Равномерная сходимость - Uniform convergence - Wikipedia

в математический поле анализ, равномерное схождение это Режим из конвергенция функций сильнее, чем поточечная сходимость. А последовательность из функции ${\displaystyle (f_{n})}$ сходится равномерно к предельной функции ${\displaystyle f}$ на съемочной площадке ${\displaystyle E}$ если для любого сколь угодно малого положительного числа ${\displaystyle \epsilon }$, число ${\displaystyle N}$ можно найти так, что каждая из функций ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ отличаться от ${\displaystyle f}$ не более чем ${\displaystyle \epsilon }$ в каждой точке ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle E}$. Описано неформально, если ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ${\displaystyle f}$ равномерно, то скорость, с которой ${\displaystyle f_{n}(x)}$ подходы ${\displaystyle f(x)}$ является "однородным" во всей своей области в следующем смысле: чтобы определить, насколько велик ${\displaystyle n}$ должен гарантировать, что ${\displaystyle f_{n}(x)}$ падает на определенное расстояние ${\displaystyle \epsilon }$ из ${\displaystyle f(x)}$, нам не нужно знать значение ${\displaystyle x\in E}$ под вопросом - есть единственное значение ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ независим от ${\displaystyle x}$, так что выбирая ${\displaystyle n}$ быть больше, чем ${\displaystyle N}$ будет достаточно.

Разница между равномерной и поточечной сходимостью не была полностью оценена на ранних этапах истории математического анализа, что приводило к ошибкам в рассуждениях. Концепция, которую впервые формализовал Карл Вейерштрасс, важно, потому что некоторые свойства функций ${\displaystyle f_{n}}$, Такие как непрерывность, Интегрируемость Римана, а с дополнительными гипотезами дифференцируемость, передаются в предел ${\displaystyle f}$ если сходимость равномерная, но не обязательно, если сходимость не равномерная.

История

В 1821 г. Огюстен-Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций всегда непрерывна, к которому Нильс Хенрик Абель в 1826 г. нашел предполагаемые контрпримеры в контексте Ряд Фурье, утверждая, что доказательство Коши должно быть неверным. Полностью стандартных понятий сходимости в то время не существовало, и Коши обрабатывал сходимость, используя методы бесконечно малых. Говоря современным языком, Коши доказал, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел. Неспособность просто поточечной сходимости предела непрерывных функций сходиться к непрерывной функции иллюстрирует важность различения различных типов сходимости при обработке последовательностей функций.^[1]

Термин равномерная сходимость, вероятно, впервые был использован Кристоф Гудерманн в статье 1838 г. эллиптические функции, где он использовал фразу «сходимость однородным способом», когда «режим сходимости» ряда ${\displaystyle \textstyle {\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}}$ не зависит от переменных ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \psi .}$ Хотя он считал «замечательным фактом», что ряд сходится таким образом, он не дал формального определения и не использовал это свойство ни в одном из своих доказательств.^[2]

Позже ученик Гудерманна Карл Вейерштрасс, который прослушал курс эллиптических функций в 1839–1840 гг., ввел термин gleichmäßig konvergent (Немецкий: равномерно сходящийся), который он использовал в своей статье 1841 г. Zur Theorie der Potenzreihen, опубликованный в 1894 году. Независимо, аналогичные концепции были сформулированы Филипп Людвиг фон Зайдель^[3] и Джордж Габриэль Стоукс. Г. Х. Харди сравнивает три определения в своей статье «Сэр Джордж Стоукс и концепция однородной конвергенции» и замечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и только он один полностью осознал его далеко идущее значение как одной из фундаментальных идей анализа».

Под влиянием Вейерштрасса и Бернхард Риманн это понятие и связанные с ним вопросы интенсивно изучались в конце XIX века. Герман Ганкель, Поль дю Буа-Реймон, Улисс Дини, Чезаре Арсела и другие.

Определение

Сначала определим равномерную сходимость для действительные функции, хотя концепция легко обобщается на функции, отображающие метрические пространства и, в более общем плане, равномерные пространства (видеть ниже ).

Предполагать ${\displaystyle E}$ это набор и ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ представляет собой последовательность действительных на нем функций. Мы говорим последовательность ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ является равномерно сходящийся на ${\displaystyle E}$ с лимитом ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ если для каждого ${\displaystyle \epsilon >0,}$ существует натуральное число ${\displaystyle N}$ такой, что для всех ${\displaystyle n\geq N}$ и ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

Обозначения равномерной сходимости ${\displaystyle f_{n}}$ к ${\displaystyle f}$ не совсем стандартизирован, и разные авторы использовали множество символов, в том числе (примерно в порядке убывания популярности):

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f.}$

Часто специальный символ не используется, и авторы просто пишут

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

чтобы указать, что сходимость равномерна. (Напротив, выражение ${\displaystyle f_{n}\to f}$ на ${\displaystyle E}$ без наречия означает поточечная сходимость на ${\displaystyle E}$: для всех ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$.)

С ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это полное метрическое пространство, то Критерий Коши можно использовать, чтобы дать эквивалентную альтернативную формулировку для равномерной сходимости: ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ сходится равномерно на ${\displaystyle E}$ (в предыдущем смысле) тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$, существует натуральное число ${\displaystyle N}$ такой, что

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$.

В еще одной эквивалентной формулировке, если мы определим

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}$

тогда ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ${\displaystyle f}$ равномерно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle d_{n}\to 0}$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$. Таким образом, мы можем охарактеризовать равномерную сходимость ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ на ${\displaystyle E}$ как (простая) сходимость ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ в функциональное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$ с уважением к единообразная метрика (также называемая метрикой супремума), определяемая

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$

Символично,

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff \lim _{n\to \infty }d(f_{n},f)=0}$.

Последовательность ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ как говорят локально равномерно сходящийся с лимитом ${\displaystyle f}$ если ${\displaystyle E}$ это метрическое пространство и для каждого ${\displaystyle x\in E}$, существует ${\displaystyle r>0}$ такой, что ${\displaystyle (f_{n})}$ сходится равномерно на ${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$ Ясно, что равномерная сходимость влечет локальную равномерную сходимость, а значит, поточечную сходимость.

Примечания

Интуитивно последовательность функций ${\displaystyle f_{n}}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f}$ если при сколь угодно малой ${\displaystyle \epsilon >0}$, мы можем найти ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ так что функции ${\displaystyle f_{n}}$ с ${\displaystyle n>N}$ все попадают в «трубу» шириной ${\displaystyle 2\epsilon }$ сосредоточено вокруг ${\displaystyle f}$ (т.е. между ${\displaystyle f(x)-\epsilon }$ и ${\displaystyle f(x)+\epsilon }$) для весь домен функции.

Обратите внимание, что изменение порядка кванторов в определении равномерной сходимости перемещением «для всех» ${\displaystyle x\in E}$«перед» существует натуральное число ${\displaystyle N}$"приводит к определению поточечная сходимость последовательности. Чтобы сделать это различие явным, в случае равномерной сходимости ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ может зависеть только от ${\displaystyle \epsilon }$, и выбор ${\displaystyle N}$ должен работать для всех ${\displaystyle x\in E}$, для определенного значения ${\displaystyle \epsilon }$ что дано. Напротив, в случае поточечной сходимости ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ может зависеть от обоих ${\displaystyle \epsilon }$ и ${\displaystyle x}$, и выбор ${\displaystyle N}$ должен работать только для определенных значений ${\displaystyle \epsilon }$ и ${\displaystyle x}$ что дано. Таким образом, равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость, однако обратное неверно, как показывает пример в следующем разделе.

Обобщения

Эту концепцию можно прямо распространить на функции E → M, куда (M, d) это метрическое пространство, заменив ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$ с ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$.

Самая общая установка - равномерная сходимость сети функций E → Икс, куда Икс это однородное пространство. Мы говорим, что сеть ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ сходится равномерно с лимитом ж : E → Икс если и только если для каждого свита V в Икс, существует ${\displaystyle \alpha _{0}}$, так что для каждого Икс в E и каждый ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$, ${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$ в V. В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций остается непрерывным.

Определение в гиперреальной обстановке

Равномерная сходимость допускает упрощенное определение в гиперреальный параметр. Таким образом, последовательность ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ж равномерно, если для всех Икс в области ${\displaystyle f^{*}}$ и все бесконечное п, ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ бесконечно близок к ${\displaystyle f^{*}(x)}$ (видеть микропрерывность для аналогичного определения равномерной непрерывности).

Примеры

Учитывая топологическое пространство Икс, мы можем оборудовать пространство ограниченный настоящий или же сложный -значные функции над Икс с единая норма топологии с равномерной метрикой, определяемой

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}$

Тогда равномерная сходимость означает просто конвергенция в единая норма топология:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$.

Последовательность функций ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

это классический пример последовательности функций, которая сходится к функции ${\displaystyle f}$ точечно, но не равномерно. Чтобы показать это, сначала заметим, что поточечный предел ${\displaystyle (f_{n})}$ в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$ это функция ${\displaystyle f}$, данный

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Поточечная сходимость: Сходимость тривиальна для ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=1}$, поскольку ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ и ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$, для всех ${\displaystyle n}$. За ${\displaystyle x\in (0,1)}$ и учитывая ${\displaystyle \epsilon >0}$, мы можем гарантировать, что ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ в любое время ${\displaystyle n\geq N}$ выбирая ${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$ (здесь верхние квадратные скобки означают округление, см. функция потолка ). Следовательно, ${\displaystyle f_{n}\to f}$ поточечно для всех ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Обратите внимание, что выбор ${\displaystyle N}$ зависит от стоимости ${\displaystyle \epsilon }$ и ${\displaystyle x}$. Более того, при фиксированном выборе ${\displaystyle \epsilon }$, ${\displaystyle N}$ (который не может быть определен как меньший) неограниченно растет как ${\displaystyle x}$ подходы 1. Эти наблюдения исключают возможность равномерной сходимости.

Неравномерность сходимости: Сходимость не является равномерной, потому что мы можем найти ${\displaystyle \epsilon >0}$ так что как бы большой мы ни выбрали ${\displaystyle N,}$ будут значения ${\displaystyle x\in [0,1]}$ и ${\displaystyle n\geq N}$ такой, что ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$ Чтобы убедиться в этом, сначала заметьте, что независимо от размера ${\displaystyle n}$ становится, всегда есть ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ такой, что ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$ Таким образом, если мы выберем ${\displaystyle \epsilon =1/4,}$ мы никогда не сможем найти ${\displaystyle N}$ такой, что ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ для всех ${\displaystyle x\in [0,1]}$ и ${\displaystyle n\geq N}$. В явном виде, какого бы кандидата мы ни выбрали ${\displaystyle N}$, рассмотрим ценность ${\displaystyle f_{N}}$ в ${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$. С

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[(1/2)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

кандидат терпит неудачу, потому что мы нашли пример ${\displaystyle x\in [0,1]}$ что «ускользнуло» от нашей попытки «ограничить» каждый ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ в пределах ${\displaystyle \epsilon }$ из ${\displaystyle f}$ для всех ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Фактически, легко увидеть, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

вопреки требованию, что ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$ если ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$.

В этом примере легко увидеть, что поточечная сходимость не сохраняет дифференцируемость и непрерывность. Хотя каждая функция последовательности является гладкой, то есть для всех п, ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$, Лимит ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$ даже не непрерывно.

Экспоненциальная функция

Расширение серии экспоненциальная функция можно показать, что они сходятся равномерно на любом ограниченном подмножестве ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$ с использованием М-тест Вейерштрасса.

Теорема (М-критерий Вейерштрасса). Позволять ${\displaystyle (f_{n})}$ быть последовательностью функций ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$ и разреши ${\displaystyle M_{n}}$ последовательность положительных действительных чисел такая, что ${\displaystyle |f_{n}(x)|<M_{n}}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$ и ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ Если ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ сходится, то ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ сходится равномерно на ${\displaystyle E}$.

Комплексная экспоненциальная функция может быть выражена в виде ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Любое ограниченное подмножество - это подмножество некоторого диска ${\displaystyle D_{R}}$ радиуса ${\displaystyle R,}$ с центром в начале координат в комплексная плоскость. M-критерий Вейерштрасса требует от нас определения верхней границы ${\displaystyle M_{n}}$ по условиям сериала, с ${\displaystyle M_{n}}$ независимо от положения на диске:

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

Для этого мы замечаем

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

и возьми ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

Если ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ сходится, то M-тест утверждает, что исходный ряд сходится равномерно.

В тест соотношения здесь можно использовать:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

что означает серию по ${\displaystyle M_{n}}$ сходится. Таким образом, исходный ряд сходится равномерно для всех ${\displaystyle z\in D_{R},}$ и с тех пор ${\displaystyle S\subset D_{R}}$, ряд также сходится равномерно на ${\displaystyle S.}$

Характеристики

• Каждая равномерно сходящаяся последовательность сходится локально равномерно.
• Каждая локально равномерно сходящаяся последовательность есть компактно сходящийся.
• За локально компактные пространства локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают.
• Последовательность непрерывных функций на метрических пространствах с полным метрическим пространством изображений сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равномерно Коши.
• Если ${\displaystyle S}$ это компактный интервал (или вообще компактное топологическое пространство), и ${\displaystyle (f_{n})}$ это монотонно возрастающий последовательность (значение ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ для всех п и Икс) из непрерывный функции с поточечным пределом ${\displaystyle f}$ которое также непрерывно, то сходимость обязательно равномерная (Теорема Дини ). Равномерная сходимость также гарантируется, если ${\displaystyle S}$ компактный интервал и ${\displaystyle (f_{n})}$ является равностепенный поточечно сходящаяся последовательность.

Приложения

К преемственности

Основная статья: Равномерная предельная теорема

Контрпример к усилению теоремы о равномерной сходимости, в котором предполагается поточечная, а не равномерная сходимость. Непрерывные зеленые функции ${\displaystyle \sin ^{n}(x)}$ сходятся к прерывистой красной функции. Это может произойти, только если сходимость неравномерна.

Если ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle M}$ находятся топологические пространства, то имеет смысл поговорить о непрерывность функций ${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$. Если далее предположить, что ${\displaystyle M}$ это метрическое пространство, то (равномерная) сходимость ${\displaystyle f_{n}}$ к ${\displaystyle f}$ также хорошо определен. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется при равномерной сходимости:

Равномерная предельная теорема. Предполагать ${\displaystyle E}$ топологическое пространство, ${\displaystyle M}$ метрическое пространство, а ${\displaystyle (f_{n})}$ представляет собой последовательность непрерывных функций ${\displaystyle f_{n}:E\to M}$. Если ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ на ${\displaystyle E}$, тогда ${\displaystyle f}$ также непрерывно.

Эта теорема доказана "ε / 3 трюк », и является типичным примером этого трюка: доказать данное неравенство (ε), используя определения непрерывности и равномерной сходимости, получаем 3 неравенства (ε / 3), а затем объединяет их через неравенство треугольника для получения желаемого неравенства.

Эта теорема является важной в истории реального анализа и анализа Фурье, поскольку многие математики 18 века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. На изображении выше показан контрпример, и многие прерывистые функции на самом деле могут быть записаны как Ряд Фурье непрерывных функций. Ошибочное утверждение, что поточечный предел последовательности непрерывных функций непрерывен (первоначально сформулированное в терминах сходящихся рядов непрерывных функций), печально известно как «неправильная теорема Коши». Равномерная предельная теорема показывает, что необходима более сильная форма сходимости, равномерная сходимость, чтобы гарантировать сохранение непрерывности в предельной функции.

Точнее, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывный функции равномерно непрерывны; для локально компактный в пространстве непрерывность эквивалентна локальной равномерной непрерывности, и поэтому равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

К дифференцируемости

Если ${\displaystyle S}$ - интервал, и все функции ${\displaystyle f_{n}}$ находятся дифференцируемый и сходятся к пределу ${\displaystyle f}$, часто желательно определить производную функцию ${\displaystyle f'}$ взяв предел последовательности ${\displaystyle f'_{n}}$. Однако в общем случае это невозможно: даже если сходимость является равномерной, предельная функция не обязательно должна быть дифференцируемой (даже если последовательность состоит из всюду -аналитический функции, см. Функция Вейерштрасса ), и даже если она дифференцируема, производная предельной функции не обязательно должна быть равна пределу производных. Рассмотрим, например, ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$ с единым пределом ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$. Четко, ${\displaystyle f'}$ также тождественно равен нулю. Однако производные последовательности функций имеют вид ${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$ и последовательность ${\displaystyle f'_{n}}$ не сходится к ${\displaystyle f',}$ или даже к любой функции. Чтобы обеспечить связь между пределом последовательности дифференцируемых функций и пределом последовательности производных, требуется равномерная сходимость последовательности производных плюс сходимость последовательности функций хотя бы в одной точке:^[4]

Если ${\displaystyle (f_{n})}$ - последовательность дифференцируемых функций на ${\displaystyle [a,b]}$ такой, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ существует (и конечно) для некоторого ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ и последовательность ${\displaystyle (f'_{n})}$ сходится равномерно на ${\displaystyle [a,b]}$, тогда ${\displaystyle f_{n}}$ равномерно сходится к функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, и ${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$ за ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

К интегрируемости

Точно так же часто нужно обмениваться интегралами и ограничивать процессы. Для Интеграл Римана, это можно сделать, если предполагается равномерная сходимость:

Если ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ - последовательность интегрируемых по Риману функций, определенных на компактный интервал ${\displaystyle I}$ которые сходятся равномерно с пределом ${\displaystyle f}$, тогда ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману, и его интеграл может быть вычислен как предел интегралов от ${\displaystyle f_{n}}$:

${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$

Фактически, для равномерно сходящегося семейства ограниченных функций на интервале верхний и нижний интегралы Римана сходятся к верхнему и нижнему интегралам Римана от предельной функции. Это следует потому, что для п достаточно большой, график ${\displaystyle f_{n}}$ внутри ε графика ж, и поэтому верхняя сумма и нижняя сумма ${\displaystyle f_{n}}$ каждый внутри ${\displaystyle \varepsilon |I|}$ стоимости верхней и нижней сумм ${\displaystyle f}$, соответственно.

Гораздо более сильные теоремы в этом отношении, требующие не более чем поточечной сходимости, могут быть получены, если отказаться от интеграла Римана и использовать Интеграл Лебега вместо.

К аналитичности

Если последовательность аналитический функции сходятся равномерно в области S комплексной плоскости, то предел является аналитическим в S. Этот пример демонстрирует, что комплексные функции ведут себя лучше, чем действительные функции, поскольку равномерный предел аналитических функций на вещественном интервале даже не обязательно должен быть дифференцируемый (см. Функция Вейерштрасса ).

В серию

Мы говорим что ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ сходится:

i) поточечно на E тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}$ сходится для каждого ${\displaystyle x\in E}$.

ii) равномерно по E если и только если s_п сходится равномерно при ${\displaystyle n\to \infty }$.

iii) абсолютно на E если и только если ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ сходится для каждого ${\displaystyle x\in E}$.

Это определение дает следующий результат:

Пусть x₀ содержаться в множестве E и каждое f_п быть непрерывным в x₀. Если ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ сходится равномерно на E, то f непрерывна в x₀ в E. Предположим, что ${\displaystyle E=[a,b]}$ и каждый f_п интегрируема на E. Если ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ сходится равномерно на E, то f интегрируема на E и ряд интегралов от f_п равен интегралу ряда от f_п.

Почти равномерная сходимость

Если область определения функций измерить пространство E тогда связанное с этим понятие почти равномерная сходимость можно определить. Мы говорим последовательность функций ${\displaystyle (f_{n})}$ сходится почти равномерно на E если для каждого ${\displaystyle \delta >0}$ существует измеримое множество ${\displaystyle E_{\delta }}$ с мерой меньше чем ${\displaystyle \delta }$ такая, что последовательность функций ${\displaystyle (f_{n})}$ сходится равномерно на ${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$. Другими словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества сколь угодно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на их дополнении.

Отметим, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что последовательность сходится равномерно. почти всюду как можно понять из названия. Тем не мение, Теорема Егорова гарантирует, что на пространстве с конечной мерой последовательность функций, которая сходится почти всюду также почти равномерно сходится на том же множестве.

Почти равномерная сходимость влечет почти везде конвергенция и сходимость по мере.

Смотрите также

• Равномерная сходимость по вероятности
• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Теорема Дини
• Теорема Арцела – Асколи

Примечания

1. Соренсен, Хенрик Краг (2005). «Исключения и контрпримеры: понимание комментария Абеля к теореме Коши». Historia Mathematica. 32 (4): 453–480. Дои:10.1016 / j.hm.2004.11.010.
2. Янке, Ханс Нильс (2003). «6.7 Основы анализа в XIX веке: Вейерштрасс». История анализа. Книжный магазин AMS. ISBN  978-0-8218-2623-2, п. 184.
3. Лакатош, Имре (1976). Доказательства и опровержения. Издательство Кембриджского университета. стр.141. ISBN  978-0-521-21078-2.
4. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа 3-е издание, теорема 7.17. МакГроу-Хилл: Нью-Йорк.

Рекомендации

• Конрад Кнопп, Теория и применение бесконечных рядов; Блэки и сын, Лондон, 1954, перепечатано Dover Publications, ISBN  0-486-66165-2.
• Г. Х. Харди, Сэр Джордж Стоукс и концепция единой конвергенции; Труды Кембриджского философского общества, 19С. 148–156 (1918).
• Бурбаки; Элементы математики: общая топология. Главы 5–10 (мягкая обложка); ISBN  0-387-19374-X
• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа, 3-е изд., McGraw – Hill, 1976.
• Джеральд Фолланд, Реальный анализ: современные методы и их приложения, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN  0-471-31716-0.
• Уильям Уэйд, Введение в анализ, 3-е изд., Пирсон, 2005 г.

внешняя ссылка

• «Равномерное схождение», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «Равномерное схождение». PlanetMath.
• «Предельная точка функции». PlanetMath.
• «Сходится равномерно». PlanetMath.
• «Сходящийся ряд». PlanetMath.
• Графические примеры равномерной сходимости рядов Фурье из Университета Колорадо