Принцип передачи - Transfer principle

В теория моделей, а принцип передачи утверждает, что все утверждения одного языка, которые верны для одной структуры, верны для другой структуры. Одним из первых примеров был принцип Лефшеца, в котором говорится, что любое предложение в язык первого порядка из поля это верно для сложные числа также верно для любого алгебраически замкнутое поле из характеристика 0.

История

Зарождающаяся форма принципа переноса была описана Лейбниц под названием "The Закон непрерывности ".^[1] Вот бесконечно малые ожидаются те же свойства, что и заметные числа. Подобные тенденции наблюдаются в Коши, который использовал бесконечно малые величины для определения как непрерывность функций (в Cours d'Analyse ) и форма Дельта-функция Дирака.^[1]:903

В 1955 г. Ежи Лось доказал принцип переноса для любых гиперреальное число система. Чаще всего его используют в Авраам Робинсон с нестандартный анализ из гиперреальные числа, где принцип передачи гласит, что любое предложение, выражаемое на определенном формальном языке, истинное действительные числа верно и для гиперреальных чисел.

Принцип переноса гиперреалов

Принцип переноса касается логической связи между свойствами действительных чисел. р, а свойства большего поля обозначены *р называется гиперреальные числа. Поле *р включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, обеспечивая строгую математическую реализацию проекта, инициированного Лейбницем.

Идея состоит в том, чтобы выразить анализ над р на подходящем языке математической логики, а затем укажите, что этот язык одинаково хорошо применим к *р. Это оказывается возможным, потому что на теоретико-множественном уровне предложения на таком языке интерпретируются как применимые только к внутренние наборы а не для всех наборов. Так как Робинсон положи это, предложения [теории] интерпретируются в *р в Хенкин Смысл.^[2]

Теорема о том, что каждое предложение справедливо над р, также действует более *р, называется принципом переноса.

Существует несколько различных версий принципа переноса, в зависимости от того, какая модель нестандартной математики используется. С точки зрения теории моделей, принцип переноса утверждает, что отображение стандартной модели нестандартной модели является элементарное вложение (вложение, сохраняющее ценности истины всех высказываний на языке), а иногда ограниченный элементарное вложение (аналогично, но только для операторов с ограниченными кванторами).

Принцип переноса, по-видимому, приводит к противоречиям, если с ним не обращаться правильно, например, поскольку гиперреальные числа образуют не-Архимедов упорядоченное поле а действительные числа образуют архимедово упорядоченное поле, свойство быть архимедовым («каждое положительное действительное число больше 1 /п для некоторого положительного целого числа п") на первый взгляд кажется, что не удовлетворяет принципу переноса. Утверждение" каждое положительное гиперреальное число больше 1 /п для некоторого положительного целого числа п"ложно; однако правильная интерпретация такова:" каждое положительное гиперреальное число больше 1 /п для некоторых положительных гиперинтегральный пДругими словами, гиперреальные объекты кажутся архимедовыми для внутреннего наблюдателя, живущего в нестандартной вселенной, но кажутся неархимедовыми для внешнего наблюдателя за пределами вселенной.

Доступная формулировка принципа перевода для новичков: Кейслера книга Элементарное исчисление: бесконечно малый подход.

пример

Каждый настоящий ${\displaystyle x}$ удовлетворяет неравенству

${\displaystyle x\geq \lfloor x\rfloor ,}$

где ${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ это целая часть функция. При типичном применении принципа переноса каждое гиперреальное ${\displaystyle x}$ удовлетворяет неравенству

${\displaystyle x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,}$

где ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ является естественным продолжением функции целой части. Если ${\displaystyle x}$ бесконечно, то гиперинтегральный ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor x\rfloor }$ тоже бесконечно.

Обобщения понятия числа

Исторически сложилось так, что концепция количество неоднократно обобщался. Добавление 0 к натуральным числам ${\displaystyle \mathbb {N} }$ был крупным интеллектуальным достижением в свое время. Добавление отрицательных целых чисел в форму ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ уже представляет собой отход от области непосредственного опыта к области математических моделей. Дальнейшее расширение, рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, более знакомы непрофессионалам, чем их завершение ${\displaystyle \mathbb {R} }$, отчасти потому, что реальные числа не соответствуют какой-либо физической реальности (в смысле измерения и вычисления), отличной от той, которая представлена ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Таким образом, понятие иррационального числа бессмысленно даже для самого мощного компьютера с плавающей запятой. Необходимость такого расширения проистекает не из физических наблюдений, а из внутренних требований математической согласованности. Бесконечно малые вошли в математический дискурс в то время, когда такое понятие требовалось математическим развитием того времени, а именно появлением того, что стало известно как исчисление бесконечно малых. Как уже упоминалось выше, математическое обоснование этого последнего расширения было отложено на три столетия. Кейслер написал:

«Обсуждая реальную линию, мы заметили, что у нас нет возможности узнать, что на самом деле представляет собой линия в физическом пространстве. Она может быть похожа на гиперреальную линию, реальную линию или ни то, ни другое. Однако в приложениях исчисления это полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию ».

В самосогласованный развитие гиперреалов оказалось возможным, если все верные логика первого порядка оператор, использующий базовую арифметику ( натуральные числа, плюс, раз, сравнение) и количественно оценивает только действительные числа, как предполагалось, было истинным в переинтерпретированной форме, если мы предполагаем, что оно дает количественную оценку над гиперреальными числами. Например, мы можем заявить, что для каждого действительного числа есть другое число больше, чем оно:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

То же самое будет справедливо и для гиперреалов:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

Другой пример - утверждение, что если вы добавите 1 к числу, вы получите большее число:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

что справедливо и для гиперреалов:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

Правильное общее утверждение, формулирующее эти эквивалентности, называется принципом переноса. Обратите внимание, что во многих формулах анализа количественная оценка проводится по объектам более высокого порядка, таким как функции и множества, что делает принцип переноса несколько более тонким, чем предполагают приведенные выше примеры.

Различия между R и ^*р

Однако принцип передачи не означает, что р и *р иметь идентичное поведение. Например, в *р существует элемент ω такой, что

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

но такого числа нет в р. Это возможно, потому что несуществование этого числа не может быть выражено как утверждение первого порядка вышеупомянутого типа. Гиперреальное число вроде ω называется бесконечно большим; обратные бесконечно большие числа являются бесконечно малыми.

Гиперреалы *р для мужчины упорядоченное поле содержащий реальные р как подполе. В отличие от реалов, гиперреалы не образуют стандартного метрическое пространство, но в силу своего приказа они несут приказ топология.

Конструкции гиперреалов

Гиперреалы могут быть разработаны либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Суть аксиоматического подхода состоит в утверждении (1) существования хотя бы одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы даем подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет построить гиперреалы, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтр, но сам ультрафильтр не может быть построен явно. Владимир Кановей и Шела^[3] дают конструкцию определимого счетно насыщенного элементарного расширения структуры, состоящей из вещественных чисел и всех финитарных отношений на ней.

В самом общем виде трансфер представляет собой ограниченный элементарное вложение между конструкциями.

утверждение

В упорядоченное поле ^*р из нестандартные действительные числа правильно включает настоящий поле р. Как и все упорядоченные поля, которые правильно включают р, это поле неархимедов. Это означает, что некоторые участники Икс ≠ 0 из ^*р находятся бесконечно малый, т.е.

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite cardinal number }}n.}$

Единственное бесконечно малое в р равно 0. Некоторые другие участники ^*р, обратные у ненулевых бесконечно малых, бесконечны, т. е.

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite cardinal number }}n.}$

Базовый набор поля ^*р это изображение р под отображением А ↦ ^*А из подмножеств А из р к подмножествам ^*р. В любом случае

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

с равенством тогда и только тогда, когда А конечно. Наборы формы ^*А для некоторых ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$ называются стандарт подмножества ^*р. Стандартные наборы принадлежат гораздо большему классу подмножеств ^*р называется внутренний наборы. Аналогично каждая функция

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

распространяется на функцию

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

они называются стандартные функции, и принадлежат к гораздо большему классу внутренние функции. Наборы и функции, которые не являются внутренними, внешний.

Важность этих концепций проистекает из их роли в следующем предложении и иллюстрируется примерами, которые следуют за ним.

В принцип передачи:

• Предположим, что утверждение верно для ^*р можно выразить через функции конечного числа переменных (например, (Икс, у) ↦ Икс + у), отношения между конечным числом переменных (например, Икс ≤ у), финитарные логические связки, такие как и, или, не, если ... то ..., а кванторы

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

Например, одно из таких предложений:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

Такое утверждение верно в р если и только если это правда в ^*р когда квантификатор

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

заменяет

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

и аналогично для ${\displaystyle \exists }$.

• Предположим, что предложение, которое можно выразить так же просто, как рассмотренные выше, упоминает некоторые частные множества ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$. Такое утверждение верно в р если и только если это правда в ^*р с каждым таким "А"заменено соответствующим ^*А. Вот два примера:

• Набор

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

должно быть

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

включая не только членов р от 0 до 1 включительно, но также члены ^*р от 0 до 1, которые отличаются от бесконечно малых. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что предложение

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

верно в р, и применить принцип переноса.

• Набор ^*N не должен иметь верхней границы ^*р (поскольку предложение, выражающее несуществование верхней границы N в р достаточно прост, чтобы к нему применим принцип переноса) и должен содержать п +1, если он содержит п, но не должно содержать ничего между п и п + 1. Члены

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

являются «бесконечными целыми числами».)

• Предположим, что предложение, которое можно выразить так же просто, как рассмотренные выше, содержит квантор

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

Такое утверждение верно в р если и только если это правда в ^*р после указанных выше изменений и замены квантификаторов на

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

и

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

Три примера

Подходящая установка для принципа гиперреального переноса - это мир внутренний сущности. Таким образом, свойство упорядочивания натуральных чисел с помощью переноса приводит к тому, что каждое внутреннее подмножество ${\displaystyle \mathbb {N} }$ имеет наименьший элемент. В этом разделе внутренние наборы обсуждаются более подробно.

• Каждый непустой внутренний подмножество ^*р который имеет верхнюю границу в ^*р имеет точную верхнюю границу в ^*р. Следовательно, множество всех бесконечно малых является внешним.
  • Принцип хорошего порядка подразумевает, что все непустые внутренний подмножество ^*N имеет самый маленький член. Следовательно, множество

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

всех бесконечных целых чисел является внешним.

• Если п - бесконечное целое число, то множество {1, ...,п} (что нестандартно) должно быть внутренним. Чтобы доказать это, сначала заметим, что тривиально верно следующее:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

вследствие этого

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• Как с внутренними наборами, так и с внутренними функциями: Заменить

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

с участием

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

при применении принципа переноса, и аналогично с ${\displaystyle \exists }$ на месте ${\displaystyle \forall }$.

Например: если п - бесконечное целое число, то дополнение образа любого внутреннего индивидуальная функция ƒ из бесконечного множества {1, ...,п} в {1, ...,п, п + 1, п + 2, п + 3} по трансферному принципу состоит ровно из трех членов. Из-за бесконечности области дополнения изображений взаимно однозначных функций из первого набора во второй бывают разных размеров, но большинство этих функций являются внешними.

Этот последний пример мотивирует важное определение: A * -конечно (произносится звездный) подмножество ^*р тот, который можно разместить в внутренний взаимно однозначное соответствие с {1, ...,п} для некоторых п ∈ ^*N.

Смотрите также

• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход

Заметки

1. Кейслер, Х. Джером. «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход». п. 902.
2. Робинсон, А. Метафизика исчисления, Проблемы философии математики, под ред. Lakatos (Амстердам: Северная Голландия), стр. 28–46, 1967. Перепечатано в Сборнике сочинений 1979 года. Стр.29.
3. Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель реалов» (PDF), Журнал символической логики, 69: 159–164, arXiv:математика / 0311165, Дои:10.2178 / jsl / 1080938834

использованная литература

• Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Модельная теория, Исследования по логике и основам математики (3-е изд.), Эльзевир, ISBN  978-0-444-88054-3
• Харди, Майкл: "Масштабированные булевы алгебры". Adv. в Прил. Математика. 29 (2002), нет. 2, 243–292.
• Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель реалов» (PDF), Журнал символической логики, 69: 159–164, arXiv:математика / 0311165, Дои:10.2178 / jsl / 1080938834
• Кейслер, Х. Джером (2000). «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход».
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], «Принцип передачи», Энциклопедия математики, EMS Press
• Oś, Jerzy (1955) Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. Математическая интерпретация формальных систем, стр. 98–113. Издательство Северной Голландии, Амстердам.
• Робинсон, Авраам (1996), Нестандартный анализ, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04490-3, Г-Н  0205854