Вязкость раствора - Viscosity solution - Wikipedia

В математика, то вязкость раствора концепция была представлена ​​в начале 1980-х годов Пьер-Луи Лайонс и Майкл Дж. Крэндалл как обобщение классической концепции того, что подразумевается под «решением» уравнение в частных производных (PDE). Было обнаружено, что решение вязкости является естественной концепцией решения, используемой во многих приложениях PDE, включая, например, уравнения первого порядка, возникающие в динамическое программирование (в Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. ), дифференциальные игры (в Уравнение Гамильтона – Якоби – Айзекса. ) или задачи фронтальной эволюции,^[1] а также уравнения второго порядка, такие как те, которые возникают в стохастическом оптимальном управлении или стохастических дифференциальных играх.

Классическая концепция заключалась в том, что PDE

${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$

над доменом ${\displaystyle x\in \Omega }$ есть решение, если мы сможем найти функция ты(Икс) непрерывна и дифференцируема во всей области такая, что ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle Du}$, ${\displaystyle D^{2}u}$ удовлетворяют вышеуказанному уравнению в каждой точке.

Если скалярное уравнение является вырожденным эллиптическим (определенным ниже), можно определить тип слабое решение называется вязкость раствора.По концепции вязкого раствора ты не обязательно везде дифференцировать. Могут быть точки, где либо ${\displaystyle Du}$ или же ${\displaystyle D^{2}u}$ не существует и пока ты удовлетворяет уравнению в подходящем обобщенном смысле. Определение допускает только определенный вид особенностей, так что существование, единственность и устойчивость при однородных пределах справедливы для большого класса уравнений.

Определение

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать определение вязкостных растворов. См., Например, раздел II.4 книги Флеминга и Сонера.^[2] или определение с использованием полу-форсунок в Руководстве пользователя.^[3]

Вырожденный эллиптический

Уравнение ${\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}$ в домене ${\displaystyle \Omega }$ определяется как вырожденный эллиптический если для любых двух симметричных матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ такой, что ${\displaystyle Y-X}$ является положительно определенный, и любые значения ${\displaystyle x\in \Omega }$, ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$, имеем неравенство ${\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)}$. Например, ${\displaystyle -\Delta u=0}$ является вырожденным эллиптическим, поскольку в этом случае ${\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{trace}}(X)}$, а след из ${\displaystyle X}$ является суммой собственных значений. Любое вещественное уравнение первого порядка является вырожденным эллиптическим.

Subsolution

An полунепрерывный сверху функция ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle \Omega }$ определяется как субрешение вырожденного эллиптического уравнения в чувство вязкости если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой ${\displaystyle C^{2}}$ функция ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \geq u}$ в район из ${\displaystyle x_{0}}$, у нас есть ${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$.

Сверхрешение

А полунепрерывный снизу функция ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle \Omega }$ определяется как сверхрешение вырожденного эллиптического уравнения в чувство вязкости если для любой точки ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ и любой ${\displaystyle C^{2}}$ функция ${\displaystyle \phi }$ такой, что ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ и ${\displaystyle \phi \leq u}$ в район из ${\displaystyle x_{0}}$, у нас есть ${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$.

Вязкость раствора

А непрерывная функция ты это вязкость раствора PDE, если это одновременно суперрешение и субрешение.

Пример

Рассмотрим краевую задачу ${\displaystyle |u'(x)|=1}$, или же ${\displaystyle F(u')=|u'|-1=0}$, на ${\displaystyle (-1,1)}$ с граничными условиями ${\displaystyle u(-1)=u(1)=0}$. Функция ${\displaystyle u(x)=1-|x|}$ раствор с уникальной вязкостью. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что граничные условия выполнены, и ${\displaystyle |u'(x)|=1}$ хорошо выражен внутри, за исключением ${\displaystyle x=0}$. Таким образом, осталось показать, что условия субрешения и суперрешения выполняются при ${\displaystyle x=0}$.

Сначала предположим, что ${\displaystyle \phi (x)}$ любая функция дифференцируема в ${\displaystyle x=0}$ с ${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$ и ${\displaystyle \phi (x)\geq u(x)}$ возле ${\displaystyle x=0}$. Из этих предположений следует, что ${\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|}$. Для положительного ${\displaystyle x}$, из этого неравенства следует ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1}$, используя это ${\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1}$ за ${\displaystyle x>0}$. С другой стороны, для ${\displaystyle x<0}$у нас есть это ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$. Потому что ${\displaystyle \phi }$ дифференцируема, левый и правый пределы совпадают и равны ${\displaystyle \phi '(0)}$, и поэтому заключаем, что ${\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1}$, т.е. ${\displaystyle F(\phi ')\leq 0}$. Таким образом, ${\displaystyle u}$ является субрешением. Более того, тот факт, что ${\displaystyle u}$ является сверхрешением вакуумно, так как не существует функции ${\displaystyle \phi (x)}$ дифференцируемый на ${\displaystyle x=0}$ с ${\displaystyle \phi (0)=u(0)=1}$ и ${\displaystyle \phi (x)\leq u(x)}$ возле ${\displaystyle x=0}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle u}$ представляет собой вязкостный раствор.

Обсуждение

Семейство решений ${\displaystyle u_{\epsilon }}$ сходится к ${\displaystyle u(x)=1-|x|}$.

Предыдущая краевая задача представляет собой уравнение эйконала в одном пространственном измерении с ${\displaystyle f=1}$, где решение, как известно, есть знаковая функция расстояния к границе области. Также обратите внимание на важность знака в предыдущем примере. ${\displaystyle F}$. В частности, вязкость раствора для PDE ${\displaystyle -F=0}$ с такими же граничными условиями ${\displaystyle u(x)=|x|-1}$. Это можно объяснить, заметив, что решение ${\displaystyle u(x)=1-|x|}$ является предельным решением проблемы исчезающей вязкости ${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$ в качестве ${\displaystyle \epsilon }$ стремится к нулю, а ${\displaystyle u(x)=|x|-1}$ является предельным решением проблемы исчезающей вязкости ${\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\epsilon u''}$.^[4] Нетрудно подтвердить, что ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)=\epsilon [\ln(\cosh(1/\epsilon ))-\ln(\cosh(x/\epsilon ))}$ решает PDE ${\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''}$ для каждого эпсилона. Далее семейство решений ${\displaystyle u_{\epsilon }}$ сходятся к решению ${\displaystyle u=1-|x|}$ в качестве ${\displaystyle \epsilon }$ исчезает (см. рисунок).

Основные свойства

Три основных свойства вязкостных растворов: существование, уникальность и стабильность.

• В уникальность решений требует некоторых дополнительных структурных предположений на уравнение. Тем не менее, это можно показать для очень большого класса вырожденных эллиптических уравнений.^[3] Это прямое следствие принцип сравнения. Вот несколько простых примеров, в которых соблюдается принцип сравнения:

1. ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0}$ с ЧАС равномерно непрерывный в Икс.
2. (Равномерно эллиптический случай) ${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0}$ так что ${\displaystyle F}$ липшицево по всем переменным и для каждого ${\displaystyle r\leq s}$ и ${\displaystyle X\geq Y}$, ${\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||}$ для некоторых ${\displaystyle \lambda >0}$.

• В существование решений выполняется во всех случаях, когда выполняется принцип сравнения и граничные условия могут быть выполнены каким-либо образом (через барьерные функции в случае Граничное условие Дирихле ). Для уравнений первого порядка его можно получить с помощью исчезающая вязкость метод^[5] или для большинства уравнений с использованием метода Перрона.^[6][7] Существует обобщенное понятие граничного условия, в смысле вязкости. Решение краевой задачи с обобщенными граничными условиями разрешимо, если выполняется принцип сравнения.^[3]
• В стабильность решений в ${\displaystyle L^{\infty }}$ выполняется следующим образом: локально единый предел последовательности решений (или субрешений, или суперрешений) является решением (или субрешением, или суперрешением). В более общем смысле, понятие суб- и сверхрешений вязкости также сохраняется за счет полурелаксированных пределов.^[3]

История

Период, термин вязкие растворы впервые появляются в работе Майкл Дж. Крэндалл и Пьер-Луи Лайонс в 1983 г. относительно уравнения Гамильтона – Якоби.^[5] Название оправдано тем, что существование решения было получено исчезающая вязкость метод. Фактически определение решения было дано ранее Лоуренс К. Эванс в 1980 г.^[8] Впоследствии определение и свойства вязкостных решений уравнения Гамильтона – Якоби были уточнены в совместной работе Крэндалла, Эванса и Лионса в 1984 году.^[9]

В течение нескольких лет работа над вязкостными решениями была сосредоточена на уравнениях первого порядка, поскольку не было известно, будут ли эллиптические уравнения второго порядка иметь уникальное вязкостное решение, за исключением очень частных случаев. Прорывным результатом стал метод, предложенный Роберт Дженсен в 1988 г. для доказательства принципа сравнения с использованием регуляризованного приближения решения, которое имеет вторую производную почти всюду (в современных версиях доказательства это достигается с помощью суп-сверток и Теорема Александрова ).^[10]

В последующие годы концепция вязкого раствора становится все более распространенной в анализе вырожденных эллиптических PDE. Основываясь на их свойствах устойчивости, Барлс и Суганидис получили очень простое и общее доказательство сходимости разностных схем.^[11] Были получены дальнейшие свойства регулярности вязкостных растворов, особенно в равномерно эллиптическом случае с работой Луис Каффарелли.^[12] Вязкостные растворы стали центральной концепцией в изучении эллиптических PDE. В частности, решения вязкости существенны при изучении лапласиана бесконечности.^[13]

В современном подходе существование решений чаще всего достигается с помощью метода Перрона.^[3] Метод исчезающей вязкости вообще не применим для уравнений второго порядка, поскольку добавление искусственной вязкости не гарантирует существования классического решения. Более того, определение вязкие растворы обычно не связано с физической вязкостью. Тем не менее, хотя теория вязких растворов иногда считается не связанной с вязкие жидкости, безвихревые жидкости действительно могут быть описаны уравнением Гамильтона-Якоби.^[14] В данном случае вязкость соответствует объемной вязкости безвихревой несжимаемой жидкости. Были предложены другие названия: Решения Crandall – Lions, в честь своих первооткрывателей, ${\displaystyle L^{\infty }}$-слабые решения, ссылаясь на их свойства стабильности, или сравнительные решения, ссылаясь на их наиболее характерное свойство.

Рекомендации

1. Dolcetta, I .; Лайонс, П., ред. (1995). Решения для определения вязкости и области применения. Берлин: Springer. ISBN  3-540-62910-6.
2. Венделл Х. Флеминг, Х.М. Soner., Ред. (2006), Управляемые марковские процессы и вязкостные решения. Спрингер, ISBN  978-0-387-26045-7.
3. Крэндалл, Майкл Дж .; Исии, Хитоши; Лионс, Пьер-Луи (1992), "Руководство пользователя по вязкостным решениям уравнений в частных производных второго порядка", Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 27 (1): 1–67, arXiv:математика / 9207212, Bibcode:1992математика ...... 7212C, Дои:10.1090 / S0273-0979-1992-00266-5, ISSN  0002-9904
4. Барлес, Гай (2013). «Введение в теорию вязкостных решений для уравнений Гамильтона – Якоби первого порядка и их приложения». Уравнения Гамильтона-Якоби: приближения, численный анализ и приложения. Конспект лекций по математике. 2074. Берлин: Springer. С. 49–109. Дои:10.1007/978-3-642-36433-4_2. ISBN  978-3-642-36432-7.
5. Крэндалл, Майкл Дж .; Лионс, Пьер-Луи (1983), "Вязкостные решения уравнений Гамильтона-Якоби", Труды Американского математического общества, 277 (1): 1–42, Дои:10.2307/1999343, ISSN  0002-9947, JSTOR  1999343
6. Исии, Хитоши (1987), "Метод Перрона для уравнений Гамильтона-Якоби", Математический журнал герцога, 55 (2): 369–384, Дои:10.1215 / S0012-7094-87-05521-9, ISSN  0012-7094
7. Исии, Хитоши (1989), "О единственности и существовании вязкостных решений полностью нелинейных эллиптических УЧП второго порядка", Сообщения по чистой и прикладной математике, 42 (1): 15–45, Дои:10.1002 / cpa.3160420103, ISSN  0010-3640
8. Эванс, Лоуренс К. (1980), "О решении некоторых нелинейных уравнений в частных производных методами аккретивного оператора", Израильский математический журнал, 36 (3): 225–247, Дои:10.1007 / BF02762047, ISSN  0021-2172
9. Крэндалл, Майкл Дж .; Эванс, Лоуренс С .; Лионс, Пьер-Луи (1984), "Некоторые свойства вязкостных решений уравнений Гамильтона – Якоби", Труды Американского математического общества, 282 (2): 487–502, Дои:10.2307/1999247, ISSN  0002-9947, JSTOR  1999247
10. Дженсен, Роберт (1988), "Принцип максимума для вязкостных решений полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка", Архив рациональной механики и анализа, 101 (1): 1–27, Bibcode:1988ArRMA.101 .... 1J, Дои:10.1007 / BF00281780, ISSN  0003-9527
11. Barles, G .; Суганидис, П. Е. (1991), "Сходимость схем аппроксимации для полностью нелинейных уравнений второго порядка", Асимптотический анализ, 4 (3): 271–283, Дои:10.3233 / ASY-1991-4305, ISSN  0921-7134
12. Каффарелли, Луис А .; Кабре, Ксавье (1995), Полностью нелинейные эллиптические уравнения, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 43, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0437-7
13. Крэндалл, Майкл Дж .; Эванс, Лоуренс С .; Гариепи, Рональд Ф. (2001), "Оптимальные липшицевы расширения и бесконечный лапласиан", Вариационное исчисление и уравнения с частными производными, 13 (2): 123–129, Дои:10.1007 / s005260000065
14. Вестернахер-Шнайдер, Джон Райан; Маркакис, Харалампос; Цао, Бин Цзюнь (2019). «Гидродинамика Гамильтона-Якоби пульсирующих релятивистских звезд». Классическая и квантовая гравитация. arXiv:1912.03701.

внешняя ссылка

• Надирашвили Н. Полностью нелинейные эллиптические уравнения.