Микропрерывность - Microcontinuity

В нестандартный анализ, дисциплина внутри классическая математика, микропрерывность (или же S-непрерывность) внутренняя функция ж в какой-то момент а определяется следующим образом:

для всех Икс бесконечно близко к а, Значение ж(Икс) бесконечно близка к ж(а).

Здесь Икс проходит через область ж. В формулах это можно выразить следующим образом:

если ${\displaystyle x\approx a}$ тогда ${\displaystyle f(x)\approx f(a)}$.

Для функции ж определено на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, определение может быть выражено через гало следующее: ж микропрерывна на ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ если и только если ${\displaystyle f(hal(c))\subset hal(f(c))}$, где естественное продолжение ж к гиперреалы все еще обозначается ж. В качестве альтернативы свойство микропрерывности при c можно выразить, заявив, что композиция ${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$ постоянна ореола c, где "st" - стандартная функция детали.

История

Современное свойство непрерывности функции было впервые определено Больцано в 1817 году. Однако работа Больцано не была замечена большим математическим сообществом до ее повторного открытия Гейне в 1860-х годах. Тем временем, Коши учебник Cours d'Analyse определил преемственность в 1821 году, используя бесконечно малые как указано выше.^[1]

Непрерывность и единообразная преемственность

Свойство микропрерывности обычно применяется к естественному протяжению. е * реальной функции ж. Таким образом, ж определяется на реальном интервале я непрерывно тогда и только тогда, когда е * микропрерывна в каждой точке я. Тем временем, ж является равномерно непрерывный на я если и только если е * микропрерывна в каждой точке (стандартной и нестандартной) естественного продолжения Я* своей области я (см. Дэвис, 1977, с. 96).

Пример 1

Настоящая функция ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ на открытом интервале (0,1) не является равномерно непрерывным, поскольку естественное продолжение е * из ж не может быть микропрерывным на бесконечно малый ${\displaystyle a>0}$. Действительно, для такого а, ценности а и 2а бесконечно близки, но значения е *, а именно ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {1}{2a}}}$ не бесконечно близки.

Пример 2

Функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не является равномерно непрерывным, потому что е * не может быть микропрерывным в бесконечной точке ${\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$. А именно установка ${\displaystyle e={\tfrac {1}{H}}}$ и K = ЧАС + е, легко увидеть, что ЧАС и K бесконечно близки, но ж*(ЧАС) и ж*(K) не бесконечно близки.

Равномерная сходимость

Равномерная сходимость аналогично допускает упрощенное определение в гиперреальной обстановке. Таким образом, последовательность ${\displaystyle f_{n}}$ сходится к ж равномерно, если для всех Икс в области е * и все бесконечное п, ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ бесконечно близок к ${\displaystyle f^{*}(x)}$.

Смотрите также

• Стандартная функция детали

Библиография

• Мартин Дэвис (1977) Прикладной нестандартный анализ. Чистая и прикладная математика. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Нью-Йорк-Лондон-Сидней. xii + 181 с. ISBN  0-471-19897-8
• Гордон, Э. И .; Кусраев, А.Г .; Кутателадзе, С. С .: Инфинитезимальный анализ. Обновленный и переработанный перевод русского оригинала 2001 года. Перевод Кутателадзе. Математика и ее приложения, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Рекомендации

1. Боровик Александр; Кац, Михаил Г. (2011), «Кто дал вам сказку Коши-Вейерштрасса? Двойственная история строгого исчисления», Основы науки, arXiv:1108.2885, Дои:10.1007 / s10699-011-9235-х.