Слабое решение - Weak solution

В математика, а слабое решение (также называемый обобщенное решение) для обычный или же уравнение в частных производных это функция для которого не все производные могут существовать, но который, тем не менее, считается удовлетворяющим уравнению в некотором точно определенном смысле. Существует множество различных определений слабого решения, подходящих для разных классов уравнений. Один из наиболее важных основан на понятии распределения.

Избегая языка распределений, мы начинаем с дифференциального уравнения и переписываем его таким образом, чтобы не отображались производные от решения уравнения (новая форма называется слабая формулировка, и ее решения называются слабые решения). Как ни странно, дифференциальное уравнение может иметь решения, не являющиеся дифференцируемый; а слабая формулировка позволяет находить такие решения.

Слабые решения важны, потому что очень многие дифференциальные уравнения, встречающиеся при моделировании реальных явлений, не допускают достаточно гладких решений, и единственный способ решения таких уравнений - использовать слабую формулировку. Даже в ситуациях, когда уравнение действительно имеет дифференцируемые решения, часто бывает удобно сначала доказать существование слабых решений, а только потом показать, что эти решения на самом деле достаточно гладкие.

Конкретный пример

В качестве иллюстрации концепции рассмотрим первый порядок волновое уравнение:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+{frac {partial u}{partial x}}=0quad quad (1)}$

куда ты = ты(т, Икс) является функцией двух настоящий переменные. Косвенно исследовать свойства возможного решения ты, интегрируется с произвольным гладкая функция ${displaystyle varphi ,!}$ из компактная опора, известный как тестовая функция, принимая ${displaystyle extstyle int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }u(x,y),varphi (x,t),dx,dt}$. Например, если φ - гладкое распределение вероятностей, сосредоточенное около точки ${displaystyle (x,t)=(x_{circ },y_{circ })}$, интеграл приблизительно равен ${displaystyle u(x_{circ },t_{circ })}$. Обратите внимание, что, хотя интегралы идут от −∞ к ∞, они по существу лежат над конечным ящиком, где ${displaystyle varphi ,!}$ не равно нулю.

Итак, предположим решение ты является непрерывно дифференцируемый на Евклидово пространство р², умножим уравнение (1) на тестовую функцию φ (гладкая или компактная опора) и интегрировать:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }{frac {partial u(t,x)}{partial t}}varphi (t,x),mathrm {d} t,mathrm {d} x+int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }{frac {partial u(t,x)}{partial x}}varphi (t,x),mathrm {d} t,mathrm {d} x=0.}$

С помощью Теорема Фубини что позволяет менять порядок интеграции, а также интеграция по частям (в т на первый срок и в Икс для второго члена) это уравнение принимает вид:

${displaystyle -int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }u(t,x){frac {partial varphi (t,x)}{partial t}},mathrm {d} t,mathrm {d} x-int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }u(t,x){frac {partial varphi (t,x)}{partial x}},mathrm {d} t,mathrm {d} x=0.quad quad (2)}$

(Граничные условия исчезают, поскольку φ равен нулю вне конечного ящика.) Мы показали, что уравнение (1) влечет уравнение (2) до тех пор, пока ты непрерывно дифференцируемо.

Ключ к концепции слабого решения состоит в том, что существуют функции ты которые удовлетворяют уравнению (2) для любых φ, но такие ты могут быть не дифференцируемыми и поэтому не могут удовлетворять уравнению (1). Примером является ты(т, Икс) = |т − Икс|, что можно проверить, разбив интегралы по областям Икс ≥ т и Икс ≤ т куда ты гладкий, и обращение вышеуказанного вычисления с использованием интегрирования по частям. А слабое решение уравнения (1) означает любой решение ты уравнения (2) по всем тестовым функциям φ.

Общий случай

Общая идея, которая следует из этого примера, заключается в том, что при решении дифференциального уравнения в ты, его можно переписать, используя функция тестирования ${displaystyle varphi ,!}$, так что любые производные в ты появляются в уравнении, они "передаются" интегрированием по частям в ${displaystyle varphi ,!}$, что приводит к уравнению без производных от ты. Это новое уравнение обобщает исходное уравнение, чтобы включать решения, которые не обязательно дифференцируемы.

Проиллюстрированный выше подход работает в большинстве случаев. Действительно, рассмотрим линейный дифференциальный оператор в открытый набор W в р^n:

${displaystyle P(x,partial )u(x)=sum a_{alpha _{1},alpha _{2},dots ,alpha _{n}}(x),partial ^{alpha _{1}}partial ^{alpha _{2}}cdots partial ^{alpha _{n}}u(x),}$

где мультииндекс (α₁, α₂, ..., α_п) меняется на некотором конечном множестве в N^п а коэффициенты ${displaystyle a_{alpha _{1},alpha _{2},dots ,alpha _{n}}}$ являются достаточно гладкими функциями Икс в р^п.

Дифференциальное уравнение п(Икс, ∂)ты(Икс) = 0 после умножения на гладкую тестовую функцию ${displaystyle varphi ,!}$ с компактной опорой в W и объединенные по частям, можно записать как

${displaystyle int _{W}u(x)Q(x,partial )varphi (x),mathrm {d} x=0}$

где дифференциальный оператор Q(Икс, ∂) задается формулой

${displaystyle Q(x,partial )varphi (x)=sum (-1)^{|alpha |}partial ^{alpha _{1}}partial ^{alpha _{2}}cdots partial ^{alpha _{n}}left[a_{alpha _{1},alpha _{2},dots ,alpha _{n}}(x)varphi (x)ight].}$

Номер

${displaystyle (-1)^{|alpha |}=(-1)^{alpha _{1}+alpha _{2}+cdots +alpha _{n}}}$

появляется потому что нужно α₁ + α₂ + ... + α_п интегрирования по частям для переноса всех частных производных от ты к ${displaystyle varphi ,!}$ в каждом члене дифференциального уравнения, и каждое интегрирование по частям влечет за собой умножение на -1.

Дифференциальный оператор Q(Икс, ∂) - формальный присоединенный из п(Икс, ∂) (ср. помощник оператора ).

Таким образом, если исходной (сильной) проблемой было найти |α| -кратно дифференцируемая функция ты определено на открытом множестве W такой, что

${displaystyle P(x,partial )u(x)=0{ ext{ for all }}xin W}$

(так называемый сильное решение), то интегрируемая функция ты можно было бы сказать, что это слабое решение если

${displaystyle int _{W}u(x),Q(x,partial )varphi (x),mathrm {d} x=0}$

для каждой гладкой функции ${displaystyle varphi ,!}$ с компактной опорой в W.

Другие виды слабых решений

Понятие слабого решения, основанного на распределениях, иногда неадекватно. В случае гиперболические системы, понятие слабого решения, основанного на распределениях, не гарантирует единственности, и его необходимо дополнить энтропийные условия или какой-то другой критерий выбора. В полностью нелинейных УЧП, таких как Уравнение Гамильтона – Якоби, существует совсем другое определение слабого решения, которое называется вязкость раствора.

Рекомендации

• Эванс, Л. С. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2.