомология ${\displaystyle H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)}$ DG-алгебры ${\displaystyle (A,d)}$ является градуированной алгеброй. Гомологиями DGA-алгебры является дополненная алгебра.

Смотрите также

• Гомотопическая ассоциативная алгебра
• Дифференциальная градуированная категория
• Дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Дифференциально-градуированная схема (которое получается склейкой спектров градуированно-коммутативных дифференциальных градуированных алгебр относительно этальной топологии.)
• Дифференциальный градиентный модуль

Рекомендации

1. Картан, Анри (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane" ${\displaystyle H(\Pi ,n)}$". Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 40 (6): 467–471. Дои:10.1073 / пнас.40.6.467. ЧВК  534072. PMID  16589508.
2. Манетти. «Дифференциальные градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 16 июня 2013 г.
3. Картан, Х. (1954–1955). "DGA-элементы и DGA-модули". Семинэр Анри Картан. 7 (1): 1–9.
4. Картан, Х. (1954–1955). «DGA-модули (комплект), понятие де конструкции». Семинэр Анри Картан. 7 (1): 1–11.

• Манин Юрий Иванович; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-43583-9см. разделы V.3 и V.5.6